FONDAMENTI DI AUTOMATICA. Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi

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1 FONDAMENTI DI AUTOMATICA Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi 22 novembre 26

2 2

3 Indice 1 Analisi in frequenza di sistemi LTI Introduzione Analisi armonica Risposta in frequenza Diagrammi di Bode Diagramma di Nyquist Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist Esempi Conclusioni

4 4 Indice

5 Capitolo 1 Analisi in frequenza di sistemi LTI 1.1 Introduzione Questo capitolo integra l analisi di sistemi LTI nel dominio del tempo svolta nel capitolo 3 con l analisi nel dominio della frequenza. Quest ultima costituisce un mezzo potente ed intuitivo per lo studio e la comprensione del comportamento di tali sistemi, nonché per l analisi di alcune loro proprietà fondamentali particolarmente in riferimento ai sistemi retroazionati (vedi capitolo 7). Inoltre, come si vedrà nei capitoli 9 e 1, l analisi in frequenza fornisce strumenti utili per la formulazione delle specifiche e per la sintesi di sistemi di controllo a retroazione. L analisi in frequenza si basa sullo studio della risposta del sistema ad un ingresso di tipo sinusoidale (analisi armonica). Sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti e l analisi di Fourier, che permette di sviluppare segnali come combinazioni lineari di un numero finito o infinito (numerabile o continuo) di sinusoidi di diverse pulsazioni (componenti armoniche), l analisi armonica è estendibile ad una ampia classe di segnali comprendente di fatto tutti i segnali di interesse pratico nelle applicazioni ingegneristiche. Il capitolo tratterà in dettaglio i seguenti argomenti. Determinazione della risposta ad un ingresso sinusoidale e teorema fondamentale dell analisi armonica. Definizione della risposta in frequenza, suoi legami con la funzione di trasferimento, sue proprietà e determinazione sperimentale. Rappresentazione grafica della risposta in frequenza tramite diagrammi di Bode e di Nyquist e metodi per il tracciamento qualitativo di tali diagrammi. 5

6 6 Analisi armonica 1.2 Analisi armonica Si vuole determinare la risposta di un sistema LTI, con funzione di trasferimento G(s) = b(s)/a(s), ad un segnale di ingresso sinusoidale u(t) = A u sin(ωt + ϕ u ) (1.2.1) di pulsazione ω >, ampiezza A u > e fase ϕ u [ π, π). Ampiezza e fase della sinusoide possono essere rappresentate in modo più compatto da un unico numero complesso U = A u e jϕu, detto fasore della sinusoide (1.2.1), nel seguente modo: u(t) = A u sin(ωt + ϕ u ) = Im ( A u e j(ωt+ϕu) ) = Im ( A u e jϕu e jωt) = Im ( U e jωt ) = 1 ( Ue jωt Ue jωt) 2j (1.2.2) Da (1.2.2) si deduce la trasformata di Laplace dell ingresso U(s) = 1 2j = 1 2j ( U s jω ) U s + jω (U U)s + j(u + U)ω s 2 + ω 2 = 1 2j La trasformata di Laplace della risposta cercata è quindi: Y (s) = G(s)U(s) + p(s) a(s) = U(s + jω) U(s jω) (s jω)(s + jω) Im U s + Re U ω s 2 + ω 2 (1.2.3) = G(s) (Im U s + Re U ω) s 2 + ω 2 + p(s) a(s) = b(s)(im U s + Re U ω) + p(s) (s2 + ω 2 ) a(s) (s 2 + ω 2 ) (1.2.4) dove p(s) è un polinomio i cui coefficienti dipendono dalle condizioni iniziali. Si noti che (1.2.4) è una funzione razionale di denominatore a(s) (s 2 + ω 2 ) e, pertanto, i suoi poli coincidono con: i poli del sistema, cioè le radici del polinomio caratteristico a(s); i poli dell ingresso, cioè le radici ±jω del polinomio s 2 + ω 2 a denominatore di U(s). Se ±jω sono poli semplici di Y (s) in (1.2.4), vale a dire se è soddisfatta la seguente ipotesi a(jω) (1.2.5)

7 Analisi in frequenza di sistemi LTI 7 la (1.2.4) può essere posta nella forma dove Y (s) = K s jω + K s + jω + q(s) a(s) (1.2.6) K = [(s jω)y (s) ] s=jω [ ] Im U s + Re U ω = (s jω)g(s) + (s jω)p(s) (s jω)(s + jω) a(s) = G(jω)U 2j s=jω (1.2.7) è il residuo di Y (s) associato al polo s = jω mentre q(s) è un polinomio dello stesso grado di p(s). Antitrasformando (1.2.6) ed utilizzando (1.2.7): [ ] q(s) y(t) = Ke jωt + Ke jωt + L 1 = 2 Re ( Ke jωt) + y T (t) a(s) ( ) G(jω)U = Re e jωt + y T (t) = Im ( G(jω)Ue jωt) + y T (t) j dove si è posto: y R (t) y T (t) = y R (t) + y T (t) (1.2.8) = Im ( G(jω)Ue jωt) = G(jω) A u sin (ωt + ϕ u + G(jω))(1.2.9) [ ] q(s) = L 1 (1.2.1) a(s) Pertanto la risposta y(t) in (1.2.8) risulta somma di due termini. Il termine y R (t), definito in (1.2.9), prende il nome di risposta a regime; è un segnale sinusoidale, della stessa pulsazione dell ingresso, caratterizzato dal fasore Y = G(jω) U (1.2.11) o, equivalentemente, da ampiezza A y e fase ϕ y legate ad ampiezza A u e fase ϕ u dell ingresso dalle seguenti relazioni A y = G(jω) A u (1.2.12) ϕ y = ϕ u + G(jω) (1.2.13) Il termine y T (t), definito in (1.2.1), prende il nome di risposta transitoria ed è una combinazione lineare dei modi naturali del sistema. In particolare, se il sistema è stabile la risposta transitoria tende asintoticamente a zero, cioè lim y T(t) =, t

8 8 Analisi armonica qualunque siano le condizioni iniziali. Riassumendo i precedenti sviluppi, vale il seguente risultato noto come teorema fondamentale dell analisi armonica. Teorema Se si applica ad un sistema LTI stabile con funzione di trasferimento G(s) un ingresso sinusoidale u(t) = Im(Ue jωt ), l uscita y(t) tende asintoticamente, indipendentemente dalle condizioni iniziali, alla risposta di regime y R (t) = Im(Y e jωt ) dove il fasore Y è legato al fasore U dell ingresso dalla relazione (1.2.11). Più precisamente, [ y(t) Im(Y e jωt ) ] =, lim t qualunque siano le condizioni iniziali. Osservazioni Nel caso in cui il sistema sia instabile, cioè G(s) abbia poli con parte reale non negativa, non è più vero in generale che la risposta y(t) tende alla soluzione sinusoidale di regime y R (t) in quanto, in tal caso, la risposta transitoria y T (t) non converge necessariamente a zero. Tuttavia si dimostra che, nell ipotesi (1.2.5), esiste un valore delle condizioni iniziali per cui il polinomio q(s) in (1.2.1) è nullo e, di conseguenza, la risposta transitoria y T (t) è nulla per ogni t. Questo permette di estendere i risultati dell analisi a regime anche ad un sistema instabile purché inserito in un anello di retroazione che lo stabilizzi (vedi successivo capitolo 7); in tal caso, infatti, la relazione a regime fra l ingresso e l uscita del sistema, in presenza di un eccitazione sinusoidale esterna, continua ad essere quella del teorema 5.1. Se la condizione (1.2.5) non è soddisfatta, cioè a(jω) =, la sinusoide in ingresso al sistema coincide con un modo naturale del sistema ed il sistema stesso va in risonanza. Assumendo, per esempio, che jω è un polo semplice di G(s), si ha infatti Y (s) = K 1 s jω + K 1 s + jω + K 2 (s jω) 2 + K 2 (s + jω) 2 + dove rappresentano i termini dello sviluppo di Heaviside relativi ai rimanenti poli di G(s). Quindi, antitrasformando, si ottiene un uscita della forma y(t) = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) + A 2 t sin(ωt + ϕ 2 ) +

9 Analisi in frequenza di sistemi LTI 9 dove A 1, ϕ 1, A 2, ϕ 2 sono opportune costanti e rappresenta una combinazione dei rimanenti modi naturali del sistema. Quindi l ingresso sinusoidale u(t) di pulsazione ω produce in uscita una sinusoide di ampiezza crescente linearmente (fenomeno di risonanza). L analisi armonica è estendibile, mediante il principio di sovrapposizione degli effetti, a tutti i segnali esprimibili come combinazioni lineari di sinusoidi, quali ad esempio: i segnali periodici sviluppabili in serie di Fourier; i segnali dotati di trasformata di Fourier. Si consideri un ingresso periodico u(t) di periodo T, cioè tale che u(t + T) = u(t) per ogni t, sviluppabile in serie di Fourier tramite u(t) = k= ( ) Im U k e jkωt, ω = 2π T. Nelle stesse ipotesi del teorema 5.1, sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti ed applicando il teorema 5.1 ad ogni componente armonica, l uscita del sistema tende alla risposta a regime periodica y R (t) = k= ( ) Im Y k e jkωt, con Y k = G(jkω) U k. Analogamente si consideri l ingresso u(t) dotato di trasformata di Fourier u(t) = Im ( U(ω) e jωt ) dω Ragionando nello stesso modo, si può concludere che, nelle ipotesi del teorema 5.1, la risposta al suddetto ingresso tende alla risposta di regime con y R (t) = Im ( Y (ω) e jωt ) dω Y (ω) = G(jω) U(ω)

10 1 Risposta in frequenza 1.3 Risposta in frequenza L analisi armonica ha messo in evidenza l importanza della funzione G(jω) che caratterizza completamente il comportamento in frequenza del sistema. Per questo motivo tale funzione, complessa di variabile reale ω, prende il nome di risposta in frequenza del sistema. Si indichi con U(ω) il fasore della componente armonica di pulsazione ω in ingresso e con Y (ω) il fasore della corrispondente componente armonica (in condizioni di regime) in uscita. In virtù dei risultati del precedente paragrafo, vale la relazione Y (ω) = G(jω) U(ω) (1.3.1) che esprime il fatto che per ogni pulsazione ω il fasore dell uscita Y (ω) è uguale al prodotto del fasore di ingresso U(ω) per la risposta in frequenza G(jω); quest ultima rappresenta pertanto il guadagno fasoriale del sistema. Da (1.3.1) si deducono le relazioni A y (ω) = G(jω) A u (ω) (1.3.2) ϕ y (ω) = ϕ u (ω) + G(jω) (1.3.3) che legano ampiezza A u (ω) e fase ϕ u (ω) della componente armonica di pulsazione ω in ingresso ad ampiezza A y (ω) e fase ϕ y (ω) della corrispondente componente a regime in uscita. Si noti da (1.3.2) che il modulo G(jω) della risposta in frequenza rappresenta il guadagno - amplificazione se G(jω) > 1 oppure attenuazione se G(jω) < 1 - del sistema alla pulsazione ω. Viceversa da (1.3.3) si evince che l argomento G(jω) della risposta in frequenza rappresenta lo sfasamento - in anticipo se G(jω) > oppure in ritardo se G(jω) < - del sistema alla pulsazione ω. Proprietà della risposta in frequenza Poiché G(s) è una funzione razionale a coefficienti reali, risulta banalmente che da cui si deducono le seguenti proprietà In altri termini: G( jω) = G(jω) = G(jω) (1.3.4) G(jω) = G( jω), G(jω) = G( jω), Re G(jω) = Re G( jω), Im G(jω) = Im G( jω) modulo e parte reale della risposta in frequenza sono funzioni pari di ω; argomento e parte immaginaria sono funzioni dispari di ω.

11 Analisi in frequenza di sistemi LTI 11 A y A u T τ Tempo Figura Determinazione sperimentale della risposta in frequenza: ingresso di pulsazione ω = 2π (linea tratteggiata) e uscita corrispondente (linea continua). Lo sfasamento misurato T è ϕ y ϕ u = ωτ. Determinazione sperimentale della risposta in frequenza Le relazioni (1.3.2)-(1.3.3) suggeriscono un metodo per la determinazione sperimentale della risposta in frequenza G(jω), da usarsi nei casi in cui la funzione di trasferimento G(s) del sistema non sia nota a-priori. Infatti, per determinare il valore G(jω) ad un certo valore ω della pulsazione, si può procedere nel modo seguente (vedi fig. 1.1): si applica al sistema un ingresso sinusoidale u(t) = A u sin(ωt + ϕ u ); atteso un intervallo di tempo sufficientemente lungo affinché si possa considerare esaurito il transitorio, si misurano l ampiezza A y e la fase ϕ y della sinusoide in uscita;

12 12 Risposta in frequenza si calcola il modulo della risposta in frequenza come rapporto fra l ampiezza della sinusoide di uscita e di quella di ingresso, cioè G(jω) = A y A u ; (1.3.5) si calcola l argomento della risposta in frequenza come differenza fra la fase della sinusoide di uscita e di quella di ingresso, cioè G(jω) = ϕ y ϕ u (1.3.6) Si noti che la suddetta procedura va ripetuta per tutte le pulsazioni ω di interesse. In pratica è possibile ridurre il numero di esperimenti utilizzando segnali di ingresso costituiti da più armoniche che consentono la valutazione simultanea di più valori della risposta in frequenza. Si osservi, inoltre, che la determinazione sperimentale della risposta in frequenza richiede che il sistema vada a regime. Pertanto, tale determinazione può essere effettuata in anello aperto, secondo lo schema di fig.??, solo se il sistema di interesse è stabile. Se, viceversa, il sistema non è stabile lo si può stabilizzare secondo lo schema a retroazione di fig.?? (vedi capitolo 7) per poi procedere nel seguente modo: si applica all ingresso esogeno del sistema a retroazione un segnale sinusoidale r(t) di pulsazione ω; a regime, si misurano ampiezze e fasi (A u, A y, ϕ u e ϕ u ) di u(t) e y(t); si calcolano G(jω) e G(jω) mediante (1.3.5)-(1.3.6). Risposta in frequenza dell elemento di ritardo Molti sistemi reali di interesse presentano un ritardo temporale dovuto a fenomeni di trasporto di materia. Si ricorda che tali sistemi sono LTI ma non a dimensione finita, pertanto non sono caratterizzati da una funzione di trasferimento G(s) razionale. Nel seguito si vuole estendere il concetto di risposta in frequenza a sistemi con ritardo temporale. L elemento di ritardo è descritto dall equazione ingresso-uscita y(t) = u(t τ) dove τ > è il ritardo. È immediato, pertanto, constatare che se u(t) = A u sin(ωt + ϕ u ), allora risulta y(t) = A u sin(ω(t τ) + ϕ u ) = A y (ω) sin(ωt + ϕ y (ω))

13 Analisi in frequenza di sistemi LTI 13 con A y (ω) = A u e ϕ y (ω) = ϕ u ωτ, per ogni pulsazione ω. Quindi, definendo la risposta in frequenza come rapporto fasoriale uscita/ingresso, per l elemento di ritardo si ha G(jω) = Y (ω) U(ω) = A y(ω)e jϕy(ω) A u e jϕu = A ue j(ϕu ωτ) A u e jϕu = e jωτ Questa definizione di risposta in frequenza è, peraltro, compatibile con la funzione di trasferimento G(s) = e τs dell elemento di ritardo, definita come rapporto fra le trasformate di Laplace dell uscita e dell ingresso. Si noti che la risposta in frequenza dell elemento di ritardo ha modulo unitario per ogni pulsazione ω e argomento negativo, ωτ, linearmente decrescente con la pulsazione ω. Rappresentazione grafica della risposta in frequenza Data l importanza della risposta in frequenza sia per evidenziare le proprietà filtranti del sistema che, come si vedrà nei capitoli successivi, per l analisi e la sintesi di sistemi di controllo a retroazione, risulta fondamentale studiarne la rappresentazione grafica. A tale proposito, vengono utilizzati essenzialmente due tipi di rappresentazione: i diagrammi cartesiani, o di Bode, che riportano l andamento del modulo G(jω) in funzione della pulsazione ω (diagramma di ampiezza); l andamento dell argomento G(jω) in funzione di ω (diagramma di fase). il diagramma polare, o di Nyquist, che descrive nel piano complesso il luogo dei punti G(jω) al variare di ω. Per quanto riguarda i diagrammi di Bode, la convenzione è di rappresentare il valore del modulo in decibel (db), vale a dire G(jω) db = 2 log1 G(jω) In questo modo valori di G(jω) minori, uguali o maggiori di 1 corrispondono a valori di G(jω) db negativi, nulli o, rispettivamente, positivi (vedasi tabella di conversione 1.3). La scelta di misurare il guadagno in unità logaritmiche, come si vedrà in seguito, consente una agevole determinazione del diagramma di ampiezza di un sistema costituito dal collegamento in serie di vari sottosistemi a partire dai diagrammi di ampiezza dei sottosistemi. Il valore dell argomento

14 14 Diagrammi di Bode viene convenzionalmente indicato in gradi. Infine, una caratteristica fondamentale dei diagrammi di Bode è quella di utilizzare una scala delle pulsazioni logaritmica, in base 1. In questo modo, la distanza fra due punti relativi alle pulsazioni ω 1 e ω 2 > ω 1 risulta proporzionale al loro rapporto ω 2 /ω 1. In particolare viene indicato con il termine decade un intervallo tra due pulsazioni che stanno fra loro in un rapporto 1 : 1. La scala logaritmica consente di rappresentare intervalli in frequenza ampi (diverse decadi) con la stessa risoluzione sia alle basse frequenze che alle alte frequenze. Si noti, inoltre, che nella scala logaritmica la pulsazione ω = (continua) non ammette rappresentazione al finito. I diagrammi di Bode vengono tracciati su carta semi-logaritmica (logaritmica sulle ascisse e lineare sulle ordinate). Nel successivo paragrafo verrà illustrato in dettaglio come tracciare in modo sistematico e qualitativo i diagrammi di Bode per una arbitraria funzione di trasferimento G(s). K B K B db / Tabella Tabella di conversione in decibel di G(jω) = K B Per quanto riguarda il diagramma di Nyquist, esso descrive il luogo dei punti G(jω) al variare di ω. Su tale diagramma viene indicato con una freccia il verso di percorrenza per ω che va da zero all infinito e, inoltre, per completare l informazione sulla risposta in frequenza vengono riportati i valori di ω corrispondenti ai punti del diagramma. Il tracciamento del diagramma di Nyquist verrà trattato nel paragrafo Diagrammi di Bode Per tracciare i diagrammi di Bode della risposta in frequenza G(jω) risulta conveniente porre la funzione di trasferimento G(s) nella seguente forma di

15 Analisi in frequenza di sistemi LTI 15 Bode: dove: G(s) = K B i (1 + τ i s) i s h i (1 + τ i s) i ( ) s 1 + 2δ i + s2 ω ni ω 2 ni ( ) (1.4.1) s 1 + 2δ i + s2 ω ni ωni 2 h Z, detto tipo del sistema, è il numero di poli/zeri nell origine di G(s) a seconda che h > / h < ; K B IR \{}, detto guadagno di Bode del sistema, coincide in generale con il guadagno in continua della funzione di trasferimento s h G(s), in particolare con il guadagno in continua G() se h = ; τ i IR e τ i IR sono le costanti di tempo dei poli e, rispettivamente, zeri reali; δ i ( 1, 1) e δ i ( 1, 1) sono i fattori di smorzamento delle coppie di poli e, rispettivamente, zeri complessi coniugati; ω ni > e ω ni > sono le pulsazioni naturali delle coppie di poli e, rispettivamente, zeri complessi coniugati. Sostituendo s con jω in (1.4.1) si ricava la forma di Bode della risposta in frequenza: K B i (1 + jωτ i ) ( ) ω i 1 + 2j δ i ω2 ω ni ω 2 ni G(jω) = (jω) h i (1 + jωτ i ) ( ) (1.4.2) ω i 1 + 2j δ i ω2 ω ni ωni 2 Si noti che (1.4.2) esprime la risposta in frequenza G(jω) come il prodotto di fattori elementari G i (jω) appartenenti ad una delle seguenti quattro possibili tipologie: (1) Fattore elementare costante G i (jω) = K B (2) Integratore/Derivatore G i (jω) = (jω) ±1 (3) Fattore elementare del 1 o ordine G i (jω) = (1 + jωτ) ±1 (4) Fattore elementare del 2 o ordine G i (jω) = (1 + 2jδ ωωn ω2 In particolare i fattori elementari dei tipi (2), (3) e (4) possono avere esponente ω 2 n ) ±1

16 16 Diagrammi di Bode +1 o 1 a seconda che si riferiscano a zeri o poli della funzione di trasferimento. Le proprietà di seguito elencate permettono di costruire i diagrammi di Bode di una arbitraria G(jω) sulla base dei diagrammi di Bode dei suddetti fattori elementari. 1. Diagrammi di Bode del prodotto G(jω) = i G i (jω) = G(jω) db G(jω) = i = i G i (jω) db G i (jω) (1.4.3) La (1.4.3) afferma che i diagrammi di Bode del prodotto possono essere costruiti sommando i diagrammi di Bode dei vari fattori. 2. Diagrammi di Bode del reciproco 1 G(jω) 1 G(jω) db = G(jω) db = G(jω) (1.4.4) La (1.4.4) afferma che i diagrammi di Bode della funzione 1/G(jω) possono essere ottenuti ribaltando, rispetto all asse delle ascisse, i diagrammi di Bode della funzione G(jω). 3. Cambiamento di segno della costante di tempo e del fattore di smorzamento 1 jωτ db = 1 + jωτ db 1 jωτ = 1 jωτ 1 2jδ ω ω2 ω n = 1 + 2jδ ω ω2 db ω n ω 2 n ωn 2 db (1.4.5) 1 2jδ ω ω n ω2 ω 2 n = 1 + 2jδ ω ω n ω2 ω 2 n La (1.4.5) afferma che cambiando il segno della costante di tempo τ nei fattori elementari del primo ordine oppure del fattore di smorzamento δ nei fattori elementari del secondo ordine, il diagramma di ampiezza rimane inalterato mentre il diagramma di fase viene ribaltato rispetto all asse delle ascisse.

17 Analisi in frequenza di sistemi LTI 17 In virtù delle proprietà (1.4.3)-(1.4.5) e della fattorizzazione (1.4.2) si possono quindi costruire i diagrammi di Bode di una arbitraria risposta in frequenza G(jω) disponendo dei diagrammi di Bode delle seguenti funzioni elementari: G a (jω) = K B ; (1.4.6) G b (jω) = 1 jω ; (1.4.7) G c (jω) = 1, τ > ; 1 + jωτ (1.4.8) 1 G d (jω) = 1 + 2jδ ω ω n ω2 ω 2 n, δ [, 1). (1.4.9) Di seguito si esaminano in dettaglio i diagrammi di Bode (ampiezza e fase) dei quattro fattori elementari (1.4.6)-(1.4.9). Fattore elementare costante Da (1.4.6) si deducono il modulo e l argomento G a (jω) db = 2 log 1 K B (1.4.1) G a (jω) = {, K B 18, K B < (1.4.11) I corrispondenti diagrammi di Bode del fattore elementare costante sono tracciati in fig Si noti che: il diagramma di ampiezza è una retta orizzontale di ordinata 2 log 1 K B positiva, nulla o negativa a seconda che K B > 1, K B = ±1 o K B < 1; il diagramma di fase è una retta orizzontale di ordinata oppure 18 a seconda che K B oppure K B <. Integratore In questo caso, da (1.4.7) risulta G b (jω) db = 2 log 1 1 ω = 2 log 1 ω (1.4.12) G b (jω) = 1 jω = 9 (1.4.13)

18 18 Diagrammi di Bode 2 G a (jω) db Fase (gradi) Modulo (db) G a (jω) 45 K B > 1 K B < 1 K B K < B Pulsazione (rad/sec) G b (jω) db Modulo (db) G (jω) b 45 Fase (gradi) Pulsazione (rad/sec) Figura Diagrammi di Bode del fattore elementare costante Figura Diagrammi di Bode dell integratore Poiché G b (jω) è una funzione lineare di log 1 ω e la scala delle ascisse è logaritmica, il diagramma di ampiezza risultante sarà una retta di pendenza pari a 2 db/decade. Per tracciare tale retta, occorre quindi determinarne un punto di passaggio. A tale proposito si osserva che per ω = 1 si ha G b (jω) db =, cioè la retta attraversa l asse orizzontale a db in corrispondenza della pulsazione ω = 1. I diagrammi di Bode dell integratore sono tracciati in fig Si noti che: il diagramma di ampiezza è una retta obliqua di pendenza 2 db/decade che attraversa l asse a db in corrispondenza della pulsazione ω = 1; il diagramma di fase è una retta orizzontale di ordinata 9. Più in generale, per la funzione di trasferimento G(s) = 1/s h, il diagramma di ampiezza è una retta con pendenza di 2h db/decade passante per db alla pulsazione ω = 1 mentre il diagramma di fase è una retta orizzontale a h 9. Fattore elementare del primo ordine Da (1.4.8) segue che G c (jω) db = 2 log ω 2 τ 2 = 2 log ω 2 τ 2 (1.4.14) G c (jω) = (1 + jωτ) (1.4.15) I diagrammi di Bode esatti, in funzione della pulsazione normalizzata ωτ, sono riportati in fig. 1.4 (linea tratteggiata). Si noti come, a differenza dei

19 Analisi in frequenza di sistemi LTI 19 G c (jω) db Modulo (db) 2 2 db/decade G c (jω) 45 9 Fase (gradi) 45 o /decade Pulsazione normalizzata ωτ Figura Diagrammi di Bode del fattore elementare del primo ordine

20 2 Diagrammi di Bode precedenti casi (a) e (b), i diagrammi di Bode risultano in questo caso curvilinei anziché rettilinei. Per un tracciamento qualitativo, approssimato, dei diagrammi di Bode risulta conveniente analizzare il comportamento di (1.4.14)-(1.4.15) alle basse frequenze (ωτ 1) e alle alte frequenze (ωτ 1). Comportamento alle basse frequenze - Per ωτ 1, cioè per valori di pulsazione molto inferiori al valore 1/τ, si possono trascurare ω 2 τ 2 e jωτ rispetto all unità in (1.4.14)-(1.4.15); si ottengono così le approssimazioni } G c (jω) db per ω 1 (1.4.16) G c (jω) τ Comportamento alle alte frequenze - Per ωτ 1, cioè per valori di pulsazione molto superiori al valore 1/τ, si può trascurare l unità rispetto a ω 2 τ 2 e jωτ in (1.4.14)-(1.4.15); si ottengono così le approssimazioni } G c (jω) db 2 log 1 ωτ per ω 1 (1.4.17) G c (jω) 9 τ Si noti, inoltre, che alla pulsazione ω = 1/τ (ωτ = 1) ampiezza e fase assumono i valori (esatti) } G c (jω) db = 2 log db per ω = 1 (1.4.18) G c (jω) = (1 + j) = 45 τ Le relazioni (1.4.16)-(1.4.18) suggeriscono di approssimare il modulo G c (jω) db con una funzione lineare a tratti costituita da una retta orizzontale di ordinata db fino alla pulsazione ω = 1/τ raccordata con una retta obliqua con pendenza di 2 db/decade a partire dalla medesima pulsazione. La pulsazione 1/τ, in cui il grafico approssimato del modulo sopra descritto cambia pendenza, prende il nome di pulsazione di rottura. Per quanto riguarda la fase, si riscontra che essa varia monotonicamente da a 9 per ω che varia da a + ed assume i seguenti valori approssimati: G c (jω) 6, ω =.1 τ 84, ω = 1 τ Quindi è ragionevole raccordare linearmente i tratti orizzontali a e a 9 corrispondenti al comportamento approssimato alle basse e, rispettivamente, alte frequenze fra due pulsazioni di rottura,.1/τ e 1/τ, collocate rispettivamente una decade prima ed una decade dopo la pulsazione di rottura del

21 Analisi in frequenza di sistemi LTI 21 modulo. Il confronto fra diagrammi di Bode esatti (linea tratteggiata) e i diagrammi di Bode approssimati con funzioni lineari a tratti sopra descritti, detti diagrammi asintotici (linea continua), è illustrato in fig In particolare si riscontra che l errore sul modulo è al massimo di 3 db in corrispondenza della pulsazione di rottura del modulo 1/τ mentre l errore sulla fase risulta compreso fra ±6 circa ed è massimo, in valore assoluto, in corrispondenza delle pulsazioni di rottura della fase.1/τ e 1/τ. Indicati con Ĝc(jω) db e con Ĝ(jω) gli andamenti asintotici di modulo e fase, gli errori di modulo e fase soddisfano, pertanto, le seguenti disuguaglianze: Ĝc(jω) db G c (jω) db 3 6 Ĝc(jω) G c (jω) 6 (1.4.19) L andamento degli errori di modulo e di fase è riportato in fig Si può Modulo (db) Pulsazione normalizzata ωτ Fase (gradi) Pulsazione normalizzata ωτ (a) Andamento dell errore di modulo (b) Andamento dell errore di fase Figura Andamento dell errore per il fattore elementare del primo ordine concludere che, data la ridotta entità di tali errori rispetto alle escursioni di ampiezza e di fase, l uso dei diagrammi asintotici al posto di quelli esatti è spesso accettabile. D altro canto, i diagrammi asintotici catturano i principali aspetti qualitativi di quelli esatti. Riassumendo, i diagrammi asintotici del fattore elementare del primo ordine sono tracciati nel seguente modo: il diagramma di ampiezza asintotico è costituito da una retta orizzontale di ordinata db fino alla pulsazione di rottura 1/τ seguita da una retta obliqua di pendenza 2 db/decade;

22 22 Diagrammi di Bode G d (jω) db 1 δ=.1 Modulo (db) 1 2 δ= Pulsazione normalizzata (ω/ω n ) Figura Diagrammi di Bode del modulo del fattore elementare del secondo ordine il diagramma di fase asintotico è costituito da una retta orizzontale di ordinata fino alla prima pulsazione di rottura 1/τ, seguito da una retta obliqua di pendenza 45 /decade fino alla seconda pulsazione di rottura 1/τ e da una retta orizzontale di ordinata 9. Fattore elementare del secondo ordine Da (1.4.9) segue che: G d (jω) db = 2 log (4δ 2 2) ( ω ( ( ) ) ω 2 G d (jω) = j δ ω ω n ω n ω n ) 2 ( ) ω 4 + (1.4.2) ω n (1.4.21) I diagrammi di Bode esatti, in funzione della pulsazione normalizzata ω/ω n e per vari valori di δ, sono riportati in fig. 1.6,1.7. Anche in questo caso, come

23 Analisi in frequenza di sistemi LTI 23 G d (jω) δ=.1 45 Fase (gradi) 9 δ= Pulsazione normalizzata (ω/ω n ) Figura Diagrammi di Bode della fase del fattore elementare del secondo ordine

24 24 Diagrammi di Bode nel caso (c), i diagrammi risultano curvilinei; inoltre, il loro andamento dipende fortemente dal valore di δ soprattutto per valori di ω nell intorno di ω n. Si nota che per alcuni valori di δ il grafico del modulo presenta un massimo (picco di risonanza). Più precisamente, attraverso uno studio della funzione G d (jω) lasciato al lettore per esercizio, si vede che se δ < 1/ 2.7 tale modulo presenta un picco di risonanza M r = max ω G d(jω) = G(jω r ) = in corrispondenza della pulsazione di risonanza 1 2δ 1 δ 2 (1.4.22) ω r = ω n 1 2δ 2 (1.4.23) Si noti che per δ : ω r ω n e M r ; quindi per sistemi poco smorzati il fenomeno di risonanza è molto accentuato e la pulsazione di risonanza tende a coincidere con la pulsazione naturale. Viceversa, per δ 1/ 2: ω r e M r 1. Quindi il fenomeno di risonanza tende a svanire quando il fattore di smorzamento si avvicina al valore 1/ 2; in particolare, se δ 1/ 2 il modulo ha un andamento monotonicamente decrescente all aumentare di ω con un valore massimo unitario in corrispondenza della continua (ω = ). La dipendenza di M r e ω r /ω n da δ è illustrata nei grafici di fig Un altra caratteristica di interesse del sistema è la banda passante a 3 db ovvero la pulsazione ω b alla quale G d (jω b ) = 1/ 2. Con semplici calcoli si ottiene: ω b = ω n 1 2δ δ 4 4δ 2 (1.4.24) La fig. 1.9 riporta il grafico di ω b /ω n in funzione di δ. Anche in questo caso, per un tracciamento qualitativo dei diagrammi di Bode risulta conveniente analizzare il comportamento di (1.4.2)-(1.4.21) alle basse frequenze (ω/ω n 1) e alle alte frequenze (ω/ω n 1). Comportamento alle basse frequenze - Per ω/ω n 1, cioè per valori di pulsazione molto inferiori al valore ω n, da (1.4.2)-(1.4.21) si ottengono le approssimazioni G d (jω) db G d (jω) } per ω ω n (1.4.25) Comportamento alle alte frequenze - Per ω/ω n 1, cioè per valori di pulsazione molto superiori al valore ω n, da (1.4.2)-(1.4.21) si ottengono

25 Analisi in frequenza di sistemi LTI 25 5 Picco di risonanza M r ω /ω r n.8 Pulsazione di risonanza δ Figura Picco di risonanza e pulsazione di risonanza del fattore elementare del secondo ordine

26 26 Diagrammi di Bode ω b /ω n Banda passante δ Figura Banda passante del fattore elementare del secondo ordine

27 Analisi in frequenza di sistemi LTI 27 viceversa le approssimazioni ω G d (jω) db 4 log 1 ω n G d (jω) 18 per ω ω n (1.4.26) Le relazioni (1.4.25)-(1.4.26) suggeriscono di approssimare il modulo G d (jω) db con una funzione lineare e continua a tratti costituita da un tratto orizzontale di ordinata db per ω ω n e da un tratto obliquo con pendenza di 4 db/decade per ω > ω n. Per quanto riguarda la fase, si riscontra che essa varia monotonicamente da a 18, assumendo il valore di 9 per ω = ω n. Essa può essere ragionevolmente approssimata con il valore per ω <.1 ω n e con il valore 18 per ω > 1 ω n. Per valori intermedi.1 ω n ω 1 ω n l andamento della fase è qualitativamente diverso a seconda che il fattore di smorzamento δ assuma valori piccoli oppure no. In particolare, se δ <.1 è conveniente approssimare la fase con una variazione a gradino di 18 in corrispondenza della pulsazione ω = ω n ; se δ.1 conviene, viceversa, raccordare la fase, fra le pulsazioni di rottura.1ω n e 1ω n, con un tratto rettilineo di pendenza 9 per decade. Riassumendo, per il fattore elementare del secondo ordine, si suggerisce il tracciamento dei seguenti diagrammi asintotici (vedi fig. 1.1). Per il modulo, una retta orizzontale di ordinata db fino alla pulsazione di rottura ω n seguita da una retta obliqua di pendenza 4 db/decade. Per la fase: se δ >.1, una retta orizzontale di ordinata fino alla prima pulsazione di rottura ω 1 = ω n /1, seguito da una retta obliqua di pendenza 9 /decade fino alla seconda pulsazione di rottura ω 2 = 1 ω n e da una retta orizzontale di ordinata 18 ; se δ.1, un gradino di 18 alla pulsazione di rottura ω n. Si noti che i diagrammi di Bode asintotici risultano lineari a tratti e, pertanto, sono facilmente tracciabili e sommabili. Questo ne permette una agevole determinazione grafica manuale, su carta semi-logaritmica, dei diagrammi di Bode asintotici di una generica risposta in frequenza G(jω). Tali diagrammi forniscono, in genere, una buona rappresentazione qualitativa dei diagrammi esatti che, viceversa, hanno un andamento curvilineo e possono essere tracciati mediante l ausilio di un calcolatore. Per effettuare un tracciamento qualitativo

28 28 Diagrammi di Bode 2 G d (jω) db Modulo (db) δ=.9 δ= G d (jω) δ <.1 Fase (gradi) δ Pulsazione normalizzata (ω/ω n ) Figura Diagrammi di Bode approssimati del fattore elementare del secondo ordine

29 Analisi in frequenza di sistemi LTI 29 dei diagrammi di Bode di G(jω) si può procedere in modo sistematico come segue. 1. Si scompone G(jω) in fattori elementari mediante la forma di Bode. 2. Si tracciano i diagrammi di Bode asintotici dei fattori elementari determinati al punto precedente. 3. Si tracciano i diagrammi di Bode di G(jω) sommando i diagrammi di Bode del punto precedente. Acquisita una certa familiarità, si potrà passare direttamente dal punto 1 al punto 3 della suddetta procedura tracciando direttamente i diagrammi di Bode complessivi senza tracciare i diagrammi dei fattori elementari. Si considerano di seguito e nel paragrafo 1.7 vari esempi di tracciamento dei diagrammi di Bode al duplice scopo di esemplificare il procedimento di costruzione dei diagrammi asintotici e di esaminare gli scostamenti di tali diagrammi approssimati da quelli esatti. Esempio Si traccino i diagrammi di Bode di un sistema con funzione di trasferimento k G(s) = k >, τ > (1.4.27) s(1 + τs) La risposta in frequenza associata G(jω) è il prodotto dei seguenti tre fattori elementari: G 1 (jω) = k, G 2 (jω) = 1 jω, G 3(jω) = jωτ I diagrammi di Bode asintotici dei tre fattori elementari e quelli complessivi sono riportati in fig. 1.18(a), insieme ai diagrammi esatti. Si noti che il diagramma asintotico di ampiezza presenta una unica pulsazione di rottura in ω = 1/τ, dovuta al fattore elementare del 1 ordine G 3 (jω). In corrispondenza di tale pulsazione il diagramma asintotico di ampiezza cambia pendenza, da 2 db/decade a 4 db/decade, ed assume il valore 2 log 1 (kτ). Viceversa il diagramma asintotico di fase presenta due pulsazioni di rottura in 1 1τ e in 1 τ dove il grafico cambia pendenza (inizialmente nulla, poi di 45 /decade e, infine, di nuovo nulla) e assume i valori 9 e, rispettivamente, 18. Si noti che, in questo esempio, l unica approssimazione dei diagrammi asintotici è dovuta al fattore G 3 (jω). Pertanto l errore dei diagrammi asintotici resta confinato ad un massimo di 3 db per l ampiezza, alla pulsazione ω = 1/τ, e di

30 3 Diagrammi di Bode ±6 per la fase, alle pulsazioni ω = 1 1τ e ω = 1 τ. Si vedrà negli esempi successivi che gli errori di approssimazione diventano più consistenti in presenza di fattori multipli del 1 e 2 ordine e, in particolare, se le relative pulsazioni di rottura sono vicine fra loro. Si noti, infine, che la variazione del valore di k comporta solo una traslazione verticale del diagramma di ampiezza (verso l alto se k viene aumentato o verso il basso se k viene diminuito) mentre la variazione del valore di τ comporta una traslazione orizzontale di entrambi i diagrammi, di ampiezza e di fase, verso sinistra se τ aumenta o verso destra se diminuisce. Il cambiamento di segno di k implica, invece, solo uno sfasamento di 18. Elemento di ritardo Come visto in precedenza, l elemento di ritardo temporale τ ha risposta in frequenza G(jω) = e jωτ da cui G(jω) = 1 e G(jω) = ωτ, ω (1.4.28) Il diagramma di ampiezza è pertanto una retta orizzontale di valore db, mentre il diagramma di fase ha l andamento riportato in fig in funzione della pulsazione normalizzata ωτ. Si noti che, poiché la fase ha un andamento lineare in ω, l andamento in scala logaritmica, cioè in log 1 (ω), risulta esponenziale. Alla luce di quanto sopra, un sistema con ritardo di funzione di trasferimento G(s) = e τs G (s), dove G (s) è una funzione razionale, presenta lo stesso diagramma di ampiezza di G (s), tracciabile mediante la procedura sopra esposta, ed un diagramma di fase ottenuto sommando al diagramma di fase di G (s) il contributo, in, 18ωτ/π dovuto al ritardo. Effetto di poli/zeri sulla risposta in frequenza Lo studio dei diagrammi di Bode ha messo in evidenza come le proprietà filtranti del sistema dipendano dalla configurazione poli-zeri della sua funzione di trasferimento. In particolare: 1. un polo introduce un attenuazione alle alte frequenze che, in buona approssimazione, è di 2 db per ogni decade di frequenza oltre la pulsazione di rottura del polo; 2. uno zero fornisce un amplificazione alle alte frequenze che, in buona approssimazione, è di 2 db per ogni decade di frequenza oltre la pulsazione di rottura dello zero;

31 Analisi in frequenza di sistemi LTI Fase (gradi) Pulsazione normalizzata ωτ Figura Diagramma di Bode della fase dell elemento di ritardo

32 32 Diagrammi di Bode 3. la pulsazione di rottura del polo/zero coincide con il reciproco della costante di tempo 1/τ per un polo/zero reale oppure con la pulsazione naturale ω n per una coppia di poli/zeri complessi coniugati; 4. un polo (zero) immaginario jω o introduce un contributo di 9 (+9 ) alla fase a partire dalla pulsazione ω o ; 5. una coppia di poli immaginari ±jω o introduce una risonanza alla pulsazione ω o, ovvero l esaltazione di componenti armoniche in ingresso di pulsazione ω o ; 6. una coppia di zeri immaginari ±jω o introduce un nullo alla pulsazione ω o, ovvero la reiezione di componenti armoniche in ingresso di pulsazione ω o ; 7. un polo con parte reale negativa/zero con parte reale positiva comporta uno sfasamento negativo variabile fra (basse frequenze) e 9 (alte frequenze); 8. un polo con parte reale positiva/zero con parte reale negativa comporta uno sfasamento positivo variabile fra (basse frequenze) e +9 (alte frequenze); 9. lo sfasamento introdotto da un polo/zero non immaginario è localizzato fra due pulsazioni poste una decade prima e una decade dopo la pulsazione di rottura del polo/zero. Le suddette considerazioni 1-9 non solo consentono di analizzare le proprietà filtranti del sistema conoscendone la configurazione poli/zeri, ma soprattutto sono utili in fase progettuale per realizzare sistemi con desiderate proprietà filtranti imponendo a questi una appropriata configurazione poli-zeri. In molte applicazioni di elaborazione del segnale si richiede di progettare un filtro che abbia una desiderata risposta in frequenza (ad esempio passa-basso, passabanda, elimina-banda, etc.); a tale scopo, la conoscenza degli effetti di poli/zeri sull andamento del modulo e del argomento della risposta in frequenza permette di selezionare in modo appropriato i poli/zeri della funzione di trasferimento in modo di approssimare al meglio la risposta in frequenza desiderata. Nel capitolo 1 si vedrà che una tecnica molto efficace e comunemente impiegata per la sintesi di sistemi di controllo consiste nel sagomare opportunamente la risposta in frequenza del sistema ad anello aperto introducendo appropriati poli e/o zeri aggiuntivi.

33 Analisi in frequenza di sistemi LTI 33 Im[G(jω)] θ ρ Re[G(jω)] Figura Diagramma di Nyquist dove ρ = G(jˆω) e θ = G(jˆω) per ˆω assegnato 1.5 Diagramma di Nyquist Nonostante i diagrammi di Bode siano molto usati per la semplicità con cui si determina la loro approssimazione asintotica, essi presentano lo svantaggio di associare alla funzione di trasferimento G(s) due grafici distinti. In molte situazioni è preferibile lavorare con un solo diagramma che contenga tutte le informazioni. Un diagramma che possiede questa caratteristica è il diagramma polare o diagramma di Nyquist. Il diagramma di Nyquist riporta nel piano complesso la curva descritta da G(jω) al variare di ω da a +. Pertanto, per tracciare tale diagramma è necessario valutare G(jω) per un numero sufficientemente elevato di valori di ω, riportare tali valori nel piano complesso e congiungerli con una curva come mostrato in fig A tale proposito è possibile ricavare il modulo e l argomento di G(jω) dai diagrammi di Bode e riportare i corrispondenti punti sul piano immagine. Questa osservazione mette in evidenza come sia possibile determinare i diagrammi di Bode da quello di Nyquist e viceversa. Poiché, come visto in precedenza, i diagrammi di Bode possono essere determinati in modo agevole, essi vengono frequentemente utilizzati come punto di partenza per il tracciamento del diagrama di Nyquist. Inoltre, come sarà chiarito nei prossimi capitoli, è utile far riferimento al diagramma di Nyquist esteso, che riporta il valore di G(jω) nel piano complesso al variare di ω da a +. Si osserva che, utilizzando la proprietà (1.3.4), il diagramma di G(jω) per ω (, ] è ottenibile da quello per ω [, + ) semplicemente per ribaltamento attorno all asse reale. Per aumentare la leggibilità si adotta la convenzione di riportare l andamento per ω (, ] con una linea tratteggiata e quello per ω [, + ) con una linea continua. Infine su tale diagramma viene indicato con una freccia il verso di percorrenza per ω che va a + e, talvolta, vengono etichettati alcuni punti con i corrispet-

34 34 Diagramma di Nyquist tivi valori di ω. Di seguito si esamina in dettaglio il diagramma di Nyquist di alcuni sistemi elementari Fattore costante Il diagramma di Nyquist del fattore elementare costante G(s) = k, k IR, è costituito da un punto sull asse reale come illustrato in figura Im[G(jω)] Im[G(jω)] k Re[G(jω)] k Re[G(jω)] (a) Diagamma per k > (b) Diagramma per k < Figura 1.13 Diagramma di Nyquist del fattore elementare costante Integratore/Derivatore Si consideri la funzione di trasferimento dell integratore (1.4.7) che, moltiplicando numeratore e denominatore per j, assume la forma G(jω) = j ω. (1.5.1) Da (1.5.1) si vede che Re[G(jω)] = per ogni ω IR e che, inoltre, per ω che varia da + a +, Im[G(jω)] varia da a. Quindi il diagramma di Nyquist dell integratore coincide con l asse immaginario percorso, al variare di ω da a +, come indicato in fig. 1.14(a). Per il derivatore G(s) = s si osserva che G(jω) = jω, per ω da a +, si sposta sull asse immaginario da j a +j come illustrato in figura 1.14(b). Sistema del primo ordine Si consideri il sistema del 1 ordine G(s) = 1 + τs 1 + τs. (1.5.2)

35 Analisi in frequenza di sistemi LTI 35 Im[G(jω)] + Im[G(jω)] + Re[G(jω)] + Re[G(jω)] + (a) Integratore (b) Derivatore Figura Diagrammi di Nyquist dell integratore e del derivatore Posto s = jω, si analizza il comportamento per ω = e per ω. Si ha: G(jω) = 1 + jτω 1 + jτω = G(j) = 1, lim ω + G(jω) = τ τ (1.5.3) Infine, con semplici passaggi si può verificare che il diagramma di Nyquist è una circonferenza centrata in τ + τ di raggio τ τ 2τ 2τ. Infatti G(jω) τ + τ 2τ = 1 + jτω 1 + jτω τ + τ 2τ = 2τ(1 + jτω) (τ + τ)(1 + jτω) 2τ(1 + jτω) = τ τ + jωτ(τ τ) 2τ(1 + jτω) = τ τ 1 jτω 2τ 1 + jτω = τ τ 2τ (1.5.4) Dall equazione (1.5.4) si conclude che il numero G(jω) dista dal numero reale τ + τ di una distanza costante pari a τ τ 2τ 2τ. In altri termini, il vettore G(jω) descrive nel piano complesso una circonferenza centrata in τ + τ di 2τ raggio τ τ 2τ come illustrato in figura 1.5 per τ < τ.

36 36 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist Im[G(jω)] + τ τ < 1 τ + τ 2τ 1 Re[G(jω)] Figura Diagramma di Nyquist del sistema G(s) = 1 + τs 1 + τs con τ > τ > L elemento di ritardo Si consideri l elemento di ritardo con risposta in frequenza G(jω) = e jωτ, dove τ > è il ritardo. Per tale elemento il modulo G(jω) risulta unitario a qualsiasi pulsazione ω mentre l argomento, G(jω) = ωτ, diminuisce in modo proporzionale a ω. Pertanto il diagramma di Nyquist coincide con il cerchio unitario percorso in senso orario a partire dal punto 1 corrispondente alla pulsazione ω =, come illustrato in figura 1.5. Im[G(jω)] ω = 1 Re[G(jω)] τ > Figura Diagramma di Nyquist dell elemento di ritardo 1.6 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist Nel paragrafo precedente si è visto come il tracciamento esatto del diagramma di Nyquist richieda la valutazione numerica di G(jω) per un numero molto

37 Analisi in frequenza di sistemi LTI 37 elevato di valori di ω oppure la determinazione analitica della curva, nel piano xy con x = Re G(jω) e y = Im G(jω), descritta da G(jω). Il primo approccio risulta laborioso da effettuare manualmente e richiede l ausilio di un calcolatore elettronico. Viceversa il secondo approccio è applicabile solo in alcuni casi elementari quali quelli esaminati in precedenza. Nella maggior parte dei casi, tuttavia, è sufficiente un tracciamento qualitativo del diagramma di Nyquist come si vedrà nei capitoli successivi in relazione all uso del diagramma di Nyquist per l analisi di stabilità ed il progetto di sistemi di controllo a retroazione. Di seguito si elencano e discutono alcune regole che, eventualmente con l ausilio dei diagrammi di Bode, consentono in molti casi un tracciamento manuale qualitativo sufficientemente accurato del diagramma di Nyquist. 1. Simmetria rispetto all asse reale - L andamento del diagramma di Nyquist relativo a ω (, ] può essere ottenuto da quello relativo ω [, ) per simmetria rispetto all asse reale, in quanto Re[G(jω)] = Re[G( jω)], Im[G(jω)] = Im[G( jω)] 2. Comportamento alle basse frequenze - Il comportamento di G(jω) per ω dipende dalla presenza o meno di poli nell origine. Infatti, in un intorno di ω = si ha G(jω) = K B (jω) h e quindi { lim G(jω) = KB, se h = ω, se h > (1.6.1) Pertanto si distinguono i seguenti due casi: Se non sono presenti poli nell origine (h = ), il diagramma di Nyquist parte dall asse reale con fase: { φ = lim G(jω) = ω +, se K B 18, se K B < (1.6.2) Se ci sono h > poli nell origine, il diagramma di Nyquist parte dal punto all con fase { φ = lim G(jω) = K B h 9 h 9 =, se K B ω + (h + 2) 9, se K B < (1.6.3) Meritano particolare attenzione i casi di polo semplice (h = 1) e polo doppio (h = 2).

38 38 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist Asintoto verticale - Se h = 1 il diagramma parte dal punto all infinito parallelamente all asse immaginario e Re[G(jω)] tende ad un valore costante per ω. Infatti b (jω) n + + b n 1 (jω) + b n G(jω) = (jω) n + a 1 (jω) n a n 2 (jω) 2 + a n 1 (jω) (1.6.4) può essere approssimato, per ω, nel seguente modo G(jω) = (b n 1 jω+b n)(a n 1 a n 2 jω) jω(a 2 n 1 +a2 n 2 ω2 ) = jω(b n 1a n 1 b na n 2 )+b na n 1 jωa 2 n 1 (1.6.5) Da (1.6.5) si determina il valore asintotico di Re[G(jω)] lim Re[G(jω)] = b n 1a n 1 b n a n 2 ω a 2 n 1 e si osserva la divergenza di Im[G(jω)]: < (1.6.6) lim ω + Im[G(jω)] = {, se bn a n 1 > +, se n n a n 1 < Asintoto parabolico - Se h = 2 si ha divergenza sia della parte immaginaria che della parte reale di G(jω). In questo caso si può riscrivere G(s) nella seguente forma G(s) = 1 s2ĝ(s) (1.6.7) dove Ĝ(s) è una funzione analitica e quindi sviluppabile in serie di Taylor nell intorno dell origine, da cui G(s) = c s 2 + c 1 s + c 2 + c 3 s + (1.6.8) Quindi per s = jω si può considerare la seguente approssimazione di G(jω) G(jω) = c ω 2 jc 1 ω + c 2 (1.6.9) L equazione (1.6.9) descrive una curva con la seguente rappresentazione parametrica x = c 2 c ω 2 y = c 1 (1.6.1) ω

39 Analisi in frequenza di sistemi LTI 39 Ricavando ω = c 1 e sostituendolo nella prima delle equazioni y (1.6.1) si ottiene la seguente equazione di una parabola x = c 2 c c 2 y 2 (1.6.11) 1 a cui tende il diagramma di Nyquist per ω nel caso di polo doppio nell origine. 3. Singolarità sull asse immaginario (asintoto obliquo) - Dopo aver considerato le singolarità in zero si considerano quelle per una pulsazione ω o generica. In questo caso G(s) è esprimibile nella seguente forma G(s) = 1 s 2 + ω 2 o Ĝ(s) = 1 s jω o G (s) (1.6.12) dove G (s) è una funzione a coefficienti complessi e analitica in un intorno di s = jω o e quindi sviluppabile in serie di Taylor G(s) = c s jω o + c 1 + c 2 (s jω o ) + (1.6.13) Quindi per s jω o si può considerare la seguente approssimazione di G(jω) G(jω) = G(jω) = c jǫ + c 1 (1.6.14) dove ǫ = ω ω o. Sviluppando x = Re[G(jω)] e y = Im[G(jω)] in (1.6.14), si verifica facilmente che la curva descritta nel piano complesso da G(jω) ammette la seguente rappresentazione parametrica x = Re[c 1 ] + 1 ǫ Im[c ] y = Im[c 1 ] 1 (1.6.15) ǫ Re[c ] Moltiplicando la prima equazione di (1.6.15) per Re[c ] e la seconda per Im[c ] e sommando ambo i membri, si ottiene la seguente equazione di una retta Re[c ] x + Im[c ] y = Re[c 1 ]Re[c ] + Im[c 1 ]Im[c ] (1.6.16) che rappresenta l asintoto obliquo a cui tende il diagramma di Nyquist per ω ω. L asintoto relativo al polo immaginario coniugato jω può essere ovviamente determinato per simmetria.

40 4 Regole per il tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist 4. Comportamento alle alte frequenze - Per quanto riguarda il comportamento del diagramma di Nyquist alle alte frequenze si osserva che, essendo G(s) una funzione propria, G(jω) converge ad un valore costante per ω. In particolare, {, se G(s) è strettamente propria lim G(jω) = ω + b, se G(s) è bipropria (1.6.17) Per quanto riguarda la fase asintotica, essa può essere determinata mediante la seguente relazione φ = lim ω + G(jω) = K B 9 (np nz np + + nz + ) (1.6.18) dove: np e nz indicano il numero di poli e, rispettivamente, di zeri con parte reale ; np + e nz + il numero di poli e, rispettivamente, di zeri con parte reale positiva. Infine per terminare il tracciamento qualitativo del diagramma di Nyquist si può far ricorso agli andamenti dei diagrammi di Bode. Nel caso in cui la funzione di trasferimento presenti un elemento di ritardo conviene prima disegnare il diagramma di Nyquist del sistema ignorando il ritardo e successivamente introdurre il contributo del ritardo. Infatti, poiché esso influenza solo l andamento della fase, ogni punto del diagramma di Nyquist rimane alla stessa distanza dall origine ma viene ruotato in senso orario di un angolo pari a ωτ. Sistema del secondo ordine Si consideri il sistema elementare del secondo ordine (1.4.9) i cui diagrammi di Bode sono riportati in figura 1.6 e 1.7. Da tali diagrammi si osserva che - La fase è sempre decrescente e varia da a Il modulo è sempre decrescente se 1 2 δ < 1. - Il modulo ha un massimo di valore superiore ad uno se < δ < Il diagramma di Nyquist intercetta l asse immaginario per ω = ω n con un valore G d (jω n ) = j 1 2δ di argomento 9. - Quando δ = la funzione G(jω) è sempre reale ed è positiva se ω < ω n e negativa se ω > ω n.

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