Circuiti Elettrici Lineari Risposta in frequenza
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- Flaviana Castelli
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1 Facoltà di Ingegneria Università degli studi di Pavia Corso di aurea Triennale in Ingegneria Elettronica e Informatica Circuiti Elettrici ineari isposta in frequenza Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag.
2 Sommario Funzione di trasferimento a scala dei decibel isonanza serie isonanza parallelo Filtri Diagrammi di Bode Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag.
3 Funzione di trasferimento a risposta in frequenza di un circuito rappresenta la variazione del suo comportamento al variare della frequenza Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 3
4 Funzione di trasferimento X ingresso rete lineare H H Y X Y uscita H rappresenta il rapporto del fasore di uscita rispetto al fasore d ingresso, al variare della frequenza, e viene detta funzione di trasferimento Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 4
5 Funzione di trasferimento Quattro possibili tipi di funzione di trasferimento: H o i H I o I i H o I i H I o i guadagno di tensione guadagno di corrente guadagno di transimpedenza guadagno di transammettenza Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 5
6 Funzione di trasferimento H He φ H modulo della funzione di trasferimento φ argomento o fase della funzione di trasferimento In molti casi si preferisce introdurre la variabile complessa s H Hs Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 6
7 Funzione di trasferimento Si può anche scrivere: H N D N e D non coincidono necessariamente con le espressioni delle funzioni di ingresso e uscita. a frazione è ridotta ai minimi termini, eliminando eventuali fattori comuni. Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 7
8 Funzione di trasferimento H N D e radici di N sono dette zeri di H e vengono rappresentate come z, z, e radici di D sono dette poli di H e vengono rappresentate come p, p, Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 8
9 Funzione di trasferimento H N D Uno zero radice del numeratore è un valore che rende nulla la funzione di trasferimento Uno polo radice del denominatore è un valore per il quale la funzione di trasferimento diventa infinita Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 9
10 Funzione di trasferimento Esempio: H o i C C C i C o H H φ arctg C Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag.
11 Funzione di trasferimento Esempio: C i C o H H φ arctg Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag.
12 a scala dei decibel Per rappresentare il rapporto fra due quantità omogenee x e x ad esempio fra due tensioni o fra due correnti, in campo ingegneristico si usa spesso il decibel: H H x x H log H db log x x Il simbolo del decibel è db H H db log 3.dB Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag.
13 a scala dei decibel H H log H log H H H log H log H Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 3
14 a scala dei decibel Questa rappresentazione è particolarmente conveniente per tracciare il grafico del modulo della funzione di trasferimento. Si utilizzano le proprietà dei logaritmi: log log log x x x x log x log x x α α log x log x log x log log x x log Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 4
15 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 5 a scala dei decibel In generale:... log log log... log log log log log p p p z z z K p p p z z z K β β β α α α β β β α α α
16 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 6 a scala dei decibel In molti casi è più semplice calcolare o misurare il rapporto fra la potenza d ingresso e quella d uscita: circuito H H db log log log log P P H P P P P
17 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 7 a scala dei decibel Se si ha: circuito H H db log log log P P H P P P P
18 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 8 isonanza serie θ S S e C I C C e H S φ H C H C φ arctg
19 isonanza serie C S S e θ I H C a funzione H raggiunge il valore massimo per la pulsazione : C C Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 9
20 isonanza serie C S S e θ I C Alla pulsazione si ha H, φ le tensioni S e e la corrente I sono in fase impedenza vista dal generatore è puramente resistiva e coincide con è il più grande possibile e quindi la potenza assorbita dalla resistenza è la massima possibile Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag.
21 isonanza serie a potenza media assorbita dalla resistenza è: P P S P I C H P H Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag.
22 isonanza serie Si definisce larghezza di banda la quantità B, dove e rappresentano le due pulsazione per le quali la potenza assorbita dalla resistenza è la metà di quella massima. P P H.5 3 db B Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag.
23 isonanza serie..8 H H H db log log H H.6 3 db Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 3
24 isonanza serie P P P P H.5 3 db H C P P P P C ± Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 4
25 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 5 isonanza serie ± C ± C Si verifica facilmente che: ± B
26 isonanza serie In generale, per un circuito risonante si definisce il fattore di merito: Q energia immagazzinata nel circuito potenza media dissipata energia immagazzinata nel circuito Q π energia dissipata in un periodo alla frequenza di risonanza Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 6
27 isonanza serie Per il circuito C serie il fattore di merito Q risulta: I Q π I f C Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 7
28 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 8 isonanza serie C Q Q B Q C H ± ± Q Q, Da si ottiene:
29 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag isonanza serie Q B Q H, B Q Q Q ± ± ± Se Q >> si ha: Q Q Q Q5 H
30 isonanza serie icordando che alla risonanza si ha C e che Q C si ottiene: S C C C C C S C S C S C Q S S S S C C Q S Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 3
31 isonanza serie C C Q S Q S S C e tensioni sul condensatore e sull induttore sono uguali e opposte e nei circuiti ad alto fattore di merito possono raggiungere valori elevatissimi. Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 3
32 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 3 isonanza parallelo C C e H S φ I I H C H C φ arctg θ S S e I I I C
33 isonanza parallelo I S I S e θ C I H C a funzione H raggiunge il valore massimo per la pulsazione : C C Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 33
34 isonanza parallelo Per il circuito C parallelo il fattore di merito Q risulta: energia immagazzinata nel circuito Q π energia dissipata in un periodo alla frequenza di risonanza π C f C Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 34
35 isonanza parallelo a potenza media assorbita dalla resistenza è: P I I S C P P H.5 3 db B P H , ± C Q B C Q C ± Q Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 35
36 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 36 isonanza parallelo Q B Q H, B Q Q Q ± ± ± Se Q >> si ha: Q Q Q Q5 H
37 Filtri Un filtro è un circuito progettato per lasciar passare i segnali alle frequenze desiderate e per bloccare o attenuare quelli alle altre frequenze Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 37
38 Filtri Di norma si distinguono quattro tipologie di circuiti filtranti, in base alla funzione di trasferimento ideale che devono realizzare: H H c Filtro passa basso c Filtro passa alto H H Filtro passa banda Filtro arresta banda Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 38
39 Filtri Esempio di filtro passa basso: H c 3 db risposta ideale risposta reale i H C o i c C o C Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 39
40 Filtri Esempio di filtro passa alto: H db risposta ideale risposta reale i H C o i c C o C C c Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 4
41 Filtri Esempio di filtro passa banda: C H risposta ideale risposta reale db S H C S Q Q C ±, Q Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 4
42 Filtri Esempio di filtro arresta banda: H. S C C risposta ideale risposta reale db H C C S Q Q Q C ±, Q Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 4
43 Filtri Esempio di filtro passa banda Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 43
44 Filtri Esempi di realizzazione Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 44
45 Filtri Esempio di filtro passa banda Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 45
46 Filtri Esempio di diplexer passa banda per selezione di canale Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 46
47 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 47 Diagrammi di Bode [ ] [ ] P i M m m P P m m i k Z N n n Z Z n n p z K ζ ξ H In generale, la funzione di trasferimento può sempre essere posta nella forma canonica o forma di Bode: dove sono tutte quantità reali P m m i Z n h z p K ζ ξ,,,,,,
48 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 48 Diagrammi di Bode [ ] [ ] P i M m m P P m m i k Z N n n Z Z n n p z K ζ ξ H Si ha: [ ] [ ] [ ] M m m P P m P i i N n n Z Z n Z m n p z k K H db 4 log log 4 log log log log log ζ ξ H
49 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 49 Diagrammi di Bode [ ] [ ] P i M m m P P m m i k Z N n n Z Z n h p z K ζ ξ H Si ha: M m P m P m m P i i N n Z n Z n n Z p z k arctg arctg arctg arctg arg ζ ξ π φ H
50 Diagrammi di Bode Per tracciare i grafici di H db e φ è sufficiente saper tracciare l andamento delle seguenti funzioni e sommarle in forma grafica: log log log klog K [ ] α [ ] α γ α π k arctg α γ α arctg α Di seguito vengono studiati separatamente gli andamenti di queste funzioni. Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 5
51 Diagrammi di Bode H db e φ vengono normalmente tracciati su un grafico di tipo semilogaritmico, in cui la scala dell asse delle ascisse pulsazioni è logaritmica: H db φ Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 5
52 Diagrammi di Bode log K H db 8 6 K Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 5
53 Diagrammi di Bode klog H db k dbdecade k dbdecade 4 dbdecade k Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 53
54 Diagrammi di Bode [ ] log α dbdecade 4 H db 3 << α >> α [ ] log [ α ] log [ α ] log andamento approssimato.. α.5 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 54
55 Diagrammi di Bode [ ] α γ log α 6 << α >> α [ ] log 4 [ α ] 4log [ α ] log 4 dbdecade H db 4 andamento approssimato γ. γ. γ γ α.5 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 55
56 Diagrammi di Bode k π φ [ ] k k k Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 56
57 Diagrammi di Bode arctg α 45 decade φ [ ] << α >> α arctg [ ] arctg [ ] 9 andamento approssimato... α α.5 α Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 57
58 Diagrammi di Bode γ α arctg α << α >> α arctg [ ] [ ] 8 arctg 8 9 decade φ [ ] 5 5 andamento approssimato γ. γ. γ γ 3... α α.5 α Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 58
59 Diagrammi di Bode Esempio: H 6 p K p z [ ] ζ p p K z 5 p. p 8 p 3 ζ.5 H db 4 andamento esatto andamento approssimato Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 59
60 Diagrammi di Bode Esempio: H p K p z [ ] ζ p p φ [ ] K z 5 p. p 8 p 3 ζ 3.5 andamento esatto andamento approssimato.. 4 Circuiti Elettrici ineari a.a. 89 Prof. uca Perregrini isposta in frequenza, pag. 6
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