UNITA DIDATTICA 1 I SISTEMI TRIFASE

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1 UNITA DIDATTICA 1 I SISTEMI TRIFASE Sottounità 1.1 : I sistemi trifasi in regime alternato sinusoidale Lo schema più comune di circuito per la trasmissione dell energia elettrica è quello monofase a tre fili,che consiste di due generatori identici (stessa ampiezza e stessa fase) collegati a due carichi per mezzo di due fili esterni e del neutro comune. Monofase a tre fili è, ad esempio, l impianto di alcune abitazioni, perchè consente il collegamento di apparecchiature a tensioni diverse. I circuiti o sistemi nei quali i generatori sinusoidali operano alla stessa frequenza ma con fasi diverse sono detti polifase. A differenza di un sistema monofase,un sistema bifase è caratterizzato da un generatore che consiste di due bobine posizionate perpendicolarmente una all altra, in modo che la tensione generata da una di esse si in ritardo di 90 rispetto all altra. In maniera simile, in un sistema trifase si hanno tre generatori le cui tensioni hanno la stessa ampiezza e la stessa frequenza, ma sono sfasate di 120 una rispetto all altra. Poichè il trifase rappresenta il sistema più usato e più economico tra i sistemi polifase, l attenzione in questa prima unità didattica sarà prevalentemente concentrata su questo sistema. I sistemi trifase sono importanti per almeno tre ragioni. Innanzitutto, praticamente tutta la potenza elettrica prodotta dalle aziende elettriche viene generata e distribuita in forma trifase, alla frequenza di 50 Hz o 60 Hz negli Stati Uniti. 7

2 Nelle applicazioni in cui è necessaria una corrente monofase o bifase,le fasi necessarie vengono prelevate dal sistema trifase, invece che generate indipendentemente. Una elaborazione della corrente trifase si ha anche nelle applicazioni nelle quali risultano necessarie più di tre fasi come ad esempio nell ndustria dell alluminio, che richiede 48 fasi nel processo di fusione. In secondo luogo,la potenza istantanea rimane costante nel tempo nei sistemi trifase, mentre ha un andamento impulsivo negli altri sistemi. L effetto benefico è quello di una trasmissione uniforme della potenza e di minori vibrazioni meccaniche nelle macchine elettriche trifase. In terzo luogo, il sistema di trasmissione trifase si rivela più economico del monofase a parità di potenza trasmessa, perchè richiede minore quantità di cablaggio. Diamo ora un minimo di definizioni,prima di proseguire con tutte le possibili configurazioni. Tensione di fase: d.d.p. Ef esistente fra gli estremi di un singola fase generatrice, oppure d.d.p. Uf di una singola impedenza utilizzatrice. Tensione concatenata o tensione di linea EL, UL: d.d.p. fra due fili della linea di alimentazione. Si determinano dalle d.d.p. Spesso, nel seguito, quando non sarà indicato il pedice, si intenderà la tensione concatenata. Si ricordi che il vettore d.d.p. ha la punta della freccia diretta per convenzione verso il punto a potenziale maggiore (il vettore quindi parte dal punto a potenziale minore: ad esempio U12 ha la freccia diretta verso il livello elettrico "1"). Ovviamente il vettore è opposto rispetto a U12. 8

3 Sistema simmetrico trifase: quando le tensioni fornite da ogni singola fase del generatore hanno ugual modulo e sono sfasate di 360 /3 = 120. In tal caso anche la terna delle tensioni concatenate è simmetrica. Sistema dissimmetrico o asimmetrico: (riferito sempre alle tensioni), quando le tensioni non hanno ugual modulo e/o sfasamento. Si considerano qui e nel seguito solo sistemi simmetrici, essendo spesso ininfluente il grado di dissimmetria per le usuali applicazioni di calcolo. Corrente di fase: corrente che percorre la fase generatrice o utilizzatrice. Corrente di linea: corrente che percorre la linea di alimentazione. Carico trifase equilibrato: le tre impedenze di fase sono identiche, con stesso modulo e stesso sfasamento caratteristico. Carico trifase squilibrato: quando una delle condizioni precedenti non è verificata (Esempio: tre impedenze hanno stesso modulo Z = 10Ω, ma sfasamenti diversi). Collegamento a stella: la corrente di fase coincide con la corrente di linea; la tensione di linea è 9

4 come si può dedurre ad esempio dal triangolo isoscele 023 di figura, la base 23 ha modulo Collegamento a triangolo: la corrente di linea, come si può intuire, è maggiore rispetto alla corrente di fase e, solo con carichi trifase equilibrati, si ha la tensione di fase coincide con la tensione di linea (Uf = UL). Sistema trifase con neutro: dai morsetti del generatore escono tre fili di linea che si collegano ai tre morsetti del carico trifase; inoltre dal centro stella del generatore parte il filo neutro che va al centro stella del carico trifase di arrivo.come si chiarirà dalla risoluzione degli esempi proposti in seguito, il filo neutro non è percorso da corrente quando il carico trifase allacciato è equilibrato. Il filo neutro mantiene sempre immutato il modulo delle tensioni di fase, anche con carichi squilibrati e vale sempre la relazione 10

5 La presenza di uno squilibrio del carico comporta invece il passaggio di una corrente nel filo neutro, nel quale si richiude la somma vettoriale delle correnti dei tre fili di linea. Si può dire che in tal caso il neutro costituisce il filo di ritorno della somma delle correnti dei fili di linea (somma dei loro valori istantanei o dei vettori ad esse associate). Sistema trifase senza neutro: Se il carico trifase è equilibrato vale ancora la relazione fra tensioni di fase e concatenate Se il carico trifase è squilibrato le cose si complicano: le effettive tensioni di fase possono assumere valori imprevisti e anche pericolosi per le fasi utilizzatrici. 11

6 Test Sottounità 1.1 : Sistemi trifase in regime alternato sinusoidale. 1- Cosa si intende per sistema trifase? a) un sistema alimentato con tre generatori b) un sistema alimentato con tre tensioni uguali e sfasate tra loro di 120 c) un sistema alimentato con tre tensioni uguali e sfasate tra loro di 150 d) un sistema i cui carichi sono sfasati di Cosa si intende per tensione concatenata? a) la tensione fornita dal generatore b) la tensione misurata tra generatore e carico c) la tensione tra due fasi d) la somma delle tensioni applicate 3- Come si applica le legge delle correnti e delle tensioni in un sistema trifase? a) la somma delle correnti di linea e delle tensioni concatenate è uguale a zero b) la somma delle correnti di fase e delle tensioni di fase è uguale a zero c) la somma delle correnti di fase e delle tensioni concatenate è uguale a zero d) non si applica 12

7 4- Qual è la relazione tra i moduli delle grandezze in un collegamento a stella? a) la corrente di linea è uguale alla corrente di fase per radice di tre b) la corrente di linea è uguale alla tensione concatenata diviso radice di tre c) la tensione di fase è uguale alla tensione concatenata per radice di tre d) la tensione di fase è uguale alla tensione concatenata diviso radice di tre a b c d e 13

8 Sottounità 1.2 : Analisi dei sistemi trifase simmetrici ed equilibrati Trasformazione TRIANGOLO-STELLA e viceversa: In alcune applicazioni può tornare utile ricordare che è possibile trasformare un triangolo in una stella equivalente e viceversa.in altre parole, se si ha un carico trifase collegato in una scatola chiusa e si eseguono misure di tensione, di corrente e di potenza esternamente ad essa, i valori delle grandezze non variano sia che all interno il carico sia collegato a stella, sia che il carico sia disposto invece a triangolo, purché con impedenze tali da garantirne l equivalenza (vedi figura sotto:) Ad esempio, se si hanno tre impedenze identiche da 90 Ω ciascuna, collegate a triangolo, il loro comportamento equivale a quello di tre impedenze ancora fra loro identiche, ma collegate a stella con valore, in modulo, pari a 30 Ω e sfasamento identico a quello del carico di partenza. Nella trasformazione, una fase della stella è 1/3 di quella del triangolo e ne conserva lo stesso sfasamento. I due schemi sono equivalenti.questa conclusione è valida solo per carichi equilibrati, come in questo caso. Diversamente la determinazione dei valori equivalenti è complicata dal calcolo con metodo simbolico. Le relazioni che si ottengono imponendo l equivalenza tra i due schemi sono le seguenti, usando la simbologia di figura sotto) e riferendosi al caso generale di impedenze qualsiasi. 14

9 a) Trasformazione stella - triangolo (sono note le impedenze della stella): Come caso particolare di carico equilibrato si ottiene b) Trasformazione triangolo - stella (sono note le impedenze del triangolo): 15

10 Come caso particolare di carico equilibrato si ottiene Un sistema di tensioni trifase viene di solito prodotto con un generatore ac trifase (alternatore).se i generatori di tensione hanno la stessa ampiezza e frequenza, e sono sfasati di 120 l uno rispetto all altro, le tensioni sono dette bilanciate o equilibrate. In un carico bilanciato, le impedenze di fase sono uguali in modulo ed argomento, inoltre la sequenza delle fasi è la sequenza temporale nella quale le tensioni raggiungono i rispettivi valori massimi. Poichè sia il generatore trifase che il carico trifase possono essere collegati sia a stella che a triangolo si hanno quattro possibili configurazioni: Collegamento Y-Y (stella-stella) Collegamenti Y- (stella triangolo) Collegamenti - (triangolo triangolo) Collegamenti -Y (triangolo stella) Per associare le sinusoidi ai vettori rappresentativi delle tensioni stellate e concatenate in un sistema simmetrico, le terne di vettori ruotano in senso antiorario con velocità angolare costante ω (pulsazione) e riproducono, con la successione delle loro proiezioni, le rispettive funzioni temporali. In ogni istante la somma dei valori di ogni terna è sempre nulla. I vettori qui hanno una lunghezza pari al valore massimo (ampiezza), mentre di solito, nelle applicazioni, le terne di vettori si rappresentano con i valori efficaci. L associazione dei vettori alle sinusoidi è un artificio utilissimo per poter affrontare i calcoli, ma non si dimentichi che le tensioni e le correnti sono comunque grandezze scalari, come lo è ad esempio la temperatura. 16

11 Test Sottounità 1.2 : Analisi dei sistemi trifase simmetrici ed equilibrati. 1- Cosa si intende per sistema equilibrato? a) le tensioni sono uguali b) le correnti sono uguali c) le impedenze del carico sono uguali in modulo e fase d) le impedenze del carico sono diverse 2- Cosa rappresenta ϕ nel collegamento del carico a stella? a) lo sfasamento fra le tensioni di fase e le tensioni concatenate b) lo sfasamento fra le correnti di fase e le correnti di linea c) lo sfasamento fra tensione concatenata e corrente di linea d) lo sfasamento fra la tensione di fase e la corrente di linea 3- In un sistema simmetrico ed equilibrato con carico collegato a 17

12 stella quanto vale la tensione fra i centri stella del sistema generatore e il sistema utilizzatore? a) zero b) infinito c) alla somma delle tensioni di linea d) alla somma delle tensioni concatenate 4- In un sistema trifase simmetrico ed equilibrato coc carico collegato a stella, qual è lo sfasamento fra la tensione di linea e la tensione concatenata? a) 120 b) ϕ c) 30 d) a b c d e 18

13 Sottounità 1.3 : Analisi dei sistemi trifase simmetrici e squilibrati Un sistema sbilanciato (non equilibrato,squilibrato) può essere causato da due situazioni : (1) le tensioni del generatore non hanno ampiezze tutte uguali e/o hanno fasi diverse, oppure (2) le impedenze di carico non sono uguali. In sintesi : un sistema sbilanciato è caratterizzato da generatori di tensione sbilanciati o da un carico sbilanciato. Le premesse sui dati sono le stesse dei sistemi equilibrati, avremo cioè : E 1 = E e j90 E 2 = E e j90 E 3 = E e j90 Determiniamo adesso la tensione V 00,cioè quella esistente fra i centri stella del sistema generatore e quello utilizzatore. Essa sarà diversa da zero in quanto il carico è squilibrato. Applichiamo il teorema di Millmann: V 00 = ( E 1 /Z 1 + E 2 /Z 2 + E 3 /Z 3 ) / ( 1/Z 1 + 1/Z 2 + 1/Z 3 ) 0 Quindi le tensioni di fase ai capi delle singole impedenze e le rispettive correnti saranno : E 1 = E 1 - V 00 I 1 = (E 1 - V 00 )/Z 1 E 2 = E 2 - V 00 I 2 = (E 2 - V 00 )/Z 2 E 3 = E 3 - V 00 I 3 = (E 3 - V 00 )/Z 3 Nel collegamento a triangolo il procedimento è uguale a quello del carico simmetrico, si avrà: V 12 = E e j120 V 12 = E e j0 V 12 = E e -j120 possiamo determinare le correnti di fase come : I 12 = V 12 /Z 1 I 23 = V 23 /Z 2 e le correnti di linea, come: I 31 = V 31 /Z 3 19

14 I 1 =I 12 -I 31 I 2 =I 23 -I 12 I 3 =I 31 -I 23 da queste espressioni possiamo determinare il diagramma vettoriale delle grandezze in gioco. Test Sottounità1.3 : Analisi dei sistemi trifase simmetrici e squilibrati. 1- Cosa si intende per sistema non equilibrato? a) le tensioni sono uguali b) le impedenze del carico sono diverse in modulo c) le impedenze del carico sono uguali in modulo e fase d) le impedenze del carico sono diverse in fase 2- In un sistema trifase simmetrico e non equilibrato con carico a stella quanto vale la tensione ai capi delle impedenze? a) E E V b) 00 c) V d) 0 3- In un sistema simmetrico squilibrato con carico collegato a triangolo come sono tra loro gli sfasamenti fra le tensioni concatenate e le correnti di fase? a) uguali b) la loro somma è 120 c) diverse perchè dipendono dalle tre impedenze diverse 20

15 d) diverse perchè le correnti di fase e le correnti di linea sono diverse a b c d e 21

16 Sottounità 1.4 : Le potenze nel sistema trifase Distinguiamo il caso di carico squilibrato e quello di carico equilibrato. A) Carico trifase squilibrato: Si calcolano le potenze di ogni singola impedenza di carico e poi 1) si sommano numericamente le singole potenze attive per ottenere la potenza attiva totale PT del carico; 2) si sommano algebricamente le singole potenze reattive per ottenere la potenza reattiva totale QT del carico (col segno + i carichi R-L; col segno - i carichi R-C); 3) si sommano vettorialmente le singole potenze apparenti per ottenere la potenza apparente totale ST del carico. E possibile però determinarla più semplicemente col teorema di Pitagora. Si può verificare che in presenza di carichi squilibrati la potenza istantanea complessiva non è costante, ma pulsa tra un minimo e un massimo due volte per ogni periodo della corrente. La potenza attiva del sistema è la potenza media in un periodo intero ed è la somma delle potenze reali delle singole fasi. Calcolo del fattore di potenza convenzionale: 22

17 in cui Φ T rappresenta l angolo di cui occorrerebbe ruotare rigidamente la terna delle correnti rispetto a quella delle tensioni per ottenere la potenza attiva massima. B) Carico trifase equilibrato : In particolare, quando il carico trifase è equilibrato, si possono fare le seguenti osservazioni: collegamento a STELLA equilibrata: la potenza attiva in una fase vale e quindi, per il teorema di Boucherot, la potenza attiva totale sarà la somma di queste tre potenze Essendo inoltre, per il collegamento a stella la (1) diventa collegamento a TRIANGOLO equilibrato ricordando che con questo collegamento del carico si ha 23

18 la potenza attiva totale diventa Come conclusione si può affermare che, per carichi trifase equilibrati, la potenza attiva totale si calcola indifferentemente con le due espressioni equivalenti: La scelta va fatta in base alle preferenze, o ai dati noti del problema. Di solito, essendo noti i valori di linea delle tensioni e delle correnti, è più usuale la relazione valida per carico a stella o a triangolo, purché il carico sia equilibrato. Ovviamente tensione e corrente sono quelle di linea e cosφ è il f.d.p. del carico.le osservazioni precedenti valgono analogamente per le potenze reattiva e apparente: Per la potenza apparente, con Boucherot, si può passare attraverso il teorema di Pitagora 24

19 Calcolo del fattore di potenza dell impianto: Si osservi che, applicando qui la definizione data prima per carichi squilibrati, ruotando la terna delle correnti rispetto a quella delle tensioni dell angolo φ, le correnti andrebbero in fase con le tensioni e la potenza attiva coinciderebbe con la potenza apparente, assumendone il valore massimo.a differenza di quanto accade per i carichi squilibrati, quando il sistema è simmetrico e il carico è equilibrato la potenza istantanea complessiva si mantiene assolutamente costante nel tempo, senza alcuna pulsazione (la potenza istantanea coincide quindi con la potenza media P del sistema, essendo nulla la potenza fluttuante). Test Sottounità 1.4 : Le potenze nel sistema trifase 1- A cosa è uguale la potenza attiva di un sistema trifase simmetrico ed equilibrato? a) alla somma delle potenze attive delle tre fasi cioè P = 3VIcosϕ? b) alla somma delle potenze attive delle tre fasi cioè P = 3EIcosϕ? c) alla radice quadrata della somma dei quadrati delle potenze attive e le potenze reattive d) alla radice di tre della somma delle potenze attive 25

20 2- A cosa è uguale la potenza apparente in un circuito trifase simmetrico? a) A= 3EI b) A = P+ Q c) A = P+ jq A = P + P + P + j( Q + Q + Q ) d) a b c d e 26

21 Sottounità Didattica 1.5 : Il rifasamento Per migliorare il fattore di potenza di un impianto, posto ad esempio all arrivo di una linea di alimentazione e per portarlo ad un valore cosφ =0,9 imposto dall ente distributore o a un valore più elevato, fino al rifasamento totale, occorre inserire in parallelo al carico una batteria di condensatori, che compensi parzialmente o totalmente quella di segno opposto del carico.si osserva che, come non si deve scendere al di sotto del valore 0,9 imposto, non si può nemmeno rifasare in anticipo, onde evitare ad esempio problemi legati alla sopraelevazione della tensione di rete. Per ridurre lo sfasamento complessivo dell utenza e quindi per aumentare il fattore di potenza complessivo occorre inserire all arrivo, in parallelo sul carico, una batteria di condensatori di potenza Qc. Dalla figura si ottengono le seguenti relazioni: La potenza reattiva che interessa una batteria di condensatori (con condensatori collegati a stella o a triangolo, ma tali da costituire un carico 27

22 trifase equilibrato) si può anche determinare dalla relazione (9), essendo la reattanza capacitiva Dall uguaglianza fra la (8) e la (9) si ottengono, a seconda del collegamento: 1. collegamento a triangolo (Ufase=Ulinea=Ua): da cui 2. collegamento a stella (Ufase = Ua / 1,732): da cui 28

23 In particolare si può notare che con il collegamento a triangolo la capacità di ogni fase è ridotta a 1/3 del valore a stella, e ciò può costituire un vantaggio relativamente al costo della batteria. Il costo però è anche condizionato dai problemi di isolamento, per cui con medie e alte tensioni si opta per il collegamento a stella, essendo la tensione di fase ridotta di 1,732 volte rispetto a quella di linea che agisce con collegamento a triangolo.in bassa tensione si opta invece per il collegamento a triangolo. Vantaggi del rifasamento: L aumento del f.d.p. in seguito al rifasamento porta alle considerazioni seguenti:diminuisce la potenza apparente dell utenza (carico + batteria) e quindi diminuisce la corrente della linea (solo quando i condensatori sono posti all arrivo, in parallelo al carico e non in partenza della linea); diminuiscono le perdite di potenza in linea; diminuendo la corrente si può progettare la linea con una sezione minore; diminuiscono le cadute di tensione sulla linea; aumenta il rendimento della linea.se l utenza, rifasando, richiede minore potenza apparente, l ente che eroga l energia può soddisfare più utenze, rispetto a quando non si rifasa.se un utente preleva dalla rete una potenza P e cosφ=1, mentre un secondo utente preleva la stessa P, ma con cosφ=0,5, la società che distribuisce l energia deve fornire a quest ultimo una corrente in ogni istante doppia rispetto a quella fornita al primo cliente, con maggiori perdite joule in linea e nelle macchine generatrici.si ricorda ancora che la potenza attiva dell utenza non viene modificata dalla presenza dei condensatori, ritenendo costante la tensione prima e dopo il rifasamento.come collocazione ideale i condensatori dovrebbero essere posti dove è ubicato ogni singolo carico. In pratica però, a volte, si devono fare altre scelte per motivi di organizzazione, di costo, di gestione degli impianti e la condizione suddetta non viene sempre realizzata.si può anche controllare in tempo reale il fattore di potenza dell utenza e provvedere di conseguenza al 29

24 rifasamento, in base alle mutate condizioni, mediante inseritori automatici di condensatori. Test Sottounità 1.5 : Il rifasamento 1- Cosa è la caduta di tensione di linea? a) è la tensione ai capi dell impedenza di linea b) è la tensione ai capi del carico c) è la differenza tra la tensione di linea e la tensiona concatenata d) è la tensione del collegamento a stella e) è la tensione dell elemento Weaston 2- Cosa significa rifasare un sistema trifase? a) cambiare le fasi del carico b) cambiare le fasi delle tensioni c) riportare lo sfasamento introdotto dal carico tra tensione e corrente allo stesso valore per le tre linee d) aggiungere un carico 30

25 3- Per rifasare un sistema trifase con bassa tensione di alimentazione come conviene collegare i condensatori? a) in parallelo al carico b) a stella perchè la capacità risulta tre volte maggiore c) è uguale d) a triangolo perchè la capacità risulta tre volte minore a b c d e 31

26 Sottounità 1.6 : Misure su sistemi trifase Collegamento a stella Un sistema trifase è caratterizzato in generale da tre fili di linea (L1 L2 L3) più un eventuale quarto conduttore L0 detto conduttore di neutro che, in relazione al tipo di sistema trifase, può anche essere assente. In figura sotto è rappresentato, in particolare, un sistema trifase in cui sia i generatori sia il carico sono entrambi connessi a stella. I tre generatori hanno un punto in comune come pure le tre impedenze di carico (Z1 Z2 Z3). Abbiamo visto, nelle sottounità precedenti che in un sistema trifase, si dicono tensioni concatenate o di linea (V12 V23 V31) le differenze di potenziale fra due fili di linea; si dicono invece correnti di linea (I1 I2 I3) quelle che attraversano i fili di linea. Per i sistemi a stella diremo inoltre tensioni stellate o di fase (E1 E2 E3) le differenze di potenziale fra ciascun filo di linea e il centro-stella. Questo punto, per i sistemi a quattro fili, coincide tipicamente con il conduttore di neutro L0. In un sistema trifase qualsiasi, tutte le correnti devono avere somma vettoriale nulla. Pertanto in presenza del neutro risulta in generale l equilibrio: mentre per un sistema senza neutro deve essere: h32

27 Di particolare interesse sono i sistemi trifasi in cui tutte le tensioni concatenate sono uguali in modulo e reciprocamente sfasate di 120. Un sistema trifase che abbia tali caratteristiche è detto simmetrico nelle tensioni. In tal caso si ha : Se un sistema simmetrico nelle tensioni alimenta un carico, costituito da tre impedenze uguali in modulo e fase (Z1=Z2=Z3), si ottiene un sistema di correnti equilibrato e risulta in particolare : Per un sistema trifase equilibrato nelle correnti il conduttore di neutro L0 non è più necessario in quanto la somma vettoriale delle correnti di linea è già nulla per ipotesi. Nella figura sotto sono rappresentati i diagrammi vettoriali delle tensioni e delle correnti, per un sistema simmetrico ed equilibrato connesso a stella : Si osservi che per un collegamento a stella sussistono in generale le seguenti relazioni vettoriali fra le tensioni concatenate: In particolare per un sistema a stella simmetrico nelle tensioni, risulta: Collegamento a triangolo. Un altra importante modalità di connessione per i sistemi trifasi è costituita dal collegamento a triangolo. In figura sotto è rappresentato un h33

28 carico trifase (Z 12 Z 23 Z 31 ) connesso a triangolo. La modalità di collegamento a triangolo vale in modo perfettamente analogo anche per un sistema di generatori di alimentazione (non presenti in figura). Per i sistemi a triangolo è appropriato considerare le tensioni concatenate (V 12 V 23 V 31 ) e le correnti di linea (I 1 I 2 I 3 ) già definite. In più dovremo considerare le correnti di fase (I 12 I 23 I 31 ) che interessano ciascun ramo delle impedenze di carico (Z 12 Z 23 Z 31 ). Nella figura successiva sono rappresentati i diagrammi vettoriali delle tensioni e delle correnti, per un sistema simmetrico ed equilibrato, connesso a triangolo. In modo duale a quanto visto per i sistemi a stella, si può osservare che per un collegamento a triangolo, sussistono le seguenti relazioni fra le correnti: In particolare, per un sistema connesso a triangolo, simmetrico nelle tensioni ed equilibrato nelle correnti (Z12 = Z23 = Z31 = Z), la corrente di linea risulta: h34

29 Misure di potenza attiva e reattiva In un sistema polifase qualsiasi, la potenza attiva P trasferita da un sistema trifase si misura con l opportuna inserzione di wattmetri. In generale, per un sistema polifase qualsiasi con (n+1) fili sono necessari n wattmetri, indipendentemente dalle condizioni di simmetria delle tensioni e di equilibrio delle correnti. Il sistema polifase viene considerato come l associazione di n sistemi monofasi indipendenti, ciascuno formato da un conduttore di linea Li e dal conduttore di riferimento L0, che può essere scelto arbitrariamente. In particolare, per la generica linea monofase, indicando con Ei la tensione di fase, con Ii la corrente di linea e con Pi la potenza attiva indicata dal generico wattmetro, la potenza totale P in transito sulla linea, in regime sinusoidale, risulta: Analogamente, detta Qi la potenza reattiva scambiata, in regime sinusoidale, dalla iesima linea monofase, la potenza reattiva totale, misurata con n varmetri ideali sarà: Per un sistema trifase generico, quindi dissimmetrico e squilibrato, solo la potenza attiva P ha un reale significato fisico, evidente e universalmente accettato. Viceversa, per la potenza reattiva Q esistono in letteratura altre definizioni e implicazioni che qui non verranno considerate. h35

30 Potenze nei sistemi simmetrici ed equilibrati. Si consideri un sistema trifase simmetrico nelle tensioni ed equilibrato nelle correnti, in regime sinusoidale. Un tale sistema equivale a tre circuiti monofasi uguali e si potrebbero dedurre tutte le grandezze elettriche di interesse dalle misure su una singola fase. Allo scopo sarebbe sufficiente inserire un voltmetro, un amperometro e un wattmetro, utilizzando per esempio la fase L1 e il neutro L0 (centrostella). In un sistema simmetrico ed equilibrato, ciascuna fase assorbe la stessa potenza attiva e scambia la stessa potenza reattiva. Con riferimento alla figura sopra si ha: Talvolta il centrostella non è accessibile (per esempio, nel caso di un carico trifase connesso a triangolo). Qualora il centrostella non sia accessibile, può essere realizzato un centrostella artificiale, derivando da ciascuna delle tre fasi tre resistenze R uguali e connettendo assieme l altro terminale di ciascuna resistenza. Il punto L0 così ottenuto risulta un centrostella a tutti gli effetti ed è accessibile per poter realizzare i circuiti voltmetrici di fase.(vedi figura sotto). h36

31 Inserzione Aron La condizione di simmetria delle tensioni è quella di funzionamento nominale per le reti di distribuzione pubblica dell energia. L equilibrio rigoroso delle correnti, invece, è condizione tipica solo in casi particolari (per esempio nel caso dei motori asincroni). In generale esisteranno sempre squilibri più o meno imprevedibili e pronunciati del carico. Con riferimento al caso particolarmente significativo di un sistema trifase a tre fili (L1 L2 L3), in qualunque condizione di regime, la determinazione della potenza attiva si ottiene con la classica inserzione Aron rappresentata in figura sotto. Per il sistema a tre fili, dunque, assumendo come conduttore arbitrario di riferimento per i circuiti voltmetrici la fase L2, si hanno le seguenti espressioni, a seconda dell impiego di wattmetri ovvero di varmetri: Il primo pedice con cui vengono scritte le potenze denota la fase in cui è inserita l amperometrica e da cui è derivato il morsetto contrassegnato del circuito voltmetrico; il secondo pedice indica la fase comune per le voltmetriche. h37

32 Il diagramma vettoriale rappresentato nella figura è del tutto generale, dissimmetrico nelle tensioni e squilibrato nelle correnti, con il solo vincolo per queste ultime di avere risultante nulla: I1+I3 = -I2. Con lo schema di inserzione in figura, le potenze attive misurate dai due wattmetri possono anche interpretarsi nel seguente modo (vedi il diagramma vettoriale): sommando : La somma algebrica delle indicazioni dei due wattmetri rappresenta quindi la potenza totale P come somma delle potenze di ciascuna fase del sistema, riferita al centrostella O. Considerazioni sul centrostella. Il centrostella di un sistema trifase può essere un punto fisicamente accessibile (per esempio nei sistemi trifasi con neutro) e allora si può tracciare nel diagramma vettoriale il punto che effettivamente lo rappresenta (per esempio il punto O in figura): è infatti possibile misurare direttamente le effettive tensioni stellate Ei. Quando, invece, il centrostella non è accessibile (come nel caso dei sistemi trifasi a tre fili), si può definire un centrostella ideale O, rappresentato dal baricentro del triangolo delle tensioni concatenate Vik. h38

33 La posizione di tale punto O si ottiene imponendo che il sistema di tensioni stellate E 1 E 2 E 3 sia a risultante nulla, cioè E 1+E 2+E 3 = 0. Pertanto risulta: Quindi : Avendo messo in conto la relazione: E 2+E 3 = - E 1 e circolando con gli indici. Qualunque altro sistema di tensioni stellate (E1 E2 E3) può ottenersi dal sistema (E 1 E 2 E 3) a risultante nulla, aggiungendo la differenza di potenziale VO O fra il centrostella ideale O e quello attuale O. Allora, per il generico vettore della terna, si avrebbe: Ei = E i + VO O. Nel caso particolare di un sistema simmetrico ed equilibrato a quattro fili, il centrostella effettivo O coincide con il centrostella ideale O. Nei casi pratici, non sempre il centrostella coincide con quello ideale, a causa dalle condizioni di esercizio del sistema trifase, dalle condizioni di carico o di un eventuale guasto. La tensione VO O viene detta h39

34 componente omopolare della terna di tensioni stellate e trova compiuto utilizzo nella scomposizione dei sistemi vettoriali trifasi nelle loro componenti di sequenza (diretta, inversa e omopolare). È interessante osservare che, in un sistema a tre fili, la potenza Pi di ciascuna fase dipende dalla posizione effettiva del centrostella O, mentre la potenza totale P ne è indipendente. Infatti la potenza complessiva dovuta alle componenti omopolari VO O delle tensioni di fase e alla terna equilibrata delle correnti di linea risulta sempre nulla, come si può facilmente dedurre dalle equazioni precedenti.potenza reattiva in sistemi simmetrici ed equilibrati Abbiamo visto che l inserzione Aron consente di determinare la potenza attiva di un sistema qualsiasi a tre fili e quindi anche di un sistema simmetrico ed equilibrato.tuttavia, per un sistema simmetrico ed equilibrato in regime sinusoidale, le letture di due wattmetri inseriti in Aron (oltre alla determinazione della potenza attiva P) consentono anche la determinazione della potenza reattiva Q. Possiamo renderci conto di tale fatto, facendo riferimento al diagramma vettoriale della figura sotto. Questo rappresenta un sistema simmetrico di tensioni di sequenza diretta: in esso i vertici 1, 2 e 3 del triangolo delle tensioni si susseguono in senso orario. Il carico equilibrato è stato assunto di tipo induttivo. Per tale sistema si può scrivere: Svolgendo semplici calcoli trigonometrici si ottiene: h40

35 Sommando: Sottraendo : La somma delle letture wattmetriche rappresenta (come già noto) la potenza attiva P del sistema trifase, mentre la loro differenza è proporzionale alla potenza reattiva Q. Si ribadisce che la determinazione della potenza reattiva con tale metodo è valida solo per sistemi simmetrici ed equilibrati. Le potenze P12 e P32 misurate dai wattmetri variano con l angolo di fase ϕ del carico. Si osserva nel diagramma che, benchè la potenza attiva trifase P sia sempre positiva, uno dei due contributi può risultare negativo. Ad esempio, per angoli compresi fra 60 e 90 induttivi, risulta negativa la P12. Il segno della potenza reattiva. Nell analisi di un sistema simmetrico ed equilibrato, riportata al paragrafo precedente, si è fatto riferimento a un sistema di tensioni di sequenza diretta. Se viceversa il sistema fosse stato di sequenza inversa (con i vertici 1, 2 e 3 che si susseguono in senso antiorario), la rappresentazione dei vettori sarebbe stata: Di conseguenza le indicazioni dei wattmetri sarebbero state: h41

36 Sommando: Sottraendo: La potenza attiva P non è cambiata in alcun modo, come era facile attendersi. La potenza reattiva Q è invece cambiata di segno. Quindi, per interpretare correttamente la differenza delle letture P32-P12, è necessario conoscere a priori o il senso ciclico delle fasi o il tipo di carico (induttivo o capacitivo). A tale scopo vale il seguente prospetto riassuntivo: P32- P12>0 (sequenza diretta e carico induttivo) o (sequenza inversa e carico capacitivo) P32-P12<0 (sequenza diretta e carico capacitivo) o (sequenza inversa e carico induttivo).infine, si consideri l inserzione di figura sotto in un sistema trifase simmetrico ed equilibrato. Osserviamo che, per determinare tutte le grandezze di interesse è sufficiente aggiungere ai due wattmetri in inserzione un solo voltmetro. Infatti, con riferimento allo schema di figura, risulta: h42

37 Determinazione del senso ciclico delle fasi In certi casi può avere interesse determinare l effettivo senso ciclico delle fasi, prima di connettere il carico (ad esempio affinchè un motore asincrono alimentato dalla rete giri nel senso voluto). In pratica, conoscere il senso ciclico fra i morsetti di una terna simmetrica, significa considerare un generico morsetto come riferimento, indicandolo come fase "1"; quindi sapere quale dei restanti debba essere indicato come il morsetto "2" di una sequenza diretta, ovvero abbia una tensione stellata E2 in ritardo rispetto alla E1. Per raggiungere tale scopo esistono diversi metodi. Un modo veramente semplice può essere l impiego di un circuito formato da un condensatore C e due lampade uguali di resistenza R, inseriti come in figura sotto. Con riferimento al diagramma vettoriale del sistema, mostreremo che il centro stella P di un tale carico trifase deve stare sulla semicirconferenza a tratto pieno rappresentata nel diagramma vettoriale di figura sopra. Infatti: 1) le correnti I2 ed I3 devono essere in fase con le rispettive tensioni stellate E2 ed E3; 2) la risultante delle tensioni E2 ed E3 passa per il punto A (punto medio della diagonale); 3) anche la somma vettoriale delle correnti I2 ed I3 deve passare per il punto A (essendo le due resistenze uguali); 4) la corrente I1, uguale ed opposta a tale risultante, deve passare per lo stesso punto A; 5) d altra parte, la corrente I1 deve essere in quadratura in anticipo sulla tensione E1, in quanto fluisce nel condensatore C; 6) l angolo (1PA) è retto in P, qualunque sia la posizione del punto P; 7) il centro stella P deve stare sulla semicirconferenza a tratto pieno rappresentata nel diagramma vettoriale di figura, in quanto vede i punti fissi 1 e A sotto un angolo retto. Il punto P h43

38 non potrebbe stare sull altra semicirconferenza (punteggiata), in quanto la corrente I1 risulterebbe in ritardo di 90 su E1 contraddicendo l ipotesi di impedenza capacitiva. In definitiva, se si scelgono opportunamente i valori delle resistenze R uguali e del condensatore C, si può fare in modo che la corrente I2 risulti di intensità sufficientemente superiore alla corrente I3 e pertanto la lampada corrispondente si illuminerà maggiormente. Se si verifica tale circostanza, la sequenza delle fasi è diretta, come assunto in ipotesi. Sistemi simmetrici e squilibrati. In un sistema trifase a tre fili, simmetrico nelle tensioni e squilibrato nelle correnti (che rappresenta la maggioranza dei casi nell esercizio ordinario degli impianti) è possibile ricorrere a misure wattmetriche per valutare la potenza reattiva. La determinazione della potenza reattiva si può fare inserendo tre wattmetri come indicato in figura sotto. Lo schema prevede, oltre ai due wattmetri dell inserzione Aron, un terzo wattmetro con l amperometrica sulla fase 2 e la voltmetrica tra le fasi 3 e 1, che segna la P2(31). Si verifica che la potenza P2(31) può essere scritta, vista l ipotesi di simmetria delle tensioni, nella seguente forma: h44

39 che risulta proporzionale alla potenza reattiva della fase 2 rispetto al centrostella ideale. Tuttavia, per la potenza P2(31) si possono dare anche le altre forme equivalenti: A) B) Si può verificare che le potenze che compaiono al secondo membro delle equazioni, corrispondono alle indicazioni dei wattmetri inseriti secondo gli schemi delle figure sotto riportate. Quanto mostrato per un wattmetro con l amperometrica inserita sulla fase 2 e la voltmetrica tra le fasi 3 e 1 può essere generalizzato e si ottiene: poichè la potenza reattiva totale è la somma delle potenze reattive di ciascuna fase, sommando membro a membro e semplificando, si ha: h45

40 che dimostra come la potenza reattiva in un sistema simmetrico e squilibrato possa ottenersi dalle letture di tre wattmetri inseriti secondo lo schema di figura. Test Sottounità 1.6 : Misure sui sistemi trifase 1- Quanto vale la corrente del neutro in un sistema trifase simmetrico equilibrato, con carico collegato a stella? a) 0 b) V / Z 00 c) la somma delle correnti di linea d) infinito 2- Da cosa è prodotto un sistema di correnti non equilibrato? a) dal carico non equilibrato b) da scariche elettriche sulla linea c) da carichi monofasi distribuiti lungo la linea d) dalla dissimetria delle tensioni 3- Cosa è una inserzione Aron per un sistema trifase? a) è un metodo per misurare le potenze reattive con l utilizzo di due wattmetri b) è un metodo per misurare la potenza apparente con due wattmetri c) è un modo di inserire due wattmetri per misurare le potenze attive e il fattore di potenza in un sistema trifase simmetrico equilibrato d) è un metodo di misura delle tensioni concatenate h46

41 a b c d e h47

42 Esercizi riepilogativi Unità 1. Esercizio 1 Applicando i principi di Kirchoff determinare in modulo ed in fase le correnti assorbite dal sistema trifase di figura R=XL=100 Ω 1 R O Xc=50 Ω 2 L 3 C alimentato da una terna simmetrica di tensioni concatenate di valore efficace V = 380 V. Tracciare inoltre il diagramma vettoriale relativo. Esercizio 2 Un generatore trifase bilanciato a stella con impedenza di 0.4+j0.3 Ω per fase è collegato ad un carico bilanciato a stella con impedenza 24+j19 Ω per fase. La linea che collega il generatore ha impedenza 0.6+j0.7 Ω per fase. Supponendo la sequenza positiva per le tensioni del generatore, e conoscendo V 12 = V, determinare (a) le tensioni di linea, (b) le correnti di linea. Esercizio 3 Un carico bilanciato collegato a triangolo con impedenza 20-j15 Ω è collegato ad un generatore a triangolo a sequenza positiva con V 12 = V. Calcolare le correnti di fase del carico e le correnti di linea. 48

43 Esercizio 4 In un circuito triangolo-stella bilanciato, V 12 = V e Z Y = (12+j15) Ω. Calcolare le correnti di linea. Esercizio 5 Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, e si supponga che la lettura del voltmetro sia 380V. Ricavare la lettura dell amperometro A e la potenza complessa totale assorbita alla sezione Esercizio 6 Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell amperometro sia 5 A. 1 Ricavare la lettura del voltmetro. 2 Ricavare la potenza complessa totale assorbita alla sezione Rifasare alla sezione realizzando la condizione.9.0cos ϕr 49

44 ESERCIZIO 7 Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni. - Ricavare la lettura dell amperometro. - Ricavare la potenza complessa totale assorbita alla sezione e la lettura dei wattmetri. 50