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1 I numeri complessi I numeri complessi in rappresentazione cartesiana Un numero complesso a è una coppia ordinata di numeri reali che possono essere pensati come coordinate di un punto nel piano P(a,a, o come il vettore OP. O a P a Il numero complesso si scrive come a a ia dove l unità immaginaria i gode della proprietà i, a è detta parte reale, a parte immaginaria: e(a a Im(a a Si chiama complesso coniugato di a il numero a* a ia che ha la stessa parte reale di a e la parte immaginaria cambiata di segno. on a si indica il modulo del numero complesso, a a ia a cos ϑ i a sinϑ a cosϑ isin ϑ a ep( iϑ Il modulo è un numero reale positivo pari a ( ( a a a* a a a a a a La somma di due numeri complessi a, b è il numero che ha per parte reale la somma delle parti reali e per parte immaginaria la somma delle parti immaginarie: ( ( a b i( a b a b a ia b ib Parte reale e parte immaginaria si comportano nella somma come le componenti cartesiane dei vettori. Il prodotto di due numeri complessi si ottiene sviluppando il prodotto tra due binomi con le regole dell algebra ricordando che i. Eseguiamo il prodotto a b* ircuiti elettrici in corrente alternata * ( ( ( ab ab iab ( ab a b a ia b ib La parte reale del prodotto di a per il complesso coniugato di b è uguale al prodotto scalare dei due vettori corrispondenti: la parte immaginaria, a meno del segno, è pari al modulo del prodotto vettoriale tra i due vettori. Nel caso particolare di numeri uguali (ab, il prodotto a a* ha come parte reale il quadrato del modulo a mentre la parte immaginaria è nulla. Per calcolare parte reale e parte immaginaria del reciproco di un numero complesso si procede come segue a * a ia a a a* ( a ia ( a ia 4 a a i a a a a ( ( Si ha che il modulo del reciproco è pari al reciproco del modulo a a a ( a a ( a a 3 a a a a a a a ( I numeri complessi in rappresentazione polare ome un vettore può essere rappresentato in forma cartesiana o in forma polare, così un numero complesso può essere rappresentato come (parte reale, parte immaginaria o come (modulo, fase dove fase è un angolo (ϑ in figura dato da Im( a fase( a tan 6 e( a O a a cosϑ a OP ϑ P a a sinϑ L equazione perciò si riscrive a a ia a cos ϑ i a sinϑ a cosϑ isin ϑ a ep( iϑ dove si è utilizzata l identità di Eulero tra funzioni cos, sin e l esponenziale di un numero immaginario. Un nu- 5 7

2 mero reale è il caso particolare di un numero complesso con fase uguale a 0 (numero positivo o a 80 (numero negativo; un numero complesso è un immaginario puro se la sua fase è uguale a 90 o a 70. La rappresentazione polare permette di rappresentare in modo semplice il prodotto di due numeri complessi: posto b b ib ep( b iϕ si ha a b a ep( iϑ b ep( iϕ ( i ϑ ϕ a b ep ( Ossia: il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per fase la somma delle fasi. Un numero complesso di modulo unitario ( a si può scrivere come ep(iϑ; viceversa, l esponenziale di un immaginario ha modulo unitario ep( iϑ cosϑ isinϑ 9 cos ϑ sin ϑ Anche la relazione tra un complesso e il suo reciproco ha una forma semplice in rappresentazione polare ep( iϑ 0 a a ep( iϑ a I numeri complessi e le equazioni differenziali ordinarie Prendiamo come esempio l equazione di Newton per un punto di massa m appeso ad una molla di costante elastica ; indicando con (t lo spostamento dalla posizione d equilibrio si ha F ma m d d m 0 Questo è un esempio di equazione differenziale ordinaria di secondo grado; ordinaria vuol dire che vi compare una somma della funzione incognita (t e delle sue derivate (fino al grado secondo moltiplicate per coefficienti costanti. erchiamo per (t una soluzione complessa del tipo t ( Aep( i t notando che la derivata n esima di questa funzione si scrive come n d ( t n ( i Aep( i t n Inserendo la soluzione nella si trova ( i Aep( it m A ep( i t 0 3 ± m m L equazione differenziale ordinaria è stata ridotta alla equazione algebrica 3, che ha due soluzioni corrispondenti alle funzioni complesse ep i ep m t i m t 8 La soluzione più generale sarà una combinazione lineare delle due soluzioni e sarà del tipo t A i m t A i ( ep ep m t 4 dove i numeri complessi A e A - sono determinati dalle condizioni iniziali. Poichè (t è uno spostamento rappresentato da un numero reale, ci si può limitare a considerare il caso in cui questi due numeri sono l uno il complesso coniugato dell altro, ad esempio A A ep( iϕ A A ep( iϕ 5 in tale caso la 4 diventa una quantità reale in quanto la somma di due numeri complessi coniugati ha parte immaginaria nulla t A i m t i ( ep ep m t ϕ ϕ A cos m t ϕ Questa espressione rappresenta una oscillazione di ampiezza A e fase iniziale ϕ. Questo esempio mostra che la soluzione di una equazione differenziale ordinaria che lega grandezze reali ((t, m, può essere cercata in campo complesso mediante funzioni del tipo, che semplificano l operazione di derivazione e riducono il problema ad una e- quazione algebrica, di grado n nel nostro caso. ome altro esempio consideriamo un voltaggio alternato del tipo V( t V o cost applicato ad un condensatore V(t La carica Q(t sul condensatore è proporzionale al voltaggio V(t ai suoi capi mentre la corrente I circolante nel circuito è la derivata della carica rispetto al tempo Q( t V ( t dq( t It dv ( ( t 6 Per risolvere questa equazione nella incognita I(t si adotta un procedimento simile al precedente che consiste nei seguenti passaggi:. la funzione reale nota V(t viene interpretata come parte reale di una funzione complessa cost ep( it 7. Si esegue la derivata della V(t complessa e la si inserisce nella equazione per la corrente trovando una e- spressione complessa della I(t, ovvero il suo legame con V(t I

3 ( ep( It dv o ( i t i ep( it 8 I( t iv( t V( t i It ( 3. La funzione cercata è la parte reale della funzione complessa I(t. e ( It e[ i ( cost isint ] 9 sint Ambedue i procedimenti di soluzione hanno comportato una reinterpretazione in campo complesso di una equazione reale, la soluzione della stessa con metodi algebrici grazie alla proporzionalità tra funzione esponenziale e sua derivata, il ritorno al campo reale. Gli esempi sono diversi: l equazione di Newton è di tipo omogeneo, non includendo una funzione nota o termine noto; la sua soluzione è stata cercata tra le funzioni ad esponenziale complesso mediante le quali si possono costruire quasi tutte le funzioni di interesse fisico. L equazione del condensatore è una semplice equazione differenziale di tipo disomogeneo che apparentemente potrebbe essere risolta direttamente: mediante derivazione se l incognita è I(t o mediante integrazione se è data la corrente I(t. Il procedimento complesso trova, nel caso di funzioni note di tipo sinusoidale, la soluzione di regime che viene raggiunta dopo un tempo sufficientemente lungo, indipendentemente dalle condizioni iniziali. ircuiti con resistenze e condensatori L equazione 8 suggerisce che, in regime sinusoidale e in campo complesso, la relazione tra voltaggio ai capi di un condensatore (V e corrente è espresso da una relazione formalmente simile alla legge di Ohm (VI V ( t i It ( 0 Il termine /i svolge lo stesso ruolo della resistenza elettrica e si chiama reattanza del condensatore. Per un circuito con condensatori e resistenze, anziché di resistenza, si parla di impedenza, termine che comprende sia la parte resistiva che reattiva. Un circuito in corrente alternata si risolve spesso calcolando la sua impedenza, indicata con Z. Eseguiamo questo calcolo nel caso della resistenza in parallelo al condensatore della figura. Sia V(tV o ep(it. Le correnti sono I iep( it I ep( it e la corrente totale si scrive I I ( / i ep( i t V(t I I I Il coefficiente complesso di V(t è il reciproco della impedenza complessiva del circuito, pari al rapporto tra tensione e corrente; conviene scriverlo in forma polare Z i 3 ( ep( i tan Indicato con ϕ tan l argomento dell esponenziale, l espressione complessa della corrente totale si riscrive I I ( ep ( i( t ϕ 4 La corrente totale è una funzione del tempo proporzionale a cos(tϕ di ampiezza pari a Io ( 5 Poichè nel circuito precedente la potenza media dissipata nel condensatore è nulla, solo I contribuisce alla dissipazione di potenza che in media vale < W >< V I > < cos t 6 È però istruttivo calcolare tale potenza come < V ( I I > sviluppando la corrente totale (4 I I cos( t ϕ cost sintsinϕ e notando che il termine in sint moltiplicato per cost ha media nulla, mentre il termine cos t ha media pari a /. La potenza media perciò vale < W > ( Poichè I 7 / ( / ( (parte reale del numero complesso della 3 diviso il suo modulo, la 7 e la 6 coincidono. La 7 è però più generale e si può esprimere così: la potenza media in corrente alternata è pari alla metà del prodotto tra ampiezza di corrente e ampiezza di voltaggio moltiplicato per il coseno dell angolo di sfasamento tra corrente e voltaggio. Per questo il coseno di questo angolo prende il nome di fattore di potenza. 3

4 Tecnica di soluzione di un circuito in corrente alternata. L equazione 0 mostra che il legame tra voltaggio e corrente per un condensatore è simile alla legge di Ohm se si adotta il formalismo complesso. Un circuito va risolto con le stesse regole adottate per le reti di resistenze (legge dei nodi, delle maglie, teorema di Thevènin e il risultato (di solito una corrente o voltaggio espresso in forma polare per ottenere ampiezza e fase. ome esempio trattiamo il circuito costituito da generatore V(t V 0 cost chiuso su una resistenza e condensatore in serie. Siamo interessati al voltaggio V ai capi del condensatore. V(t I V il voltaggio ai capi della resistenza è proporzionale ad I, che cresce al crescere di e tende asintoticamente a V(t il voltaggio ai capi del condensatore è uguale a V(t per 0, per ha ampiezza ridotta di un fattore ed è sfasato di 45 rispetto a V(t per >, V approssimativamente si dimezza al raddoppiare di al crescere della frequenza lo sfasamento del voltaggio V rispetto a quello del generatore tende asintoticamente a 90. Uno sfasamento negativo vuole dire che il voltaggio V è in ritardo, ossia segue il voltaggio del generatore; questo ritardo di tempo vale. Prelevando il voltaggio ai capi del condensatore si ottiene un partitore di tensione che attenua i segnali alle frequenze al di sopra di / e si ha un filtro passa basso prelevando il voltaggio ai capi della resistenza si ha un partitore che attenuta i segnali con </ e si ha un filtro passa alto L impedenza complessiva di una resistenza in serie con un condensatore vale Z / i 8 /( ep iϕ con ϕ tan / sinϕ ( / ( / ( / La corrente è espressa da V I Z / ( ep ( i( t ϕ 30 Il voltaggio ai capi del condensatore è pari al voltaggio del generatore meno la caduta di tensione I ai capi della resistenza i V V I V i t sinϕ o ep( ( / i/ ep( it ( / 3 / ep( it ( i ( / / ep( it ep( itan ( ( Il risultato può essere così espresso: l ampiezza della corrente circolante è pari a V o / Z 9 La scala dei db Il circuito esaminato è un circuito lineare: raddoppiando il voltaggio V(t raddoppiano tutte gli altri voltaggi e le correnti. Il comportamento del circuito lineare è perciò meglio descritto dai rapporti tra le grandezze elettriche. Si può definire decibel il logaritmo decimale del rapporto tra valori quadratici medi dei segnali moltiplicato per 0. ispetto al generatore V(t, il voltaggio V ha un valore in decibel dato da 0Log Poichè Log(0.5 è circa uguale a 0.3, quando il livello del segnale sul condensatore è a 3dB. Per >3 l espressione precedente all'incirca diventa 0Log( ossia, il segnale V diminuisce di 0 db quando la frequenza aumenta di un fattore 0; questa legge di diminuzione si esprime anche dicendo che il segnale diminuisce di 3dB per ottava. 4

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