POTENZA CON CARICO EQUILIBRATO COLLEGATO A STELLA CON E SENZA NEUTRO
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- Niccolina Cecchini
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1 POTENZA CON CARICO EQUILIBRATO COLLEGATO A STELLA CON E SENZA NEUTRO Nel caso di alimentazione a quattro fili si assume come riferimento proprio il neutro cioè il centro stella del generatore. 1 I 1 I I N Le potenze attiva e reattiva risultano: P T = 10 I 1 cosϕ I cosϕ + 0 I cosϕ Q T = 10 I 1 senϕ I senϕ + 0 I senϕ Con carico equilibrato le tre correnti formano una terna equilibrata, sfasata dell angolo ϕ rispetto alla terna delle tensioni stellate (di fase). Posso quindi scrivere: I L = I1 = I = I F = 10 = 0 = 0 ϕ 1 = ϕ = ϕ = ϕ = arctg X/R dove X ed R sono rispettivamente la reattanza e la resistenza di ogni singola fase. P T = F I L cos ϕ Q T = F I L sen ϕ S T = P + Q = F I L Poiché siamo in presenza di un carico equilibrato, l eliminazione del neutro non comporta alcuna variazione e le espressioni di P, Q, S rimangono inalterate anche nel caso di stella senza neutro. Sostituendo la tensione concatenata a quella stellata e ricordando che F = C /, le espressioni delle potenze diventeranno 1
2 P T = C I L cos ϕ Q T = C I L sen ϕ S T = P + Q = C I L In queste espressioni l angolo ϕ rappresenta sempre lo sfasamento fra la corrente e la tensione di fase, cioè quello ricavabile dal triangolo dell impedenza, e non quello tra la tensione concatenata e la I L. POTENZA CON CARICO EQUILIBRATO COLLEGATO A TRIANGOLO Nel caso di collegamento a triangolo equilibrato le potenze attiva e reattiva possono essere calcolate come somma delle potenze nelle singole fasi: P T = 1 I 1 cos ϕ 1 + I cos ϕ + I cos ϕ Q T = 1 I 1 sen ϕ I 1 senϕ + I sen ϕ poiché il nostro carico è equilibrato: I 1 = I = I = I F Si ricava 1 = = = C ϕ 1 = ϕ = ϕ = arctg X/R P T = C I F cos ϕ Q T = C I F sen ϕ Poiché anche le correnti di linea formano una terna equilibrata di modulo I L = I F si ricava P T = C I L cos ϕ Q T = C I L sen ϕ dove l angolo ϕ è sempre quello del triangolo dell impedenza. Si conclude che: qualunque sia il collegamento di un utilizzatore equilibrato la potenza attiva si può esprimere come: P T = c I L cos ϕ e la potenza reattiva come Q T = c I L sen ϕ dove ed I sono la tensione concatenata e la corrente di linea.
3 Esempio: Una linea trifase con = 80 alimenta un carico equilibrato collegato a stella con valore di impedenza Z = (60+J80) Ω. Determinare le correnti, le potenze ed il fattore di potenza. L impedenza presenta modulo Z = = 100 Ω Le correnti di linea hanno modulo I = / Z = 80/ x 100=, A La potenza attiva risulta P = I cos ϕ = x 80 x, x R/Z= x 80 x, x 0,6= 869 W Quella reattiva si calcola analogamente Q = I sen ϕ = x 80 x, x X/Z= 1158 AR S = P + Q = I=1447 A cos ϕ = R/Z = P/S = 0,6 Esempio : Un carico equilibrato collegato ad una linea con = 80 assorbe una corrente di linea I = 1A ed una potenza attiva P = 4,5 kw. Calcolare il valore delle impedenze se collegate a stella e/o a triangolo: Si può calcolare la potenza apparente S = I = x 80 x 1 = 7898 A siccome il carico è equilibrato il fattore di potenza coincide con il cos ϕ delle impedenze; pertanto: cosϕ = P/S = 0,57 sen ϕ =0,8 Collegamento a stella: Z = / I=80/ x 1 = 18, Ω R = Z cos ϕ = 18. x 0.57 = 10,4 Ω X = Z sen ϕ = 18. x 0.8 = 15 Ω Collegamento a triangolo: La tensione ai capi dell impedenza è quella concatenata mentre la corrente di fase risulta
4 I 1 = I = I = I / = 6,9 A da cui Z = /I = 80 / 6.9 = 54.8 Ω R = Z cos ϕ = 54,8 x 0,57 =, Ω X = Z sen ϕ = 54,8 x 0,8 = 45 Ω Esercizio: Quanto vale la potenza attiva assorbita da un utilizzatore trifase costituito da tre impedenze con angolo caratteristico di 60,che assorbe 0 A ed è attaccato da una linea a 0? Soluzione : P = 0 x 0 x 0,5 =.811 W =,81 kw. Esercizio: Un utilizzatore equilibrato ohmico-capacitivo collegato ad una linea a 80 assorbe : P = kw; S = ka. Trovare la corrente assorbita. S.000 I = = = 4,56 A 80 POTENZA NEI CARICHI SQUILIBRATI COLLEGATI A STELLA O A TRIANGOLO Nel caso di carichi squilibrati a stella con neutro è conveniente assumere come punto di riferimento il neutro stesso; l espressione della potenza risulta : P = 10 I 1 cosϕ I cosϕ + 0 I cosϕ dove X 1 X X ϕ 1 = arctg---- ϕ = arctg----- ϕ = arctg----- R 1 R R e non sono possibili ulteriori semplificazioni. Se il collegamento è senza neutro e si assume come riferimento il centro stella dei generatori,si avrà: P T = 10 I 1 cos ( 10 I 1 ) + 0 I cos ( 0 I ) + 0 I cos ( 0 I ) Q T = 10 I 1 sen ( 10 I 1 ) + 0 I sen ( 0 I ) + 0 I sen (v 0 I ) In questo caso però lo sfasamento tra e I per ogni fase non corrisponde all angolo dato dal diagramma dell impedenza, ma va calcolato e dipende dallo spostamento del centro stella del carico. Se invece si assume come riferimento il centro stella delle impedenze 0, 4
5 la potenza assume l espressione P = I cosϕ + I cosϕ + I cosϕ 10' 1 1 0' 0' 1 dove gli angoli ϕ 1, ϕ, ϕ possono essere facilmente ricavati delle impedenze, mentre le tensioni 10, 0, 0 devono essere calcolate, poiché dipendono da 0 0. Risulta comunque sempre valido, e spesso agevole, note l impedenza e la corrente di linea, calcolare la potenza come segue P = R I + R I + R I Q = X I + X I + X I S = P + Q Se il carico squilibrato è collegato a triangolo il calcolo della potenza puo' essere effettuato considerando separatamente le tre fasi, e sommando fra loro le singole potenze. P = 1 1 Q = 1 1 R X S = P + Q R X + + R X Per la misura delle potenze attive nei sistemi trifasi a quattro fili si utilizzano tre Wattmetri inseriti nel seguente modo: 5
6 La potenza attiva è data dalla somma delle singole potenze P T = P 1 + P + P Si utilizzano quindi tanti Wattmetri quanti sono i conduttori meno uno perchè viene preso come riferimento. Per misurare la potenza reattiva,si procede alla misurazione delle correnti I 1,I,I e si calcolano le singole potenze apparenti: S 1 = E I 1 S = E I S = E I Le potenze reattive risultano Q 1 = S P Q = S P Q = S P 1 1 La Q T si ricava dalla somma algebrica : Q T = Q 1 + Q + Q. Nel caso di sistemi a tre fili si possono utilizzare diversi tipi di inserzione. I più diffusi risultano essere l inserzione Aron, l inserzione Righi e l inserzione Barbagelata. Esercizio: Un sistema di impedenze viene alimentato da un sitema a 4 fili. Determinare le potenze attive,reattive ad apparenti e il fattore di potenza totale. Dati: = 80 Z 1 = 10 + j 0 Z = 10 + j 0 Z = j 0 Il collegamento è a stella con neutro.calcoliamo il modulo delle correnti di linea. E I 1 = = = = 9,87 A Z , E 0 0 I = ---- = = 9,8 A ; I = = 11 A Z, 0 Le potenze attive e reattive totali risultano dalla somma delle singole potenze: P = R 1 I 1 + R I + 0 = 196 W Q = X 1 I 1 + X I X I = 196 AR Il fattore di potenza non coincide con nessuno dei cosϕ di nessuna impedenza. Esso si ricava come contributo di tutte le potenze presenti,e il suo valore convenzionale risulta P 196 cos Φ = = = 0,707 P + Q 78 6
7 Esercizio : Un sistema di impedenze viene collegato a triangolo ed alimentato da un sistema trifase simmetrico. Determinare la potenza ed il fattore di potenza convenzionale. Dati: = 80 Z 1 = 10 + j0 Z = 0 j10 Z = 0 + j0 Si calcolano i moduli delle impedenze: Z 1 = =,6 Ω Z = =, Ω Z = = 6,0 Ω I moduli delle correnti risultano: I 1 = 1 = 1 A I = 80 Z1, = 17 A I = 80 6 = 10,5 A A tal punto possiamo calcolarci le potenze : P = P 1 + P + P = R 1 I 1 + R I + R I = W Q = Q 1 + Q + Q = X 1 I 1 X I + X I =.65 AR S = P + Q = A cos Φ = P = = 0,94 S Nella tecnica pratica la misura di potenza reattiva può essere realizzata con : 1) Misure dirette mediante ARMETRI. ) Misure indirette mediante WATTMETRI ( Inserzioni Aron, Righi e Barbagelata ). Normalmente l impiego di armetri è riservato ad installazioni fisse da quadro e quindi di non grande precisione. Il armetro deriva direttamente dal Wattmetro adottando artifici che ottengono una coppia motrice proporzionale, oltrechè alla tensione efficace e alla corrente, al seno dell angolo di sfasamento fra la tensione e la corrente I
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