Tavola riepilogativa degli insiemi numerici

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1 N : insieme dei numeri naturali Z : insieme dei numeri interi Q : insieme dei numeri razionali I : insieme dei numeri irrazionali R : insieme dei numeri reali Tavola riepilogativa degli insiemi numerici Z+ : insieme dei numeri interi positivi Z- : insieme dei numeri interi negativi Zo+ : insieme dei numeri interi positivi compreso lo zero Zo- : insieme dei numeri interi negativi compreso lo zero R+ : insieme dei numeri reali positivi R- : insieme dei numeri reali negativi Ro+ : insieme dei numeri reali positivi compreso lo zero Ro- : insieme dei numeri reali negativi compreso lo zero Come senz'altro ricorderai questa figura rappresenta due insiemi che si rispecchiano: Alcuni elementi dell'insieme di sinistra hanno il loro corrispondente nell'insieme di destra, ma non tutti. 1

2 Raggruppiamo gli elementi che hanno una loro immagine in modo da ottenere i due sottoinsiemi A e B formati dagli oggetti b c d e e le loro rispettive immagini : Siamo in presenza di una Funzione poiché risponde alle condizioni espresse nella formula (si legge: per ogni x di A esiste un unico y di B tale per cui y è uguale a f di x) A e B sono detti rispettivamente DOMINIO e CODOMINIO della funzione f x e y indicano un generico elemento rispettivamente di A e B e si scrive f: A B x y dove f rappresenta la legge A " il dominio B " il codominio x " un generico elemento del dominio A y " l'elemento del codominio B corrispondente di x la scrittura y = f(x) significa: y è immagine di x mediante la legge f A questo punto conosci già le premesse fondamentali indispensabili per affrontare questo L. O. Cercheremo ora di scoprire che cos'è il Campo di Esistenza di una Funzione Reale a Variabile Reale. In particolare in questa 1 a parte esamineremo le Funzioni Razionali Intere e Fratte per scoprire: quale può essere il Campo di Esistenza in quale modo si determina partendo dalla formula matematica l'eventuale regola generale che caratterizza ciascuna tipologia come si indica in simboli matematici sintetici come si rappresenta: - sulla retta - sul piano cartesiano Prima di cominciare però è bene dare un'ultima rinfrescatina alla classificazioni delle funzioni in modo da avere ben chiaro che cos'è una Funzione Reale a Variabile Reale: CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI NUMERICHE Ad un primo livello di classificazione, l'insieme delle funzioni numeriche si può ripartire in due grandi categorie: 2

3 CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI NUMERICHE Ad un primo livello di classificazione, l'insieme delle funzioni numeriche si può ripartire in due grandi categorie: classe delle funzioni empiriche per le quali non esiste alcuna legge o formula matematica che faccia passare dai valori di x ai corrispondenti valori di y, cioè l'immagine di un elemento non è ottenibile mediante una legge, bensì per mezzo di misurazioni sperimentali o di rilevazioni (come in economia o statistica). classe delle funzioni analitiche o matematiche per le quali esiste una legge o formula matematica che a partire da un x del dominio permette di calcolare la sua immagine mediante un numero finito di operazioni. Sono esempi di funzioni empiriche: - il peso di una persona in funzione della sua età - la crescita di una pianta al passare del tempo - la temperatura di un luogo in funzione delle ore della giornata. Sono esempi di funzioni analitiche: - la lunghezza del perimetro di un triangolo equilatero (y) in funzione del suo lato (x): 2P = 3l y=3x - la spesa per una stoffa (y) in funzione della lunghezza (x): y = (costo al metro) x Questa prima ripartizione è schematizzata nel seguente diagramma: Tra le funzioni analitiche particolare rilevanza hanno le funzioni reali di variabile reale, cioè quelle funzioni matematiche il cui dominio e codominio sono sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali: Le funzioni analitiche reali di variabile reale, a loro volta, si suddividono nei due seguenti sottoinsiemi: 1. classe delle funzioni algebriche, per le quali il valore y della variabile dipendente si ottiene, a partire dal valore x della variabile indipendente, eseguendo un numero finito di operazioni algebriche. Ricorda che, nell'ambito dei numeri reali, sono chiamate algebriche le seguenti operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza n-esima, estrazione di radice n-esima (con ). 2. classe delle funzioni trascendenti, per le quali si passa dai valori di x a quelli di y mediante operazioni matematiche non algebriche. Appartengono a questa categoria le funzioni goniometriche, esponenziali e logaritmiche. 3

4 Sono esempi di funzioni algebriche: Sono esempi di funzioni trascendenti: Ad un terzo livello di classificazione, le funzioni algebriche si dividono in - razionali, in cui non è applicata l'operazione di radice n-esima alla variabile x - irrazionali, che presentano operazioni di radice n-esima applicate alla variabile x. A loro volta le funzioni razionali ed irrazionali possono essere intere se non è presente l'operazione di divisione applicata alla variabile x o in caso contrario fratte. Esempi di funzioni: Nel seguente diagramma ad albero riassuntivo è schematizzata la classificazione delle funzioni analitiche 4

5 Il Campo di esistenza di una funzione è il più grande insieme dei numeri reali per cui la formula ha significato: in pratica è il Dominio più grande possibile. Come ricorderai una generica funzione reale a variabile reale viene indicata molto spesso in modo estremamente semplice con la seguente formula: [ si legge: ipsilon uguale effe di ics ]. In questa formula le tre lettere hanno tre ruoli diversi: - rappresenta il singolo elemento del Dominio e prende il nome di variabile indipendente - rappresenta l'elemento del Codominio corrispondente a e prende il nome di variabile dipendente - indica una generica formula per ottenere a partire da. È evidente però che la sola formula non basta per definire una funzione. Se di una funzione reale a variabile reale viene data soltanto la formula, senza altre indicazioni, è necessario stabilire almeno il suo dominio e per poter studiare con completezza la funzione non è opportuno scegliere un dominio a caso, va scelto quello più grande possibile, cioè il Campo di Esistenza della funzione data. Iniziamo ora ad esaminare le Funzioni Razionali Intere e Fratte. esempio n. 1 : Funzione razionale intera (di 1 grado) Iniziamo con una formula base: [ si legge: ipsilon uguale ics] La premessa che devi sempre tenere in mente è la definizione stessa di Campo di Esistenza cioè: «il più grande insieme dei numeri reali in cui può variare affinché esista sempre il valore reale di e sia unico». Per procedere devi sempre porti 3 domande fondamentali (in questo caso le risposte dovrebbero risultare abbastanza intuitive ma se proprio non ci riesci sposta il mouse sopra la parola "aiuto" e ti apparirà la spiegazione; non farlo però senza prima aver tentato di rispondere da solo!) ci sono valori di per cui non esiste? (in questo caso no) ci sono valori di per cui non è un numero reale? (in questo caso no) ci sono valori di per cui non è unico? (in questo caso no) 5

6 La risposta risulta sempre la stessa e cioè che la funzione è sempre calcolabile ovvero, scelto un qualunque valore di ottengo con finite operazioni algebriche il corrispondente valore di. Perciò il suo Campo di Esistenza è l'insieme di tutti i numeri reali, regola generale valida per tutte le Funzioni Razionali Intere. Ed ecco i diversi modi in cui possiamo rappresentarlo in modo sintetico C.E. : R oppure (- ; + ) oppure ] - ; + [ In termini più visualizzabili potremmo dire che in questo caso il Campo di Esistenza è l'insieme di tutti i punti della retta reale. esempio n. 1a : Funzione razionale intera (di 2 grado) Adesso procediamo nello stesso modo ma con una formula un po' più complessa: Riesci a determinare il Campo di Esistenza? Poiché la funzione data è razionale intera il valore di numeri reali. resta sempre nel campo infinito dei Soluzione: il Campo di Esistenza è rappresentato dall'insieme dei numeri reali. Trovato il Campo di Esistenza, sei in grado di rappresentarlo in simboli matematici sintetici? Soluzione: C.E. : R oppure (- ; + ) oppure ] - ; + [ esempio n. 2 : Funzione razionale fratta Come al solito iniziamo con una formula base: Per aiutarti a trovare la strada giusta ti proponiamo queste divisioni ponendoti la domanda: «Hanno una soluzione possibile e con un numero reale e unico?» 5/5 (la soluzione è possibile ed è =1) 1/1 (la soluzione è possibile ed è =1) 0/1 (la soluzione è possibile ed è =0) 1/0 (la soluzione è impossibile poiché non si può dividere per 0) 0/0 (il valore è indeterminato perciò non esiste una soluzione) La conclusione del ragionamento è che la funzione è sempre calcolabile ad eccezione di quando la variabile assume il valore di zero poiché la divisione per zero non è possibile! 6

7 Perciò il Campo di Esistenza è l'insieme degli appartenenti ai numeri reali tali che sia diverso da. Ecco come si può rappresentare in modo sintetico, in simboli matematici: [ si legge: campo di esistenza uguale ics che appartiene a erre e ics diverso da zero] oppure [ si legge: campo di esistenza uguale a meno infinito virgola zero unione zero virgola più infinito] In termini più visualizzabili potremmo dire che in questo caso il Campo di Esistenza è l'insieme di tutti i punti della retta reale escluso il punto. esempio n. 2a : Funzione razionale fratta Procediamo ancora una volta con una formula un po' più complessa: Soluzione: La funzione data è razionale fratta, perciò è necessario trovare il valore di x che rende il denominatore uguale a zero ed escluderlo dal campo di esistenza. Va risolta l'equazione 2x+1 = 0 2x = -1 x = -1/2 il Campo di Esistenza è l'insieme degli appartenenti all'insieme dei numeri reali tali che sia diverso da -1/2 Ecco le due tipologie di notazione in simboli matematici che si possono usare: ( si legge: "campo di esistenza per ics appartenente all'insieme dei numeri reali con ics minore od uguale a 2 e/o maggiore od uguale a 3" ) 7

8 ( si legge: "meno infinito 2 compreso, unione 3 più infinito con 3 compreso" o meglio ancora "il Campo di Esistenza è l'unione dei due intervalli numerici da meno infinito a 2 con 2 non compreso, e da 3 a più infinito con 3 compreso) Conclusa questa 1 a parte abbiamo scoperto quali sono le diverse tipologie di funzioni ed abbiamo focalizzato sulle funzioni reali a variabile reale ed in particolare le funzioni razionali intere e fratte. Di queste ultime abbiamo visto: in quale modo se ne determina il C. di E. partendo dalla loro formula matematica come lo si indica in simboli matematici come lo si rappresenta - sulla retta - sul piano cartesiano l'eventuale regola generale che caratterizza il C. di E. di ciascuna tipologia Esempio n. 1 : Funzione irrazionale intera (con indice di radice pari) Iniziamo con la consueta formula base: [ si legge: ipsilon uguale radice quadrata di ics ] Come al solito devi porti le consuete 3 domande fondamentali: ci sono valori di per cui non esiste? (per valori inferiori allo 0) ci sono valori di per cui non è un numero reale? (per valori inferiori allo 0) ci sono valori di per cui non è unico? (per valori inferiori allo 0) Possiamo determinare che la funzione è sempre calcolabile ad eccezione di quando la variabile assume il valore inferiore allo zero poiché la radice è definita solo per valori non negativi del radicando. Perciò il Campo di Esistenza è l'insieme degli appartenenti ai numeri reali tali che è maggiore od uguale a. In modo sintetico, usando simboli matematici, si può rappresentare così: [ si legge: campo di esistenza uguale ics che appartiene a erre e ics maggiore o uguale a zero] oppure così: [ si legge: campo di esistenza uguale a zero virgola più infinito] 8

9 In termini più visualizzabili potremmo dire che in questo caso il Campo di Esistenza è l'insieme di tutti i punti della retta reale maggiori od uguali a. La regola generale che possiamo dedurre è che il campo di esistenza di una funzione irrazionale intera con radicali di indice pari è l'insieme dei valori che rendono i radicandi non negativi. Esempio n. 1a : Funzione irrazionale intera (sempre con indice di radice pari) Procediamo nello stesso modo con una formula un po' più complessa! Riesci a determinare il Campo di Esistenza? (ricorda che essendo pari l'indice di radice occorre che il radicando non risulti negativo) Soluzione: per trovare il Campo di Esistenza deve essere risolta la disequazione : x 2-5x + 6 0, disequazione di secondo grado che risulta vera per i valori esterni alle radici del trinomio dato, cioè per tutti i numeri reali o anche Trovato il Campo di Esistenza, sei in grado di rappresentarlo in simboli matematici sintetici? Può essere rappresentato in modo sintetico nei seguenti simboli matematici: [ si legge: campo di esistenza per ics minore o uguale a 2 e ics maggiore o uguale a 3] Esempio n. 2 : Funzione irrazionale intera (con indice di radice dispari) [ si legge: ipsilon uguale radice cubica di ics ] Il campo di esistenza delle funzioni irrazionali con indice di radicandi dispari non dà problemi poiché è l'insieme di tutti i numeri reali. 9

10 Esempio n. 3 : Funzione irrazionale fratta (con indice di radice pari) [ si legge: ipsilon uguale radice quadrata di due ics più cinque fratto tre ics quadro meno tre] L'equazione della funzione è irrazionale di indice pari con radicando frazionario. Pertanto deve essere verificata la disequazione (2x+5)/(3x 2-3) > = 0. Da tutto quello che abbiamo appreso in precedenza il Campo di Esistenza della funzione è l'intervallo di soluzione della disequazione fratta, ossia: Esempio n. 4 : Funzione irrazionale fratta (con indice di radice dispari) [ si legge: y uguale radice cubica di x quadro più 18 fratto x quadro -9] L'equazione della funzione è irrazionale di indice dispari con radicando frazionario. Pertanto occorre escludere tutti i valori che annullano il denominatore: (x 2-9) = 0 x 2 = +9 x = +9 x = +3, -3 Da tutto quello che abbiamo appreso in precedenza il Campo di Esistenza della funzione risulta vera per tutti i valori della retta reale esclusi i valori 3 e - 3. Conclusa questa 2 a parte abbiamo scoperto le Funzioni Irrazionali: intere con indice di radice pari e dispari fratte con indice di radice pari e dispari In particolare abbiamo scoperto: in quale modo se ne determina il C. di E. partendo dalla loro formula matematica come lo si indica in simboli matematici come lo si rappresenta - sulla retta - sul piano cartesiano Nella sezione precedente abbiamo scoperto come si determina il Campo di Esistenza delle tipologie di Funzioni Reali a Variabile Reale ed in particolare ci siamo dedicati alle Funzioni Razionali Intere e Fratte e a quelle Irrazionali. 10

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