Catene di Misura. Corso di Misure Elettriche

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1 Catene di Misura Corso di Misure Elettriche Piero Malcovati Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione Università di Pavia Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 1/33

2 Indice 1 Generalità 2 Richiami sulla Trasformata di Laplace Proprietà della Trasformata di Laplace Risoluzione di Equazioni Differenziali 3 Funzione di Trasferimento Sistemi del Primo Ordine Sistemi del Secondo Ordine 4 Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace 5 Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 2/33

3 Generalità Nel corso di una misurazione, il segnale che rappresenta la grandezza da misurare viene trattato in modo da poter esprimere la misura con uno o più valori numerici o di fornirne una appropriata rappresentazione Il complesso degli elementi interposti, per ottenere detta rappresentazione, costituisce una catena di misura La catena di misura più semplice è costituita da un solo strumento, ma è assai frequente il ricorso a catene più complesse In termini più generali, si può anche pensare che il singolo strumento sia, dal punto di vista funzionale, assimilabile ad una catena di misura e(t) M u(t) Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 3/33

4 Generalità Il tipo di trattamento del segnale può variare in relazione alla natura e all ampiezza della grandezza in esame, nonché al tipo di misura che si desidera condurre È, comunque, importante conseguire l univocità della relazione tra la rappresentazione in uscita della grandezza e il segnale che la rappresenta in ingresso Il caso più semplice di elaborazione del segnale è quello per il quale i due segnali in ingresso e in uscita della catena sono della stessa natura e sono tra loro legati da un fattore di conversione (y = k x) Sono, tuttavia, assai frequenti anche casi in cui si ha a che fare con funzioni più complesse, ad esempio relazioni di fase tra grandezze sinusoidali, oppure in cui le grandezze in ingresso e uscita sono di diversa natura Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 4/33

5 Richiami sulla Trasformata di Laplace Data una funzione f (t), definita nel dominio del tempo per t > 0 e identicamente nulla per t < 0, si definisce Trasformata di Laplace della f (t) una funzione F (s), definita nel dominio della variabile complessa s = α + jω F (s) = 0 f (t) e st dt = L [ f (t) ] Poiché la funzione F (s) si ottiene con un integrale esteso ad un intervallo infinito, essa può convergere o non convergere Data una trasformata di Laplace F (s), i valori di s che rendono infinito il modulo di F (s) si dicono poli, mentre i valori di s che annullano F (s) si dicono zeri Si può dimostrare che, se l integrale che definisce F (s) converge per s 0 = α + jω, esso converge anche per ogni valore di s la cui parte reale è maggiore di α Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 5/33

6 Richiami sulla Trasformata di Laplace L estremo inferiore dei valori di per cui l integrale converge si dice ascissa di convergenza c j ω Ascissa di Convergenza c α Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 6/33

7 Richiami sulla Trasformata di Laplace Con la trasformata di Laplace si è stabilita una corrispondenza univoca tra funzioni reali di variabili reali trasformabili e funzioni complesse di variabile complessa È anche possibile applicare il procedimento inverso e, cioè, calcolare f (t), quando è nota F (s) (antitrasformata di Laplace) f (t) = 1 2πj α+jω α jω F (s) e st ds = L 1 [F (s)] L integrazione è effettuata lungo una retta parallela all asse immaginario di ascissa (α > 0) La corrispondenza tra f (t) e F (s) è biunivoca La funzione F (s) può sempre essere ricondotta a una funzione razionale, del tipo F (s) = a 0 + a 1 s + a 2 s a m s m b 0 + b 1 s + b 2 s b n s n Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 7/33

8 Richiami sulla Trasformata di Laplace Nel caso in cui il grado m del polinomio al numeratore fosse maggiore del grado n del polinomio al denominatore, si può effettuare il quoziente tra i due polinomi, ottenendo F (s) = A (s) + B (s) B (s) è un polinomio con n m, mentre A (s) è un polinomio, che ha come antitrasformata la funzione di Dirac (o sue derivate) Dato che l uso diretto dell integrale di trasformazione e di antitrasformazione è complicato, si ricorre ad apposite tabelle, che riportano le coppie funzione-trasformata di uso più comune Prima di ricorrere a dette tabelle, può essere conveniente scomporre la funzione razionale in s in una serie di termini semplici, usando lo sviluppo di Heavyside Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 8/33

9 Proprietà della Trasformata di Laplace Linearità L [ k 1 f 1 (t) + k 2 f 2 (t) ] = k 1 L [ f 1 (t) ] + k 2 L [ f 2 (t) ] Traslazione nel dominio del tempo: se F (s) = L [ f (t) ], allora L [ f (t τ) ] = e sτ F (s) Traslazione nel dominio di Laplace: se F (s) = L [ f (t) ], allora L [ e at f (t) ] = F (s a) Derivazione nel dominio di Laplace: se F (s) = L [ f (t) ], allora L [ tf (t) ] df (s) = ds Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 9/33

10 Proprietà della Trasformata di Laplace Derivazione nel dominio del tempo: se F (s) = L [ f (t) ], allora [ ] df (t) L = sf (s) f (0) dt Se la funzione f (t) è discontinua per t = 0, ad f (0) occorre sostituire f ( 0 +) = lim t 0 + f (t) Teorema del valore iniziale: se F (s) = L [ f (t) ], allora f ( 0 +) = lim s sf (s) Teorema del valore finale: se F (s) = L [ f (t) ] e F (s) ha poli solo a parte reale negativa e nell origine (ma non su altri punti dell asse immaginario o nel semipiano a parte reale positiva), allora lim t f (t) = lim sf (s) s 0 Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 10/33

11 Proprietà della Trasformata di Laplace Funzione Trasformata di Laplace Impulso: δ (t) 1 Scalino: sca (t) 1 s Rampa: ram (t) = tsca (t) 1 s 2 Parabola: par (t) = t 2 sca (t) Esponenziale: e at sca (t) Seno: sin (ωt) sca (t) Coseno: cos (ωt) sca (t) 1 s 3 1 s + a ω s 2 + ω 2 s s 2 + ω 2 Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 11/33

12 Risoluzione di Equazioni Differenziali Mediante la trasformata di Laplace, è possibile ridurre la risoluzione di equazioni differenziali lineari ed a coefficienti costanti alla risoluzione di equazioni algebriche, utilizzando il seguente procedimento Mediante la trasformata di Laplace, il sistema di equazioni da risolvere viene trasferito dal dominio del tempo al dominio di Laplace, ottenendo un sistema di equazioni algebriche equivalente, in cui l incognita è la trasformata di Laplace dell incognita di partenza Si risolve il problema equivalente nel dominio di Laplace, determinando la trasformata dell incognita del problema originale Si ritorna nel dominio del tempo, mediante l antitrasformata di Laplace Il problema potrebbe essere risolto anche direttamente restando nel dominio del tempo Il procedimento che passa attraverso il dominio di Laplace è utilizzato nei casi in cui la trasformata del segnale di ingresso è una funzione razionale Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 12/33

13 Risoluzione di Equazioni Differenziali Dominio di Laplaceo Problema Equivalente Metodi Risolutivi di Equazioni Algebriche Soluzione del Problema Equivalente Trsasformazione Antitrasformazione Dominio del Tempo Problema Metodi Risolutivi di Equazioni Differenziali Soluzione del Problema Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 13/33

14 Funzione di Trasferimento Dato un sistema lineare, con un ingresso ed una uscita, si dice funzione di trasferimento G (s) il rapporto tra la trasformata di Laplace del segnale di uscita U (s) e la trasformata di Laplace del segnale di ingresso E (s), quando il sistema ha condizioni iniziali nulle G (s) = U (s) E (s) La funzione G (s) ha il significato fisico di trasformata di Laplace della risposta del sistema ad un segnale di ingresso di tipo impulsivo (δ di Dirac, la cui trasformata è uguale a 1 Si ricorda che la funzione di Dirac è rappresentabile con un rettangolo δ (t) di durata τ e altezza 1/τ e, quindi, di area 1 Se si fa tendere τ a 0, mantenendo l area uguale a 1, l ordinata 1/τ tende a infinito Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 14/33

15 Funzione di Trasferimento Ampiezza 1/τ τ Tempo Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 15/33

16 Funzione di Trasferimento Si osserva che la risposta di un sistema ad una funzione impulsiva può essere ottenuta, sia pure con difficoltà, anche per via sperimentale È, però, in generale, più semplice produrre l eccitazione al gradino unitario (fronte infinitamente ripido e poi valore costante unitario), che altro non è che l integrale dell impulso di Dirac La trasformata di Laplace della risposta al gradino, moltiplicata per il fattore s, dà ancora la funzione di trasferimento G (s) Si ricordi che la funzione di trasferimento è una caratteristica del sistema ed è indipendente dal segnale di ingresso In un circuito elettrico si hanno, tipicamente, più funzioni di trasferimento a seconda del punto in cui si applica la forzante E (s) e del punto in cui si rileva il segnale di uscita U (s) u 1 (t) e(t) R C u 2 (t) Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 16/33

17 Funzione di Trasferimento In generale, i sistemi reali più significativi presentano funzioni di trasferimento di due tipi Sistemi del primo ordine, in cui G (s) = Sistemi del secondo ordine, in cui G (s) = µ 1 + sτ µ 1 + 2γ ω 0 s + 1 s 2 ω 2 0 In entrambi i casi la G (s) è caratterizzata da G (0) = µ, cioè il sistema trasferisce, senza alterazioni, un segnale di ingresso costante nel tempo, moltiplicandolo per il guadagno µ Poiché µ è costante, l analisi delle due funzioni può essere fatta utilizzando la forma ridotta, ponendo µ = 1 Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 17/33

18 Sistemi del Primo Ordine Si analizza ora la funzione di trasferimento G (s) per i sistemi del primo ordine che, dal punto di vista elettrico, possono essere rappresentati con un circuito, in cui ci sono resistenze R e induttanze L, ma non capacità C, oppure resistenze R e capacità C, ma non induttanze L Il parametro τ è detto costante di tempo e definisce completamente il sistema Per un circuito con una resistenza e una capacità, la costante di tempo è τ = RC (in secondi) e(t) R C u(t) Si esamina ora il caso in cui il seganle di ingresso e (t) è un gradino unitario, cioè, e (t) = 0 per t < 0 e e (t) = 1 per t > 0 Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 18/33

19 Sistemi del Primo Ordine Trasformando nel dominio di Laplace, si ottiene E (s) = 1 s 1 1 U (s) = E (s) G (s) = 1 + sτ s Per determinare il segnale di uscita nel dominio del tempo u (t), bisogna antitrasformare la U (s) Conviene applicare il teorema di Heavyside, che consente di suddividere la funzione in più termini di tipo più semplice U (s) = sτ s = 1 s 1/τ 1 + sτ = 1 s 1 1/τ + s Si può ora facilmente antitrasformare, ottenendo u (t) = L 1 [U (s)] = 1 e t/τ Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 19/33

20 Sistemi del Primo Ordine Ampiezza τ Tempo Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 20/33

21 Sistemi del Primo Ordine Si noti il significato geometrico di τ, che è la sottotangente, riferita all ordinata e (t) = 1, della funzione u (t) Essa rappresenta Il tempo dopo il quale u (t) = = e 1 L area compresa tra le due curve (tempo di risposta) Se si considera, invece, la funzione a rampa e (t) = k t, la risposta è ancora una rampa, con ritardo costante τ rispetto alla rampa applicata, dopo un tempo abbastanza grande rispetto a τ Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 21/33

22 Sistemi del Primo Ordine Ampiezza τ Tempo Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 22/33

23 Sistemi del Secondo Ordine Si passa ora ad esaminare la funzione di trasferimento ridotta (µ = 1) per sistemi del secondo ordine G (s) = γ ω 0 s + 1 s ω Il parametro γ rappresenta il fattore adimensionale di smorzamento, mentre ω 0 rappresenta la pulsazione caratteristica del sistema Applicando un gradino unitario, a seconda se γ > 1, γ = 1 o γ < 1, la risposta sarà aperiodica, critica o oscillatoria L ampiezza massima della sovraelongazione (funzione di γ) è data da U M = 1 + e πγ 1 γ 2 Per i sistemi del secondo ordine, il tempo di risposta τ r si calcola sommando algebricamente le aree, τ r = τ 1 τ 2 + τ 3 τ 4 ) Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 23/33

24 Sistemi del Secondo Ordine E(t) γ < 1 Ampiezza γ = 1 γ = 2 Tempo Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 24/33

25 Sistemi del Secondo Ordine Ampiezza γ Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 25/33

26 Sistemi del Secondo Ordine τ 2 τ 4 Ampiezza τ 1 τ Tempo Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 26/33

27 Metodo Simbolico per la Trasformata di Laplace Il metodo simbolico permette di passare immediatamente dalla funzione e (t) alla funzione E (s), tenendo presente i teoremi di derivazione e integrazione della trasformata di Laplace In un circuito elettrico, i componenti R, C e L possono essere sostituiti con impedenze simboliche equivalenti Resistenze R, Capacità 1, Induttanze sl sc Componente Resistenza Capacità Induttanza Dominio Tempo Frequenza v (t) i (t) = R dv (t) i (t) = C dt di (t) v (t) = L dt V (s) I (s) = R V (s) I (s) = 1 sc V (s) I (s) = sl Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 27/33

28 Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale In un sistema lineare a parametri concentrati, la risposta a una eccitazione sinusoidale è ancora una sinusoide, con la stessa frequenza, ma con ampiezza e fase diverse, come è ben noto dallo studio dei circuiti in corrente alternata Si può dimostrare che, in generale, l ampiezza della sinusoide in uscita si ottiene moltiplicando il segnale in ingresso per il modulo della funzione di trasferimento, calcolato ponendo s = jω, dove ω = 2πf è uguale alla pulsazione della sinusoide di ingresso (f è la frequenza della sinusoide di ingresso), mentre lo sfasamento è determinato dall argomento di G (jω) Dal punto di vista sperimentale, è molto più comodo determinare la risposta in regime sinusoidale che all impulso di Dirac o al gradino unitario, in quanto esistono generatori di funzioni sinusoidali a frequenza variabile molto semplici Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 28/33

29 Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale Nel caso in cui tutti gli zeri e tutti i poli della funzione di trasferimento si trovino nel semipiano negativo del piano complesso, l ampiezza e la fase della risposta in frequenza e, perciò, il modulo e l argomento di G (jω) possono essere facilmente determinati Si consideri la funzione di trasferimento G (s) = sτ con un ingresso sinusoidale e (t) = sin (ωt) La funzione di trasferimento G (jω) assume la forma G (jω) = jωτ Il cui modulo di G (jω) è dato da G (jω) = jωτ = ω 2 τ j τ ω 2 τ 2 = ω2 τ 2 Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 29/33

30 Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale Normalmente, esso viene espresso in decibel (db) e risulta, quindi, dato da G (jω) db = 20 log [ G (jω) ] ( ) 1 = 20 log 1 + ω2 τ 2 L argomento di G (jω) è dato da ϕ = arctan (ωτ) Se ωτ 1, si ottiene G (jω) 1 e ϕ ωτ Il segnale di uscita ha, quindi, la stessa ampiezza del segnale di ingresso, ma è in ritardo di ωτ Se, invece, ωτ 1, si ottiene G (jω) 1/ (ωτ) e ϕ π/2, cioè, il sistema funziona da integratore approssimato (le due onde sono sfasate di 1/4 di periodo) Poiché il circuito facilita la trasmissione delle frequenze basse, esso si comporta come un filtro passa-basso Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 30/33

31 Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale 1 Modulo Frequenza 0 Fase -45 Modulo [db] Frequenza Frequenza - Scala Logaritmica e(t) R C u(t) 0 Fase Frequenza - Scala Logaritmica Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 31/33

32 Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale Si consideri la funzione di trasferimento G (s) = sτ 1 + sτ Se si calcolano il modulo e la fase in regime sinusoidale, si ottiene ωτ G (jω) = 1 + ω2 τ 2 ( ) ωτ G (jω) db = 20 log 1 + ω2 τ 2 ( ) 1 ϕ = arctan ωτ Per ωτ 1, si ottiene G (jω) ωτ e ϕ π/2, mentre per ωτ 1, si ottiene G (jω) 1 e ϕ ωτ Questo circuito si comporta come un derivatore approssimato Poiché il circuito trasmette le frequenze più elevate, esso agisce da filtro passa-alto Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 32/33

33 Trasformata di Laplace in Regime Sinusoidale 1 Modulo Frequenza 90 Fase Frequenza e(t) C R u(t) Modulo [db] Frequenza - Scala Logaritmica 90 Fase 45 0 Frequenza - Scala Logaritmica Piero Malcovati Misure Elettriche Catene di Misura 33/33

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