Diagrammi di Bode. I Diagrammi di Bode sono due: 1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione
|
|
- Fausto Rostagno
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Diagrammi di Bode Possibili rappresentazioni grafiche della funzione di risposta armonica F (ω) = G(jω) sono: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Diagrammi di Nichols. I Diagrammi di Bode sono due: ) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione del ln ω; 2) il diagramma delle fasi rappresenta β = arg G(jω) in funzione del ln ω; ] ln G(jω) = ln [ G(jω) e j arg G(jω) = ln G(jω) + ln[e j arg G(jω) ] Esempio: = ln G(jω) + j arg G(jω) Diagramma delle ampiezze G(jω) = ( 00 ( + j ω 0 ) + j 80 ω ) ( + j ω 000 ) Diagramma delle fasi
2 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Per i calcoli si utilizzano i logaritmi naturali. Peraltro, un cambiamento di base dei logaritmi equivale ad un semplice cambiamento di scala. Si possono utilizzare due tipi diversi di carta millimetrata: a) carta con doppia scala logaritmica per le ampiezze e carta semilogaritmica per le fasi; b) carta semilogaritmica sia per le ampiezze sia per le fasi. In questo caso la scala delle ampiezze è graduata in decibel: B =20 log 0 A. Caso a) Caso b) I vantaggi che si hanno impiegando una scala logaritmica sono: i) è possibile avere una rappresentazione dettagliata di grandezze che variano in campi notevolmente estesi; ii) i diagrammi di Bode di sistemi in cascata si ottengono come somma dei diagrammi di Bode dei singoli sottosistemi; iii) i diagrammi di Bode di una funzione data in forma fattorizzata si ottengono come somma dei diagrammi elementari dei singoli fattori.
3 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Conversione in db e viceversa Il decibel è un unità logaritmica convenzionale che normalmente si impiega per esprimere il guadagno di amplificatori. B(db) = 20 log 0 A Per la conversione si può utilizzare il seguente diagramma: Posto A nella forma: A = r 0 n con r < 0, il valore di A in decibel è: B = 20 n + s db dove s si ricava dal diagramma a fianco: 0 s < 20. Alcune conversioni di uso frequente: A B = 20 log 0 A Esempio : Esempio 2: A = 24 A = B = 28 A = 0.56 A = B = 5 Ogni 6 db il valore di A raddoppia; Ogni 20 db il valore di A è moltiplicato per 0;
4 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Si consideri una generica funzione di trasferimento: G(s) = K s m + b m s m b s + b 0 s h (s n h + a n s n h a h+ s + a h ) Il fattore s h corrisponde ad un eventuale polo nell origine avente ordine di molteplicità h: se la funzione di trasferimento non presenta poli nell origine, è h=0. Forma fattorizzata a poli e zeri: G(s) = K (s z ) (s z 2 )... (s z m ) s h (s p h+ ) (s p h+2 )... (s p n ) Forma fattorizzata a costanti di tempo: ( +τ s ) ( +τ 2s ) (... +2δ s G(s) = K s ( h +τ s ) ( +τ 2 s )... ω n ) + s2 ω n 2 ( +2δ s ω n + s2 ω 2 n... )... La funzione di risposta armonica si ottiene ponendo s=jω: ( ) ( ) ( ) +jωτ +jωτ δ jω ω ω2 n ω 2... n G(jω) = K (jω) ( ) ( ) ( ) h jω +jωτ +jωτ δ ωn ω2 ωn 2... Il diagramma di Bode della funzione G(jω) si ottiene come somma dei diagrammi di Bode delle seguenti funzioni elementari: K (j ω) h ( + j ω τ ) ± ( ) + j 2 δ ω ω ± n ω2 ωn 2
5 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Guadagno costante: G(jω) = K. - I diagrammi dei moduli e della fasi sono indipendenti da ω, cioè sono costanti; - Se K > 0, il diagrammi delle fasi è β = 0; - Se K < 0, il diagramma delle fasi è β = π. Poli nell origine: G(jω) = (j ω) h. - I diagrammi riportati a fianco sono relativi al caso h = 2; - In scala (ln, ln), il diagramma delle ampiezze è una retta passante per il punto (ω, α) = (, 0 db) e di inclinazione h; - Il diagramma delle fasi è costante, identicamente uguale a h π 2 ; Diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi: ln G(jω) = α + j β = ln ω h j h π 2 = h ln ω j h π 2
6 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Poli reali: G(jω) = ( + j ω τ ) = + jωτ ln G(jω) = α + j β = ln Diagrammi asintotici di Bode: + j ( arctan ωτ) + ω2 τ 2 Diagramma delle ampiezze: a) per ω /τ, si ottiene α 0, cioè il diagramma tende a coincidere con l asse delle ascisse. b) per ω /τ, si ottiene α ln ωτ = ln τ ln ω cioè il diagramma tende alla retta passante per il punto ln ω = ln (/τ) e di inclinazione ; L approssimazione asintotica del diagramma delle ampiezze è pertanto costituita dalle due semirette { 0 per ln ω ln τ, α = ln τ ln ω per ln ω ln τ, Il massimo errore della rappresentazione asintotica si ha per ω =/τ e vale ln 2 (circa 3db). La pendenza, su carta semilogaritmica diventa 20 db/decade;
7 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Diagramma asintotico delle fasi: La spezzata si ottiene collegando i due asintoti β = 0 e β = π/2 con la tangente al diagramma effettivo nel punto corrispondente alla pulsazione di rottura ω 0 = /τ, punto in cui è β = π/4. Essendo β = arctan ωτ, si può scrivere d β d ln ω = d β d ω ω=ω0 d ω d ln ω = ω 0 τ ω=ω0 + ω0 2 τ = 2 2 Le pulsazioni ω a e ω b si determinano utilizzando la relazione da cui si ottiene π/4 ln ω 0 ln ω a = π/4 ln ω b ln ω 0 = 2 ln ω 0 ω a = ln ω b ω 0 = π 2 ω 0 ω a = ω b ω 0 = e π 2 = 4, 8 I diagrammi di Bode della funzione G(jω) = +jωτ si ottengono ribaltando attorno all asse delle ascisse quelli della funzione G(jω)=(+jωτ). Quando la costante di tempo τ è negativa, il diagramma delle ampiezze risulta immutato, mentre il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all asse delle ascisse.
8 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Esempio. Si consideri la seguente funzione di risposta armonica: Diagrammi di Bode: G(jω) = 5, 6 ( + j ω 0, 5) ( + j ω 4) ( + j ω 0, 25) ( + j ω 0, 25)
9 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Poli complessi coniugati (0 δ <): G(s) = + 2δ ω n s + s2 ω 2 n G(jω) = ω2 ω 2 n + j 2 δ ω ω n Diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi: ln G(jω) = α + j β = ln ( ) 2 ω2 + 4 δ ωn 2 2 ω 2 ωn 2 j arctan 2 δ ω ω n ω2 ω 2 n Diagramma di Bode delle ampiezze: Asintoti del diagramma α : per ω/ω n, tutti i termini sotto radice quadrata sono trascurabili rispetto all unità ed è pertanto α 0; per ω/ω n, ha la prevalenza il termine (ω/ω n ) 4 e si può scrivere pertanto α ln ω2 ω 2 n = 2 ln ω n 2 ln ω
10 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Il diagramma effettivo si può discostare sensibilmente da quello asintotico: in particolare, per δ =0 e in corrispondenza della pulsazione di rottura ω n, lo scostamento è infinito. Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà: ) per 0 δ / 2, presenta un massimo; 2) per 0 δ /2, interseca l asse a destra del punto ω =ω n ; 3) per /2 δ / 2, interseca l asse a sinistra del punto ω =ω n ; 4) per / 2 δ, non interseca l asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica. Pulsazione di risonanza ω R. Posto u=ω/ω n, il massimo dell ampiezza corrisponde ad un minimo della funzione ( u 2 ) δ 2 u 2 Derivando e uguagliando a zero la derivata, si ottiene 4 ( u 2 ) u + 8 δ 2 u = 0 Trascurando la soluzione nulla si ottiene u R = 2 δ 2 ω R = ω n 2 δ 2 Picco di risonanza M R : si calcola come modulo della funzione di risposta armonica in corrispondenza della pulsazione ω R : M R = ( 2 δ2 ) δ 2 ( 2 δ 2 ) M R = 2 δ δ 2
11 3.2. DIAGRAMMI DI BODE 3.2 Diagramma di Bode della fasi: Approssimazione asintotica del diagramma delle fasi si ottiene congiungendo gli asintoti β = 0 e β = π con un segmento inclinato di pendenza opportuna. Essendo β = arctan 2 δ u u 2, si deduce: d β d ln ω = d β ω=ωn d u d u d ln ω = u= + ( 2 δ u u 2 ) 2 2 δ ( + u 2 ) u ( u 2 ) 2 u= = δ Le pulsazioni ω a e ω b sono legate alla pulsazione ω n dalla relazione: π/2 ln ω n ln ω a = dalla quale si ottiene ω n ω a = ω b ω n = e π 2 δ = 4, 8 δ π/2 ln ω b ln ω n = δ
12 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Diagrammi delle ampiezze e delle fasi in scala semilogaritmica:
13 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Graficazione qualitativa dei diagrammi di Bode Si procede alla graficazione del diagramma asintotico di Bode della funzione di risposta armonica assegnata. Due possibili metodi. Primo metodo: somma dei singoli contributi a) La funzione G(s) viene messa nella forma a costanti di tempo : G(s) = 0(s ) s(s + )(s 2 + 8s + 25) G(s) = 0 25 ( s) s( + s)( + 8s 25 + s2 25 ) b) Si tracciano i diagrammi asintotici di Bode delle singole componenti: K = 0 25, G (s) = ( s), G 2 (s) = s, G 3(s) = ( + s), G 4(s) = ( + 8s 25 + s2 25 ) c) Si sommano i singoli contributi per ottenere il diagramma asintotico della funzione G(s). - Il contributo del termine K è costante: K = 7.96 db e arg K = π. - Lo zero instabile ( s), e il polo stabile ( + s) agiscono alla pulsazione ω = e forniscono due contribuiti uguali e contrari nel diagramma delle ampiezze. Il loro contributo nel diagramma delle fasi si somma: l ampiezza complessiva per ω è π. - La coppia di poli complessi coniugati (+ 8s 25 + s2 25 ) determina sul diagramma asintotico delle ampiezze una attenuazione di 40 db/dec a partire dalla pulsazione ω n = 5. Il contributo al diagramma delle fasi è negativo di ampiezza complessiva π al variare di ω. Le pulsazioni alle quali si ha un cambiamento di pendenza del diagramma asintotico di Bode delle fasi sono le seguenti ω a = 4.8, ω b = 4.8, ω a = ω n 4.8 δ, ω b = ω n 4.8 δ dove δ = 0.8 è il coefficiente di smorzamento della coppia di poli complessi coniugati. - La difficoltà nell utilizzare questo metodo sta nel fatto che la somma dei singoli contributi non è sempre agevole.
14 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) α = α G(jω) (db) = 40 G K β B A 2 + G ω [log 0 ] G ω C G 4 arg G(jω) π π 2 0 π 2 π ϕ 0 = 3π 2 0. ω a ω a G, G 3 ω a ω b G 4 ω b ω [log 0 ] G 2 K K, G 2 2π 5π 2 G 4 ω a ω b G, G 3 3π 7π 2 ω b ϕ = 7π 2
15 3.2. DIAGRAMMI DI BODE Secondo metodo: graficazione rapida Diagramma delle ampiezze a) Si individua nella funzione G(s) tutte le pulsazioni in corrispondenza delle quali si ha un cambiamento di pendenza. Tali pulsazioni coincidono con gli zeri reali, i poli reali e con le pulsazioni naturali ω n delle coppie di poli e zeri complessi coniugati della funzione G(s). Nel caso in esame si ha ω = e ω = 5. Tali pulsazioni vengono ordinate in ordine crescente di modulo. b) Tenendo conto del fatto che gli zeri (reali o complessi coniugati) determinano un incremento di pendenza (rispettivamente di + e di +2) e che, viceversa, i poli (reali o complessi coniugati) determinano un decremento della pendenza del diagramma asintotico (rispettivamente di - e di -2), è chiaro che la forma del diagramma asintotico è già nota a priori prima di iniziare la graficazione. Nel caso in esame, per esempio, si ha: (o,x) ( x x) 5 ω - β - A ω -3 In corrispondenza della pulsazione ω = non si ha cambiamento si pendenza perchè a questa pulsazione agiscono contemporaneamente sia un polo che uno zero. c) Si determina la posizione verticale del diagramma asintotico di Bode. - Se la funzione G(s) è di tipo 0, il posizionamento verticale è automaticamente determinato dal calcolo del guadagno statico G(0). - Se il sistema è di tipo, o in generale di tipo h, il posizionamento verticale può avvenire, per esempio, calcolando la posizione del punto A in corrispondenza della pulsazione ω alla quale si ha il primo cambiamento di pendenza. Siano ( ω, β) le coordinate del punto A. Se il sistema è di
16 3.2. DIAGRAMMI DI BODE tipo h, il valore della coordinata β si determina in base alla formula: β = s h G(s) ω h s=0 cioè si sostituisce ω h al posto degli h poli nell origine, mentre in tutti gli altri termini di G(s) si mette s = 0. Nel caso in esame si ha h = ed ω = 5 per cui β = s G(s) 5 = 0(s ) s=0 5(s + )(s 2 + 8s + 25) = 2 = 2.94 db s=0 25 d) È ora possibile tracciare il diagramma asintotico complessivo tracciando, a partire da A, i vari tratti della spezzata, ognuno con la propria pendenza. Nel caso in esame, per esempio, il tratto di spezzata che precede il punto A si determina individuando il punto B. Questo punto si calcola a partire da A diminuendo la pulsazione di una decade ed aumentando di 20 db l ampiezza: B = (0.5, β + 20). Allo stesso modo si procede per determinare il tratto che segue il punto A. In questo caso, essendo -3 la pendenza di questo tratto, il punto C si determina aumentando la pulsazione di una decade e diminuendo l ampiezza di 60 db: C = (50, β 60). Diagramma delle fasi Anche la graficazione del diagramma asintotico delle fasi può essere fatta più rapidamente se si procede nel modo seguente (si faccia riferimento al diagramma delle fasi riportato nella precedente figura): a) Si individua la fase di partenza ϕ 0 del diagramma asintotico delle fasi calcolando la fase iniziale della funzione approssimante G 0 (s) per ω 0. Nel caso in esame, per esempio, la fase iniziale è ϕ 0 = 3π 2. Tale fase è comprensiva del segno negativo della costante K e della fase costante π 2 introdotta dal polo nell origine. b) Si prendono in considerazione i poli e gli zeri in ordine crescente della loro pulsazione critica (cioè il valore assoluto del corrispondente polo o zero, oppure la ω n nel caso di coppie di poli o zeri complessi coniugati). Il diagramma asintotico di ciascun elemento viene disegnato in una diversa
17 3.2. DIAGRAMMI DI BODE fascia in funzione dell azione introdotta dai precedenti elementi, e in funzione del fatto che l elemento sia stabile o instabile. Nel caso in esame, per esempio, i primi due elementi da prendere in considerazione all aumentare di ω sono il polo stabile (s+) e lo zero instabile (s ). Questi due elementi agiscono contemporaneamente e ciascuno di essi introduce uno sfasamento, per ω [, ], pari a π 2. Il contributo complessivo di questi due elementi è un diagramma asintotico di ampiezza π da disegnare verso il basso nella fascia 3π 2, 5π 2. Anche la coppia di poli complessi coniugati ( + 8s 25 + s2 25 ), essendo stabili, introduce uno sfasamento di ampiezza complessiva π. Il loro contributo al diagramma asintotico va quindi disegnato nella fascia 5π 2, 7π 2. c) Si procede alla graficazione del diagramma asintotico complessivo interpolando i diagrammi asintotici delle fasi dei singoli elementi, ognuno dei quali è stato disegnato nella fascia più opportuna. Nel caso in esame, è evidente che la determinazione dei punti intermedi di cambiamento di pendenza risulta notevolmente semplificato rispetto al caso di semplice somma dei singoli contributi asintotici. Si noti inoltre che la fase finale ϕ ottenuta è in accordo con la fase finale della funzione approssimante G (s) per ω.
18 3.4. LA FORMULA DI BODE 3.4 La formula di Bode Una funzione di trasferimento razionale fratta è a a fase minima se non ha né poli né zeri nel semipiano destro del piano s. Per sistemi a fase minima, detta ω c la pulsazione in corrispondenza della quale si vuole calcolare la fase β c, vale la formula di Bode: β c = d α π d u ln cotanh u du 2 in cui si è posto α := ln G(jω), u := ln ω ω c = ln ω ln ω c. La fase β c in corrispondenza di una data pulsazione ω c dipende essenzialmente dalla pendenza d α d u del diagramma delle ampiezze nell intorno di quella pulsazione ω c. Esempio: β c = 0 A A 2 2 A 3 dove: A = π 4 β, A 2 = β +β 2, A 3 = π 4 β 2
19 3.4. LA FORMULA DI BODE Significato della variabile di integrazione u: se il diagramma α è riferito ai logaritmi naturali, la variabile u non è altro che l ascissa ln ω con l origine traslata in ln ω c. La condizione necessaria e sufficiente per la validità della formula di Bode, cioè che la funzione di trasferimento sia a fase minima, è soddisfatta per la quasi totalità dei sistemi che normalmente si considerano. Esempio di rete elettrica a fase non minima: Funzione di trasferimento V u (s) = /Cs R R + /Cs V i(s) che, posto T := RC, diventa G(s) = V u(s) V i (s) = T s + T s, cioè una funzione non a fase non minima; Diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi: il diagramma delle ampiezze è costante α = 0 ( G(jω) = ), mentre il diagramma delle fasi varia gradualmente da 0 a 80. È chiaro che applicando la formula di Bode all esempio si sarebbe invece dedotta una fase identicamente nulla.
20 3.4. LA FORMULA DI BODE La funzione di trasferimento trascendente G(s) = e t 0 s che rappresenta un ritardo finito di valore t 0, non è a fase minima. Essendo G(jω) = e jωt 0 = cos ω t 0 j sen ω t 0, la funzione di risposta armonica ha modulo identicamente unitario e fase crescente linearmente con la frequenza. Per ricavare i diagrammi di Bode, si scrive ln G(jω) = α + j β = 0 j ω t 0 = 0 j t 0 e ln ω relazione dalla quale si deduce che il diagramma delle fasi ha un andamento esponenziale. Anche in questo caso l applicazione della formula di Bode avrebbe condotto ad un risultato errato (β = 0).
21 3.4. LA FORMULA DI BODE Diagrammi di Bode: riepilogo I diagrammi di Bode si basano su alcune proprietà dei logaritmi e sulle proprietà valide per il modulo e l argomento di funzioni complesse:. A B = A B log 0 A B = log 0 A + log 0 B 2. A B = A B log A 0 B = log 0 A log 0 B 3. arg(a B) = arg(a) + arg(b) ( ) A 4. arg = arg(a) arg(b) B Queste proprietà permettono di ricondurre il problema di tracciare i diagrammi di bode di una generica funzione razionale fratta G(jω) = K (jω + b)...( ω2 + 2δ b ω b jω + ω 2 b ) (jω) h (jω + d)...( ω 2 + 2δ d ω d jω + ω 2 d ) alla somma dei diagrammi di Bode delle seguenti funzioni elementari: K (jω) h (jω + a) ± ( ω 2 + 2δ a ω a jω + ω 2 a) ± È possibile ricavare i diagrammi asintotici di Bode anche senza ricorrere alla somma dei singoli contributi, ma utilizzando un metodo diretto.
22 3.4. LA FORMULA DI BODE Assi nei diagrammi di Bode I Diagrammi di Bode usano l asse orizzontale in scala logaritmica. Considerando l asse reale R e fissata una origine, una pulsazione ω corrisponde ad un punto sull asse con coordinata x = log 0 ω. Accanto all asse si possono quindi indicare o i valori della coordinata x oppure direttamente i valori di ω; questa seconda soluzione è la più comoda x= log x= log Per il disegno qualitativo dei diagrammi conviene memorizzare alcuni valori: log log log log L asse verticale nei diagrammi di ampiezza è graduato in decibel (db): A db def = 20 log 0 A Con questa scala, le pendenze caratteristiche dei diagrammi di Bode sono ±20 db/decade, ±40 db/decade, ecc. Per comodità tali pendenze vengono indicate rispettivamente con i SIMBOLI ±, ±2, ecc. N.B.: se la scala verticale fosse semplicemente logaritmica (y = log 0 A) le pendenze caratteristiche dei diagrammi di Bode sarebbero ± e ±2. L asse verticale nei diagrammi di fase può essere graduato sia in radianti sia in gradi. In ogni caso il diagramma delle fasi può essere traslato verso l alto o verso il basso di multipli interi di 2π, o di 360 o, mantenendo inalterato il suo significato.
Diagrammi di Bode. delle
.. 3.2 delle Diagrammi di Bode La funzione di risposta armonica F(ω) = G(jω) può essere rappresentata graficamente in tre modi diversi: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Diagrammi di Nichols.
DettagliLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Può essere espressa sia nel dominio della s che nel dominio della j Definizione nel dominio della s. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un uscita 2. ha per oggetto
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Analisi armonica e metodi grafici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 053 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. Analisi
DettagliPer studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R
Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.
DettagliEsercizi proposti di Fondamenti di Automatica - Parte 4
Esercizi proposti di Fondamenti di Automatica - Parte 4 2 Aprile 26 Sia dato il sistema di controllo a controreazione di Fig. 1, in cui il processo ha funzione di trasferimento P (s) = 1 (1 +.1s)(1 +.1s).
DettagliNome: Nr. Mat. Firma:
Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 7/8 4 Dicembre 7 - Esercizi Compito A Nr. Nome: Nr. Mat. Firma: a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x (t)
DettagliConsideriamo due polinomi
Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al
DettagliTeoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26
Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Risposte canoniche e sistemi elementari Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1
DettagliFUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE
FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A
DettagliIntroduzione. Margine di ampiezza... 2 Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di Bode... 6
ppunti di Controlli utomatici Capitolo 7 parte II Margini di stabilità Introduzione... Margine di ampiezza... Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di ode... 6 Introduzione
DettagliLa funzione di risposta armonica
0.0. 3.1 1 La funzione di risposta armonica Se ad un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile si applica in ingresso un segnale sinusoidale x(t) = sen ωt di pulsazione ω: x(t) = sin ωt (s) =
DettagliNome: Nr. Mat. Firma:
Controlli Automatici - A.A. 1/11 Ingegneria Gestionale 13 Settembre 11 - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma: Rispondere alle seguenti domande. a) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
DettagliUna definizione di stabilità più completa di quella precedentemente introdotta fa riferimento ad una sollecitazione impulsiva.
2. Stabilità Uno dei requisiti più importanti richiesti ad un sistema di controllo è la stabilità, ossia la capacita del. sistema di raggiungere un stato di equilibrio dopo la fase di regolazione. Per
DettagliEsempi di funzione. Scheda Tre
Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.
DettagliControlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.
Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:
DettagliCatene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/
Catene di Misura Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Piero Malcovati Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione Università di Pavia piero.malcovati@unipv.it Piero Malcovati
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Progetto di controllo e reti correttrici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 053 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1
DettagliCapitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore
Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:
DettagliElementi di topologia della retta
Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme
DettagliConsorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni
Consorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni A cura di Sebastiano Cappuccio SCHEDA N. 6 ARGOMENTO: Grafici di funzioni sottoposte a trasformazioni elementari.
DettagliUn sistema di controllo può essere progettato fissando le specifiche:
3. Specifiche dei Sistemi Un sistema di controllo può essere progettato fissando le specifiche: nel dominio del tempo (tempo di salita, tempo di assestamento, sovraelongazione, ecc.); nel dominio della
DettagliSTUDIO DI UNA FUNZIONE
STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)
DettagliINTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.
INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati
DettagliAnno 4 Grafico di funzione
Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che
DettagliBasi di matematica per il corso di micro
Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e
DettagliEsponenziali elogaritmi
Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.
DettagliFONDAMENTI DI AUTOMATICA. Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi
FONDAMENTI DI AUTOMATICA Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi 22 novembre 26 2 Indice 1 Analisi in frequenza di sistemi LTI 5 1.1 Introduzione............................. 5 1.2 Analisi armonica..........................
DettagliDOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.
FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di
DettagliFunzioni di trasferimento. Lezione 14 2
Lezione 14 1 Funzioni di trasferimento Lezione 14 2 Introduzione Lezione 14 3 Cosa c è nell Unità 4 In questa sezione si affronteranno: Introduzione Uso dei decibel e delle scale logaritmiche Diagrammi
DettagliLa trasformata Zeta. Marco Marcon
La trasformata Zeta Marco Marcon ENS Trasformata zeta E l estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace. Applicata all analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA (Classe 7) Corso di Matematica per l Economia (Prof. F. Eugeni) TEST DI INGRESSO Teramo, ottobre 00 SEZIONE
DettagliCapitolo. La funzione di trasferimento. 2.1 Funzione di trasferimento di un sistema. 2.2 L-trasformazione dei componenti R - L - C
Capitolo La funzione di trasferimento. Funzione di trasferimento di un sistema.. L-trasformazione dei componenti R - L - C. Determinazione delle f.d.t. di circuiti elettrici..3 Risposta al gradino . Funzione
DettagliFUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI
ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione
DettagliAnalisi Matematica di circuiti elettrici
Analisi Matematica di circuiti elettrici Eserciziario A cura del Prof. Marco Chirizzi 2011/2012 Cap.5 Numeri complessi 5.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso un numero scritto
Dettaglia) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1
LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza
DettagliVademecum studio funzione
Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla
Dettagli~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE
STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.
DettagliStabilità dei sistemi
Stabilità dei sistemi + G(s) G(s) - H(s) Retroazionati Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 1 Sommario In questa lezione si tratteranno: La funzione di trasferimento dei sistemi retroazionati
Dettagli2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento
Dettaglila funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.
1 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero
Dettagli0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y
INTRODUZIONE Osserviamo, in primo luogo, che le funzioni logaritmiche sono della forma y = log a () con a costante positiva diversa da (il caso a = è banale per cui non sarà oggetto del nostro studio).
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
DettagliIl concetto di valore medio in generale
Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo
DettagliG3. Asintoti e continuità
G3 Asintoti e continuità Un asintoto è una retta a cui la funzione si avvicina sempre di più senza mai toccarla Non è la definizione formale, ma sicuramente serve per capire il concetto di asintoto Nei
DettagliDiagrammi polari, di Nyquist e di Nichols
Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols Definizione (1/2) Il diagramma di Nichols (DdNic) di una fdt consiste nella rappresentazione grafica di G(s) s= jω = G(jω) = M( ω)e jϕ( ω), per ω (, ) sul piano
DettagliSPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it
DettagliSOLUZIONI D = (-1,+ ).
SOLUZIONI. Data la funzione f() ( ) ln( ) a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli intervalli in cui f() risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni
DettagliANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE
CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO
DettagliCoordinate Cartesiane nel Piano
Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso
DettagliGRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI
GRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI 1 Nel campo elettrotecnico-elettronico, per indicare una qualsiasi grandezza elettrica si usa molto spesso il termine di segnale. L insieme dei valori istantanei assunti
DettagliMETODO PER LA DESCRIZIONE DEL CAMPO MAGNETICO ROTANTE
Ing. ENRICO BIAGI Docente di Tecnologie elettrice, Disegno, Progettazione ITIS A. Volta - Perugia ETODO PER LA DESCRIZIONE DEL CAPO AGNETICO ROTANTE Viene illustrato un metodo analitico-grafico per descrivere
DettagliSEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:
CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è una razionale fratta, essa risulta definita su tutto l asse reale tranne che nei punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. { R: 0}
DettagliFUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas
FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas.8.6.. - -.5.5 -. In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
DettagliSOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015
SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 015 1. Indicando con i minuti di conversazione effettuati nel mese considerato, la spesa totale mensile in euro è espressa dalla funzione f()
DettagliBLOCCO AMPLIFICATORE. Amplificatore ideale. ELETTRONICA 1 per Ingegneria Biomedica Prof. Sergio Cova
ELETTRONIC per Ingegneria Biomedica Prof. Sergio Cova BLOCCO MPLIFICTORE v i È un circuito integrato v i v v v i quindi v i mplificatore ideale resistenza di ingresso corrente assorbita dagli ingressi
Dettagliu 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k
Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure
DettagliProva scritta di Controlli Automatici - Compito A
Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A 21 Marzo 27 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere. 1. Si consideri
DettagliMisure di base su una carta. Calcoli di distanze
Misure di base su una carta Calcoli di distanze Per calcolare la distanza tra due punti su una carta disegnata si opera nel modo seguente: 1. Occorre identificare la scala della carta o ricorrendo alle
DettagliUsando il pendolo reversibile di Kater
Usando il pendolo reversibile di Kater Scopo dell esperienza è la misurazione dell accelerazione di gravità g attraverso il periodo di oscillazione di un pendolo reversibile L accelerazione di gravità
DettagliINTEGRATORE E DERIVATORE REALI
INTEGRATORE E DERIVATORE REALI -Schemi elettrici: Integratore reale : C1 R2 vi (t) R1 vu (t) Derivatore reale : R2 vi (t) R1 C1 vu (t) Elenco componenti utilizzati : - 1 resistenza da 3,3kΩ - 1 resistenza
DettagliOUT. Domande per Terza prova di Sistemi. Disegnare la struttura generale di un sistema di controllo. retroazionato. (schema a blocchi)
Domande per Terza prova di Sistemi Disegnare la struttura generale di un sistema di controllo retroazionato. (schema a blocchi) IN Amp. di Potenza Organo di Regolazione OUT ( ) Regolatore Attuatore Sistema
DettagliLE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale
DettagliPrestazioni dei sistemi in retroazione
Prestazioni dei sistemi in retroazione (ver..2). Sensitività e sensitività complementare Sia dato il sistema in retroazione riportato in Fig... Vogliamo determinare quanto è sensibile il sistema in anello
Dettagli0. Piano cartesiano 1
0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine
DettagliSINTESI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO
SINTESI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO Requisiti e specifiche Approcci alla sintesi Esempi di progetto Principali reti stabilizzatrici Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione
DettagliStudio di funzioni ( )
Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente
DettagliIl luogo delle radici (ver. 1.0)
Il luogo delle radici (ver. 1.0) 1 Sia dato il sistema in retroazione riportato in Fig. 1.1. Il luogo delle radici è uno strumento mediante il quale è possibile valutare la posizione dei poli della funzione
DettagliVerranno descritti di seguito brevemente gli algoritmi di calcolo utilizzati per l interpretazione nei tre metodi inseriti all interno del programma.
3. Teoria Verranno descritti di seguito brevemente gli algoritmi di calcolo utilizzati per l interpretazione nei tre metodi inseriti all interno del programma. 3.1 Metodo convenzionale (metodo del tempo
DettagliLaboratorio di Fondamenti di Automatica Ingegneria Elettrica Sessione 2/3. Danilo Caporale [caporale@elet.polimi.it]
Laboratorio di Fondamenti di Automatica Ingegneria Elettrica Sessione 2/3 Danilo Caporale [caporale@elet.polimi.it] Outline 2 Funzione di trasferimento e risposta in frequenza Diagrammi di Bode e teorema
DettagliFondamenti di Automatica. Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
Fondamenti di Automatica Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Soluzione delle equazioni di stato per sistemi dinamici LTI a tempo continuo
DettagliDefinisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:
Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato
DettagliFunzione reale di variabile reale
Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A
DettagliProva scritta di Controlli Automatici
Prova scritta di Controlli Automatici Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica, AA 2011 2012 10 Settembre 2012 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliNumeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.
Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,
DettagliCome visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)
Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre
Dettagli.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1
Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliAnno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza
Anno 3 Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza 1 Introduzione In questa lezione parleremo delle funzioni. Ne daremo una definizione e impareremo a studiarne il dominio in relazione alle diverse
DettagliLa distribuzione Normale. La distribuzione Normale
La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una
DettagliVERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE.
VERIFIC DI MTEMTIC CLSSI TERZE (S, BS, CS, DS, ES) settembre COGNOME E NOME.. CLSSE. Esercizio In un piano cartesiano ortogonale determinare: a) l equazione della parabola con asse parallelo all asse,
DettagliEsercizi di Macroeconomia per il corso di Economia Politica
Esercizi di Macroeconomia per il corso di Economia Politica (Gli esercizi sono suddivisi in base ai capitoli del testo di De Vincenti) CAPITOLO 3. IL MERCATO DEI BENI NEL MODELLO REDDITO-SPESA Esercizio.
DettagliEsercizi svolti sui numeri complessi
Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =
Dettagli1. Distribuzioni campionarie
Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie
DettagliEsercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di
Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva
DettagliFUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)
1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:
DettagliRisposta temporale: esercizi
...4 Risposta temporale: esercizi Esercizio. Calcolare la risposta al gradino del seguente sistema: G(s) X(s) = s (s+)(s+) Y(s) Per ottenere la risposta al gradino occorre antitrasformare la seguente funzione:
DettagliGEOMETRIA DELLE MASSE
1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro
DettagliG6. Studio di funzione
G6 Studio di funzione G6 Come tracciare il grafico di una funzione data Nei capitoli precedenti si sono svolti tutti gli argomenti necessari per tracciare il grafico di una funzione In questo capitolo
DettagliGRANDEZZE SINUSOIDALI
GRANDEE SINUSOIDALI INDICE -Grandezze variabili. -Grandezze periodiche. 3-Parametri delle grandezze periodiche. 4-Grandezze alternate. 5-Grandezze sinusoidali. 6-Parametri delle grandezze sinusoidali.
DettagliGeometria analitica di base (prima parte)
SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una
DettagliAlessandro Pellegrini
Esercitazione sulle Rappresentazioni Numeriche Esistono 1 tipi di persone al mondo: quelli che conoscono il codice binario e quelli che non lo conoscono Alessandro Pellegrini Cosa studiare prima Conversione
DettagliAnno 5 4 Funzioni reali. elementari
Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire
DettagliProf. Silvio Reato Valcavasia Ricerche. Il piano cartesiano
Il piano cartesiano Per la rappresentazione di grafici su di un piano si utilizza un sistema di riferimento cartesiano. Su questo piano si rappresentano due rette orientate (con delle frecce all estremità
Dettagli