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1 3. Specifiche dei Sistemi Un sistema di controllo può essere progettato fissando le specifiche: nel dominio del tempo (tempo di salita, tempo di assestamento, sovraelongazione, ecc.); nel dominio della frequenza (larghezza di banda, picco e frequenza di risonanza); del comportamento a regime (errore a regime, sensibilità). Il comportamento di un sistema può, dunque, essere studiato mediante l'analisi della risposta nel dominio del tempo o nel dominio della frequenza. 3.1 Specifiche nel dominio del tempo La risposta di un sistema sollecitato dai segnali canonici, si compone, di una risposta in transitorio che tende ad esaurirsi e di una risposta a regime. In un buon sistema di controllo il valore della grandezza d'uscita (variabile controllata) deve essere uguale, per quanto possibile, a quello desiderato. È chiaro, però, che in un sistema reale questo non potrà mai accadere a causa dei disturbi e delle numerose ipotesi semplificative fatte quando si costruisce il modello matematico del sistema. Ciò significa che tra il valore effettivo della risposta ed il valore desiderato vi è sempre uno scostamento, detto errore che deve essere il più piccolo possibile. Un buon sistema di controllo, inoltre, deve avere anche un'elevata velocità di risposta (tempo di salita, tempo di ritardo, tempo di assestamento), ossia deve essere in grado di raggiungere lo stato di regime molto rapidamente quando è sottoposto a brusche variazioni della sollecitazione. Infine è necessario che l'ampiezza della sovraelongazione (ovérshoot) sia molto limitata quando la risposta presenta oscillazioni in seguito ad una repentina variazione della sollecitazione. La velocità della risposta e la sovraelongazione sono requisiti che si ricavano dall'analisi della risposta nel dominio del tempo Specifiche in transitorio Le principali specifiche nel dominio del tempo di un sistema sollecitato da un segnale a gradino sono/elencate di seguito: 1) Tempo di ritardo T d (delay (ime): è l'intervallo di tempo richiesto perché il valore della risposta sia uguale al 50% del suo valore finale; 2) Tempo di salita T r (rise time): è l'intervallo di tempo necessario perché il valore della risposta aumenti dal 10% al 90% del valore finale; 3) Tempo di assestamento T s (settling time): è l'intervallo di tempo richiesto perché il valore della risposta sia compreso entro una fascia di valori prestabiliti che si discostano dell' 1%-5% dal valore finale; 4) Sovraelongazione massima (Maximum ovérshoot): è la differenza tra il valore massimo della risposta e il valore finale della stessa. In pratica la sovraelongazione massima è espressa in percentuale rispetto al valore finale: pag. 1 di 6

2 figura 1 Per sistemi del secondo ordine la sovraelongazione massima percentuale è funzione dello smorzamento: 3.2 Comportamento a regime La precisione e la sensibilità sono requisiti che si ricavano dall'analisi della risposta a regime. Per valutare le caratteristiche di un sistema di controllo è necessario studiare il suo comportamento anche in condizioni di regime, inteso come il comportamento che ha il sistema dopo che hanno avuto termine i fenomeni transitori. Le specifiche della risposta a regime sono l'errore a regime e la insensibilità ai disturbi. Questi ultimi sono segnali indesiderati che agiscono sul sistema provocando lo scostamento della risposta rispetto a quello previsto per effetto della sollecitazione applicata. I disturbi possono essere di tipo additivo e di tipo parametrico: i primi sono esterni al sistema (ad esempio l'improvvisa variazione della temperatura ambiente o l'apertura di una finestra in un sistema di riscaldamento di un edificio), e i secondi dipendono, come è evidente, dalle variazioni dei parametri del sistema. II primo requisito statico richiesto ad un sistema di controllo a catena chiusa è la precisione a regime, intesa come misura di quanto il valore della grandezza d'uscita si discosta dal valore che si avrebbe se il sistema di controllo fosse ideale. Poiché in un pag. 2 di 6

3 sistema reale la risposta è sempre diversa da quella ideale, si definisce errore la differenza istantanea ottenuta sottraendo la risposta reale da quella ideale: ε(t)=u d (t)-u(t) Si definisce, errore a regime di un sistema di controllo il limite( 1 ): =lim s E s s 0 L'errore a regime dipende, come si vedrà, dalla sollecitazione applicata al sistema e dal numero dei poli nulli presenti nella funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)H(s), o G(s) nel caso in cui si consideri un sistema a retroazione unitaria. L'errore a regime è detto di: 1) posizione, ed è indicato con ε p quando la sollecitazione applicata è un gradino: r(t) = R 2) velocità, ed è indicato con ε v quando il sistema è sollecitato da una rampa: r(f)=r t 3) accelerazione, ed è indicato con ε a quando la sollecitazione applicata è un segnale a parabola di equazione r(t) = R/2 t 2 Poiché le prestazioni di un sistema sono valutate anche in base all'entità dell'errore, di seguito sono analizzati i metodi di calcolo dell'errore a regime per sistemi di tipo zero, uno e due sollecitati dai segnali canonici a gradino, a rampa e a parabola nell'ipotesi che: 1) H (s) sia una costante uguale ad H 0 2) sia una funzione razionale fratta con n >. m. a) Errore a regime per i sistemi di tipo zero: si dimostra che gli errori a regime per i sistemi di tipo zero, q=0, sollecitati dai segnali a gradino, a rampa e a parabola sono rispettivamente uguali a: 1- Poiché per calcolare l'errore a regime si applica il teorema del valore finale, si suppone che la funzione s E(s) non abbia poli a parte reale positiva o nulla. pag. 3 di 6

4 Dai risultati ottenuti si. deduce che: un sistema di tipo zero può essere utilizzato come regolatore perché la sua risposta differisce da quella ideale di una quantità costante (figura 2); un sistema di tipo zero non può, invece, essere utilizzato come servosistema perché la grandezza d'uscita non segue la legge di variazione della sollecitazione quando quest'ultima è un segnale a rampa o a parabola. figura 2 b) Errore a regime per sistemi di tipo uno; si dimostra che gli errori a regime per i sistemi di tipo uno, q=1, sollecitati dai segnali a gradino, a rampa e a parabola sono rispettivamente uguali a: Un sistema di tipo uno può essere utilizzato come regolatore perché la risposta a regime è uguale alla sollecitazione quando quest'ultima è un segnale a gradino, e come servosistema perché la differenza tra la risposta a regime e la sollecitazione a rampa è costante. Un sistema di tipo uno non può essere sollecitato da un segnale a parabola perché l'errore di accelerazione tende all'infinito. c) Errore a regime per sistemi di tipo due: si dimostra che gli errori a regime per i sistemi di tipo due, q=2, sollecitati dai segnali a gradino, a rampa e a parabola sono rispettivamente uguali a: Un sistema di tipo due può essere utilizzato come regolatore o come servosistema perché la risposta a regime è uguale alla sollecitazione quando quest'ultima è un segnale a gradino o a rampa. Un sistema di tipo due, inoltre, è in grado di seguire l'andamento di un segnale a parabola perché l'errore di accelerazione è costante. I risultati delle considerazioni fatte sono riassunti nella tabella 1 dalla quale si deduce che l'errore è finito o nullo quando si ha un sistema di tipo: pag. 4 di 6

5 1) zero sollecitato da un segnale a gradino; 2) uno sollecitato da un segnale a rampa o a gradino; 3) due sollecitato da un segnale a parabola, a rampa o a gradino. Tabella Specifiche nel dominio della frequenza In ogni caso è irrinunciabile che il sistema sia stabile ad anello chiuso, e abbia un buon margine di fase e di guadagno. Le specifiche nel dominio del tempo possono essere dedotte da quelle nei dominio della frequenza e viceversa e, nel caso di sistemi del secondo ordine, vi sono delle espressioni che mettono in relazione il picco di risonanza con la sovraelongazione, e la banda passante con il tempo di salita. Nelle considerazioni che seguono si fa riferimento ai sistemi del secondo ordine, perché il comportamento dei sistemi del terzo ordine e di quelli di ordine superiore, aventi due poli dominanti rispetto ai rimanenti, è simile.a quello di un sistema del secondo ordine. La larghezza di banda di un sistema retroazionato è l'intervallo di frequenze tale che il modulo della funzione di trasferimento ad anello chiuso non è mai inferiore al 70% (non è mai minore di 3 db se il modulo è espresso in db) del valore che esso assume quando ω = 0 rad/s. Si dimostra che la banda passante di un sistema retroazionato è approssimativamente uguale alla pulsazione di attraversamento della funzione di trasferimento ad anello aperto del medesimo sistema. Il tempo di salita T r e la banda passante B w (espressa in hertz) di un sistema, sono legati dalla seguente relazione sperimentale: T r B w = 0,35-0,5 Si può affermare che la velocità di risposta di un sistema è tanto più elevata quanto più ampia è la sua larghezza di banda. Infatti un sistema di controllo che abbia una banda passante ampia è in grado di seguire le sollecitazioni che variano rapidamente perché le componenti armoniche in alta frequenza presenti nella sollecitazione non vengano attenuate. pag. 5 di 6

6 Per valutare il picco e la pulsazione di risonanza si consideri la figura 2. Si dimostra che i sistemi del secondo ordine con valori di ξ < 0,707 hanno il picco di risonanza e la pulsazione di risonanza rispettivamente uguali a: pag. 6 di 6

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