e l insieme delle soluzioni, dopo le analoghe riduzioni del caso n = 2, si scrive come

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1 Numeri complessi 9 Da questi esempi si può osservare che, facendo le successive potene di un numero complesso, i punti corrispondenti girano attorno all origine. Se inoltre > allora i punti si allontanano indefinitamente ( n + ), se = i punti rimangono sulla circonferena unitaria ( n = ) e infine se < i punti si avvicinano all origine ( n 0). Se riprendiamo il punto dell esempio precedente e proviamo a disegnare nel piano le prime 0 potene otteniamo: 6. Radici di un numero complesso Passiamo ora all analisi del problema inverso: se conosciamo la potena n-esima di un numero complesso, come facciamo a calcolare il numero originale? Ossia dato un numero complesso quante e quali sono le soluioni w dell equaione w n =? Se = 0 la risposta è banale: l unica soluione possibile è proprio w = 0. Supponiamo quindi che 0 e iniiamo a ragionare nel caso particolare in cui =. Se n = l equaione da risolvere è w =. Se esprimiamo l incognita in forma esponeniale otteniamo: w = w e iϕ e w = w e iϕ = e i0 =. Dato che due numeri complessi in forma esponeniale sono uguali se e solo se i loro moduli sono uguali e i loro argomenti differiscono di un multiplo di π, abbiamo che w = e ϕ = 0 + kπ con k Z. Questo vuol dire che w = (il modulo è un numero reale non negativo) e i possibili argomenti di w sono ϕ = 0 + kπ = kπ con k Z. Quindi l insieme delle soluioni si scrive come wk = e ikπ : k Z }. Apparentemente questo insieme contiene infiniti elementi che dipendono dal parametro k Z. Se però esaminiamo gli elementi con più attenione ci accorgiamo che e ikπ = se k è pari e e ikπ = se k è dispari

2 0 Roberto Tauraso - Analisi ossia wk = e ikπ : k Z } = w k = e ikπ : k = 0, } =, }. Così le soluioni sono esattamente e sono quelle che potevamo determinare già nell ambito dei numeri reali: w 0 = e w =. Proviamo ora a vedere cosa succede per n = 3. L equaione da risolvere è w 3 = e se ripercorriamo i passaggi del caso precedente otteniamo: che equivale a w 3 = w 3 e i3ϕ =, w = e ϕ = kπ con k Z. 3 e l insieme delle soluioni, dopo le analoghe riduioni del caso n =, si scrive come } } } w k = e ikπ 3 : k Z = w k = e ikπ 3 : k = 0,, =, e iπ 3, e i 4π 3. Dunque le soluioni sono esattamente 3: oltre a quella che ci aspettavamo dal caso reale, w 0 =, abbiamo ottenuto anche w = e i π 3 e w = e i4π 3. Riportando i punti nel piano possiamo notare che queste soluioni stanno tutte sulla circonferena unitaria e individuano i vertici di un triangolo equilatero. w w 0 w Ora dovrebbe essere chiaro cosa si ottiene per = quando n è un intero positivo qualunque: le soluioni dell equaione w n = sono n e precisamente } w k = e ikπ n : k = 0,,, 3,..., n = }, e iπ n, e i 4π n,...,e i (n )π n. Nel piano questi numeri, dette radici n-esime dell unità, sono disposti ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferena unitaria e con un vertice in.

3 Numeri complessi Esempio 6. Calcoliamo le radici quarte dell unità. Risolvendo l equaione w 4 = otteniamo } } w k = e ikπ 4 : k = 0,,, 3 =, e i π, e iπ, e i3π =, i,, i}. w w w 0 w 3 Il caso più generale, quando è un generico numero complesso diverso da ero, si affronta nello stesso modo e la conclusione è la seguente: Radici n-esime Se = e iθ 0 allora l insieme delle soluioni dell equaione w n = è costituito da n numeri distinti dette radici n-esime di : w k = n e i( } θ n +kπ n ) : k = 0,,,..., n. Nel piano i punti corrispondenti a ogni w k sono disposti ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferena di raggio n centrata in 0 e con un vertice in e i θ n. Esempio 6. Risolviamo l equaione w =. Si tratta di determinare le due radici quadrate del numero = = e iπ : w k = e i( π +kπ) } : k = 0, = i, i}. In questo caso, il poligono regolare è costituito dai due punti opposti i e i.

4 Roberto Tauraso - Analisi Esempio 6.3 Calcoliamo le radici quinte di = i = e i π : w k = 5 e i( π 0 +kπ 5 ) : k = 0,,, 3, 4 }. i w 0 = 5 e i π 0 Quindi otteniamo un pentagono regolare inscritto nella circonferena di raggio 5 centrata in 0. L argomento del vertice w 0 è π ossia dell argomento di i che è 0 5 uguale a π. Esempio 6.4 Calcoliamo l area del poligono di vertici C : 4 = 4 } 5( + i). I vertici sono le radici quarte del numero 4 5( + i) e quindi, per quanto detto, individuano un quadrato centrato nell origine. 0 3 Per calcolare l area di questo quadrato è necessario sapere solo il raggio r della circonferena circoscritta ovvero il modulo delle radici: r = (4 5 + i ) /4 = (4 5 + ) /4 = (0) /4.

5 Numeri complessi 3 Quindi sapendo che il lato del quadrato è r, l area è uguale a ( r) = r = (0) / = 4 5. Esempio 6.5 Calcoliamo il limite lim n p n, dove p n è il perimetro del poligono di vertici C : n = 4 n}. L equaione n = 4 n = n individua i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferena centrata in 0 e di raggio. Al crescere di n, il numero di lati aumenta e e la successione di poligoni tende alla circonferena in cui sono iscritto. Quindi il limite della successione dei loro perimetri è la lunghea di tale circonferena ossia 4π. 7. Equaione di secondo grado in C In quest ultima parte vogliamo discutere la risoluione di una generica equaione di secondo grado a + b + c = 0. quando i coefficienti a, b, c C (a 0). Si può verificare che la formula per determinare le soluioni nel caso reale è ancora valida nel caso complesso, = b ±, a dove il simbolo ± rappresenta le due radici quadrate del numero complesso = b 4ac. Quindi, a differena del caso reale, un equaione di secondo grado in C ammette sempre due soluioni (eventualmente coincidenti). Esempio 7. Risolviamo l equaione i = 0: in questo caso Le due radici quadrate di i sono Quindi = b 4ac = ( 4) 4(4 i) = i. w = e i π 4 = + i e w = e i5π 4 = i = w. = b + w = i = 5 a + i e = b w = 4 i = 3 a i. Provate a ottenere lo stesso risultato dopo aver osservato che l equaione data può essere riscritta nel seguente modo: ( ) = i.

6 4 Roberto Tauraso - Analisi La situaione descritta per un equaione polinomiale di grado si generalia al caso di un equaione polinomiale di grado n: Teorema fondamentale dell algebra Sia P() = a n n + + a + a 0 un polinomio di grado n > 0 a coefficienti in C. Allora l equaione P() = 0 ha n soluioni complesse,,, n (tenendo conto delle molteplicità) e inoltre Esempio 7. Risolviamo l equaione P() = a n ( ) ( ) ( n ). P() = 4 + ( i) i = 0 e poi fattoriiamo il polinomio P(). Poniamo w = : w + ( i)w i = 0. In questo caso = ( i) +8i = 3+4i = 5e iθ. Possiamo determinare le due radici quadrate di sena determinare θ [0, π), ricordando le formule di biseione: + cos θ cos θ cos(θ/) = ±, sin(θ/) = dove il segno è positivo se θ [0, π] ovvero se sin θ 0. Nel nostro caso cosθ = 3/5 e sin θ = 4/5, così ( cos(θ/) = 3 ) = (, sin(θ/) = + 3 ) = e ± = ± 5e iθ/ = ± 5(cos(θ/) + i sin(θ/)) = ±( + i). Dunque le soluioni sono w = e w = i e w + ( i)w i = (w ( )) (w i) = ( + ) ( i) = 0. Ora basta risolvere le equaioni che si ottengono uguagliando a ero i singoli fattori: = e = i. Quindi le 4 soluioni dell equaione data sono: = i, = i e 3 = + i, 4 = i Inoltre, il polinomio dato può essere fattoriato nel seguente modo P() = 4 + ( i) i = ( i) ( + i) ( i) ( + + i).

7 Numeri complessi 5 Esempio 7.3 Determiniamo il numero di elementi dell insieme delle soluioni dell equaione P() = ( 4 ) ( 3 ) = 0. Il polinomio P() ha grado 4 +3 = quindi per il teorema fondamentale dell algebra ci aspettiamo soluioni (non necessariamente distinte). Nell insieme delle soluioni gli elementi multipli contano però una sola volta e quindi la domanda equivale a determinare il numero di soluioni distinte. Il fattore ( 4 ) ha quattro eri distinti ciascuno con molteplicità :, i,, i. Il fattore ( 3 ) ha tre eri distinti ciascuno con molteplicità :, ( + i 3)/, ( i 3)/. Quindi l insieme delle soluioni dell equaione P() = 0 è:, i,, i, ( + i 3)/, ( i } 3)/ e il numero dei suoi elementi è 6. Esempio 7.4 Determiniamo il perimetro e l area del poligono i cui vertici soddisfano l equaione P() = ( + 0) ( 6 + 3) = 0. Le soluioni del polinomio di quarto grado P() sono ottenute risolvendo i due fattori di secondo grado: = + 3i, = 3i e 3 = 3 + i, 4 = 3 i. Le due coppie di numeri complessi coniugati individuano i vertici di un trapeio: 3 4

8 6 Roberto Tauraso - Analisi Calcoliamo le lunghee dei lati = 6i = 6, 3 = 4 = + i = 5, 3 4 = 4i = 4 quindi il perimetro è L area invece è uguale a ( ) Re( 3 ) = (6 + 4) 3 = 0.