MODELLO COMPLETO PER IL CONTROLLO. D r (s) U(s) Y (s) d m (t): disturbi misurabili. d r (t): disturbi non misurabili

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1 MODELLO COMPLETO PER IL CONTROLLO D m (s) D r (s) Y o (s) U(s) P (s) Y (s) d m (t): disturbi misurabili d r (t): disturbi non misurabili y o (t): andamento desiderato della variabile controllata u(t): variabile di controllo P (s): funzione di trasferimento del processo Problema del controllo: determinare l ingresso u in modo che risulti y y 0.

2 CONTROLLO IN CATENA DIRETTA Soluzione in catena diretta. Ipotesi: processo a minima rotazione di fase (poli e zeri con parte reale minore di zero). D m (s) Y o (s) + U(s) (s) P1 1 (s) P 1 (s) P 2 (s) P 1 Y (s) Legge di controllo in assenza di disturbi non misurabili U(s) = 1 P (s) Y o (s) 1 P 1 (s) D m(s)

3 CONT. IN CATENA APERTA VS. CONT. IN RETROAZIONE + Y 0 (s) H(s) C ret (s) P (s) Y (s) Y 0 (s) C dir (s) P (s) Y (s) H(s) Ipotesi: i due schemi di controllo sono stabili internamente; le funzioni di trasferimento ingresso-uscita soddisfano: C ret P H 1 + C ret P H 1 C dir P 1

4 CONTR. IN CATENA APERTA VS. CONTR. IN RETROAZIONE Effetto di un disturbo d (non misurabile) sull uscita (y d e y n sono rispettivamente la risposta al disturbo d e all uscita desiderata y 0 )): controllo in catena diretta: controllo in retroazione: Y d Y n = Y d = 1 Y n C dir P 1 C ret P H D Y 0 D Y 0 D Y 0 << D Y 0 Effetto di una variazione parametrica P dell impianto P ( y è la variazione dell uscita dovuta a P ): controllo in catena diretta: Y Y n = P P controllo in retroazione: Y Y n = 1 P 1 + C ret P H P << P P

5 SCHEMA DI CONTROLLO IN RETROAZIONE COMPLETO D pi (s) D pu (s) Y o (s) R(s) + C(s) U(s) P (s) Y (s) H(s) D h (s) Problema del controllo: determinare la funzione di trasferimento C(s) del controllore in modo che l andamento di y(t) sia ragionevolmente vicino a y o (t) per ogni configurazione ammissibile dei disturbi.

6 SPECIFICHE DI CONTROLLO Condizione fondamentale: sistema stabile internamente ad anello chiuso. Classi di specifiche: Specifiche di precisione: rapporto desiderato fra il segnale di riferimento e l uscita; errori di inseguimento a regime per segnali tipici di ingresso; errori a regime dovuti a disturbi e/o variazioni parametriche. Specifiche di stabilità: limite alla massima sovraelongazione della risposta al gradino (picco di risonanza, margine di fase, coefficiente di smorzamento dei poli dominanti) Specifiche di velocità di risposta: limite al tempo di salita della risposta al gradino (tempo di ritardo, tempo di assestamento, banda passante)

7 SINTESI PER TENTATIVI: SPECIFICHE Al blocco in catena di retroazione H(s) spetta il compito di soddisfare al rapporto ingresso-uscita desiderato: H(s) = 1 K D se y o (t) = K D r(t) Le altre specifiche sono soddisfatte dal compensatore C(s) Specifiche tipiche: 1. Tipo del sistema di controllo: definisce l ingresso canonico per il quale si ha errore generalizzato a regime limitato e non nullo. 2. Entità di tale errore di regime permanente. 3. Sovroelongazione massima ŝ max. 4. Tempo di salita desiderato t 0 s Struttura del compensatore: C(s) = K c s h C (s) C (0) = 1 Altre specifiche: limite sull ampiezza del segnale di ingresso all impianto.

8 SINTESI PER TENTATIVI: DETERMINAZIONE DI K c e h Determinazione del tipo: Ordine massimo k r dell ingresso canonico per il quale si vuole un errore di inseguimento a regime limitato Ordine massimo ki d del disturbo canonico in ingresso all impianto per il quale si vuole un errore a regime limitato Ordine massimo ku d del disturbo canonico in uscita dall impianto per il quale si vuole un errore a regime limitato N p : numero dei poli in zero dell impianto Determinazione del guadagno di Bode: k r, k d i, k d u e N p Guadagno di Bode K p dell impianto Valore K D del rapporto ingresso-uscita desiderato

9 SPECIFICHE EQUIVALENTI SUL GUADAGNO D ANELLO Specifiche nel dominio del tempo ad anello chiuso: 1. ŝ ŝ max 2. t s = t o s Specifiche equivalenti nel dominio della frequenza ad anello chiuso ( W (s) ): 1. M r M rmax (1 + ŝ max )/[0.85, 1] 2. B 3 = B o 3 3/t o s Specifiche equivalenti nel dominio della frequenza ad anello aperto ( C(s)P (s)/k D ): 1. m φ m φ (carta di Nichols) 2. ω a = ω o a [0.5, 0.8]B o 3

10 SINTESI PER TENTATIVI: DETERMINAZIONE DI C (s) Forma guadagno d anello: L(s) = C (s)l (s) dove L (s) = K c s h P (s) K D Problema: dati il margine di fase desiderato m o φ e la pulsazione di attraversamento desiderata ω o a determinare C (s) in modo che: L(jω o a) db = 0 arg[l(jω o a)] + π = m o φ ovvero C (jω o a) db = L (jω o a) db arg[c (jω o a)] = m o φ arg[l (jω o a)] π

11 PRINCIPALI RETI CORRETTRICI: ANTICIPATRICE C (s) = 1 + sτ 1 + sτ/m, m > 1 Realizzazione circuitale: Valore dei parametri: τ = R 1 C, m = R 1 + R 2 R 2

12 PRINCIPALI RETI CORRETTRICI: RITARDATRICE C (s) = 1 + sτ/m, m > sτ Realizzazione circuitale: Valore dei parametri: τ = (R 1 + R 2 )C, m = R 1 + R 2 R 2

13 RETI CORRETTRICI: DIAGRAMMI DI BODE

14 IMPOSTAZIONE DI ω o a E m o φ Caso I L (jω o a) db 0 arg[l (jω o a)] + π m o φ Caso II L (jω o a) db 0 arg[l (jω o a)] + π m o φ

15 IMPOSTAZIONE DI ω o a E m o φ Caso III L (jω o a) db 0 arg[l (jω o a)] + π m o φ Caso IV L (jω o a) db 0 arg[l (jω o a)] + π m o φ

16 VERIFICA ULTERIORI SPECIFICHE Specifica sul massimo valore ammissibile per la funzione di trasferimento fra il riferimento e l ingresso dell impianto F (jω) db = C(jω) db 1 + C(jω)P (jω)h(jω) db M u Comportamento alle alte frequenze (disturbi) lim ω C(jω) db M u Specifica sull errore in uscita prodotto da disturbi sinusoidali. Disturbo sull uscita: d(t) = sin ω d t Specifica: C(jω d )P (jω d )H(jω d ) e d

17 SINTESI PER TENTATIVI: ESEMPIO θ o Potenz. + Compens. Motore Riduttore θ Potenz. Costante di trasduzione dei potenziometri: K p = 4 [V rad 1 ] Rapporto di riduzione: K r = 1 70 Motore in corrente continua a controllo di campo: P (s) = K m s(1 + sτ e )(1 + sτ m ) ; τ e = L e R e, τ m = J β, K m = K T R e β Valori parametri del motore: K m, τ e e τ m sono determinati sperimentalmente: K m = 65 [rad s 1 V 1 ]; τ m = 0.2 [s]; τ e = 0.03 [s] R e e J sono misurati direttamente: R e = 1.5 [Ω]; J = [kg m 2 ]

18 SINTESI PER TENTATIVI: ESEMPIO Specifiche di controllo: 1. l errore di inseguimento a regime corrispondente ad ingressi costanti sia nullo 2. l errore di inseguimento a regime corrispondente ad una rampa unitaria sia non superiore a e r = 0.01 [rad] 3. l errore a regime corrispondente ad un disturbo di coppia costante, sull asse del motore, di ampiezza pari a C d = 10 3 [kg m 2 s 2 ] sia non superiore a e d = 0.01 [rad] 4. il tempo di salita t o s sia approssimativamente pari a 0.2 [s] 5. il picco di risonanza sia non superiore a M rmax = 3 db Schema a blocchi C d θ o K p C(s) K r R e + sl e s(β + sj) K T θ K p Altri dati β = 10 4 [kg m 2 s 1 ]; L e = [H]; K T = [kg m 2 s 2 A 1 ]

19 SINTESI PER TENTATIVI: ESEMPIO Determinazione di K D K D è già assegnato e vale 1/K p C d θ o + 4 C(s) s s( s) 1 70 θ Il processo ha già un polo in zero per cui risulta h = 0 K c è fissato considerando le specifiche 2. e K c 3. K c Scelta: K c = 27 1 e r K p K m K r = 26.9 C d e d K p K m K r β = 3.85

20 SINTESI PER TENTATIVI: ESEMPIO θ o C (s) L (s) = s( s)( s) θ Scelta di m o φ e ω o a m o φ = 45 o ; ω o a = 10 Diagrammi di Bode di L (jω)

21 SINTESI PER TENTATIVI: ESEMPIO C (s) è data dal prodotto di una rete anticipatrice e una ritardatrice: C (s) = ( s) ( s) ( s) (1 + 5s) }{{}}{{} ANT.: m=6;τ =0.2 RIT.: m=10;τ =5 Diagrammi di Bode di L(jω) = C (jω)l (jω)

22 SINTESI PER TENTATIVI: ESEMPIO Verifica specifica sul picco di risonanza (carta di Nichols) Verifica specifica sul tempo di risposta (simulazione numerica)

23 SINTESI PER TENTATIVI: ESEMPIO Diagrammmi di Bode della W(s) Diagrammmi di Bode della funzioni di trasferimento disturbo-uscita e riferimento-ingresso

24 Luogo delle radici SINTESI PER TENTATIVI: ESEMPIO

25 TRACCIATORE GRAFICO X-Y Schema di un asse di un tracciatore grafico X-Y Dati relativi all amplificatore di tensione: G = guadagno = 5 ; d 1 = disturbo di offset sulla tensione = [V ]; Dati relativi al motore in corrente continua controllato di campo (corrente di armatura costante) e all albero: R e = resistenza dinamica del circuito eccitazione motore = 5 [Ω]; L e = induttanza del circuito eccitazione motore = 1 [H]; K T = costante di coppia del motore = 5 [N m A 1 ]; J m = momento di inerzia rotore + albero = 0.15 [Kg m 2 ]; β = coefficiente di attrito dell albero = 0.25 [N m s]; d 2 = disturbo di coppia = [N m].

26 TRACCIATORE GRAFICO X-Y Dati relativi all asse del tracciatore grafico: J p = momento di inerzia della puleggia P P = 0.05 [Kg m 2 ]; R = raggio della puleggia P P = [m]; CI = cinghia inestensibile; P U = punta tracciante. Specifiche. 1. K D = fattore di proporzionalitá riferimento-uscita = 1 [mv 1 ]; 2. e r = errore di inseguimento a regime alla rampa unitaria 0.05 [m]; 3. e d = errore a regime dovuto ai disturbi d 1 e d [m]; 4. 3 db W (jω) db 3 db per 0 ω 4 [rad s 1 ]; 5. F (jω) db 35 db per ω > 4 [rad s 1 ]. Nota: W (s) è la funzione di trasferimento fra il riferimento e la posizione di P U, mentre F (s) è la funzione di trasferimento fra il riferimento e la tensione di ingresso dell amplificatore.

27 TRACCIATORE GRAFICO X-Y Schema a blocchi dell impianto completo d 1 d 2 u G i e C m 1 ω 1 θ R e + sl e + β + sj s + ± K T R y Nota: J = J m + 2J p Schema a blocchi sistema di controllo (K D = 1) d 1 d 2 Y o + + ± + C(s) P 1 (s) P 2 (s) Y Nota: P 1 (s) = GK T R e sτ e ; P 2 (s) = R β 1 s(1 + sτ m )

28 TRACCIATORE GRAFICO X-Y Calcolo di h e K c dalle specifiche di precisione (2. e 3.): h = 0; K c 40 Determinazione della C (s) dalla specifica 4. B o 3 = 4 [rad s 1 ] = ω o a = 2.5 [rad s 1 ] M rmax = 3 db = m φ = 40 o (m o φ = 45 o ) Diagrammi di Bode guadagno d anello non compensato C (s) = ( s) ( s) }{{} ANT.: m=10; τ=1.2 (1 + 5s) (1 + 40s) }{{} RIT.: m=8; τ=40

29 TRACCIATORE GRAFICO X-Y Diagrammi di Bode guadagno d anello compensato Verifica condizioni 4. e 5. (diagrammi di Bode di W (s) e F (s))

30 INTERPRETAZIONE RETI CORRETTRICI CON IL L.D.R. Sistema di tipo 1 con polo reale (impianto tipico) L (s) = K s(1 + s/p), K, p > 0 Luogo delle radici di L (s) Luogo delle radici di C a(s)l (s) (C a(s) è definita da m a e τ a )

31 INTERPRETAZIONE RETI CORRETTRICI CON IL L.D.R. Luogo delle radici di C r(s)l (s) (C r(s) è definita da m r e τ r Effetto sui parametri della risposta al gradino del sistema ad anello chiuso delle due reti correttrici. rete anticipatrice: ζ a > ζ, ω na > ω n, aumento margine di stabilità aumento banda del sistema rete ritardatrice: ζ r < ζ, ω nr < ω n, diminuzione margine di stabilità diminuzione banda del sistema

32 EFFETTI RETE INTEGRATIVA (RITARDATRICE) Instabilità a seguito di una diminuzione del guadagno di Bode Sistemi di tipo 2: analisi con Nyquist, Bode e luogo delle radici Effetto coda: valore elevato del tempo di assestamento.

33 EFFETTI RETE DERIVATIVA (ANTICIPATRICE) Esaltazione dei disturbi in ingresso all impianto. Funzione di trasferimento riferimento-ingresso impianto: F (s) = C(s) 1 + C(s)P (s)h(s) Comportamento alle alte frequenze: lim F (jω) ω db = lim C(jω) ω db Se C(s) = K c C a(s)c r(s) risulta lim ω C(jω) db = 20 log 10 K c + 20 log 10 m a } {{ } Antic. 20 log 10 m r }{{} Ritar.

34 SINTESI PER TENTATIVI: CASI NON STANDARD Sistemi con più pulsazioni di attraversamento. Esempio: L (s) = s(1 + 10s) 1 + 2ζs + s2, ζ = 0.05 Specifiche: ω o a e m o φ (I): ω o a < 0.4 (II): ω o a > 0.4

35 SINTESI PER TENTATIVI: CASI NON STANDARD Sistemi stabili con zeri a parte reale maggiore di zero. Le relazioni per il passaggio da specifiche ad anello chiuso (tempofrequenza) a specifiche sull anello aperto hanno un grado di approssimazione minore. Esempio: L(s) = 0.5( s) s( s) }{{} C(s) (1 s) ( s) }{{} P (s) ω a 0.6; B 3 20; t s% = 2.1 Un caso speciale: sistemi con un elemento di ritardo.

36 SINTESI PER TENTATIVI: CASI NON STANDARD Dati T = 2 [s] Specifiche m o φ = 30 o ; ω o a = 1; K c = 1; Una soluzione C(s) = (1 + 3s) ( s) }{{} ANT.: m=8;τ =3 ( s) (1 + 20s) }{{} RIT.: m=3;τ =20

37 SINTESI PER TENTATIVI: CASI NON STANDARD Sistemi instabili ad anello aperto. Esempio: L (s) = 1 s(s 1) Diagramma di Nyquist e sua modifica. Diagrammi di Bode di L (s)

38 SINTESI PER TENTATIVI: CASI NON STANDARD Specifiche: ω o a = 2, m o φ = 30 o Compensatore: C(s) = s, Antic.: m = 10; τ = s Verifica diagrammi di Bode guadagno d anello compensato. Sistemi con poli e zeri a parte reale maggiore di zero: talvolta si deve ricorrere a compensatori instabili.