ALGORITMO PER GENERARE COSTANTI MATEMATICHE

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1 ALGORITMO PER GENERARE COSTANTI MATEMATICHE di Zino Magri Copyright ZINO MAGRI 03

2 Vorrei porre alla vostra attenione un algoritmo in grado di generare una π quantità illimitata di costanti numeriche (non banali come 7 / o 5 o π ). Queste costanti si possono ricavare da ogni serie divergente la cui funione sia continua e derivabile più volte. Poiché le serie divergenti sono in numero illimitato, anche le costanti ad esse associate lo sono. Dal famoso algoritmo di Eulero-MacLaurin, utiliato per comparare la serie di una funione continua al suo integrale improprio, con particolari modifiche si ricava un semplice algoritmo per produrre costanti numeriche(copyright 03). Tale algoritmo, troncato alla derivata (p ) esima, può essere scritto così: C = lim { F( ) g + F( ) d [ F( ) F( m)] [ F'( ) F'( m)] m = m v v + [ F'''( ) F'''( m)] [ F ( ) F ( m)] vii vii p Bp (p ) (p )..[ F ( ) F ( m)]... + ( ) [ F ( ) F ( m)] } ( p)! () C sarà una costante numerica se d d (p ) lim [( ) f( ) = ] d d [( p+ ) ] lim [( ) f( ) = d] e d è un numero reale, anche se in genere vale ero. Infatti in questo caso i termini della Eulero-MacLaurin dopo la derivata (p ) esima, al limite per sono nulli o di valore costante. Ecco dunque perché nella () sono assenti alcuni termini rispetto all'algoritmo originale di Eulero-MacLaurin. Dopo aver sostituito alla variabile nella () si ottiene: C = lim [ F( ) + + F( ) d F( ) F '( ) F '''( ) 0 70 = m B ( p)! v vii p p (p ) F ( ) + F ( ) ( ) F ( ) ] () Il numero m può essere preso a piacere (esso influena solo il valore numerico della costante). Sulla () si può effettuare un ulteriore semplificaione, togliendo nell integrale e in ogni funione derivata, la parte numerica che non dipende dalla variabile. Con il simbolo f () si intende indicare che dalla funione f () si prendono solo i monomi contenenti la variabile, e si escludono i monomi contenenti la parte numerica(a,b,c,..).

3 3 Avremo dunque C = lim [ F( ) + + F( ) d F( ) F '( ) F '''( ) 0 70 = m v vii p Bp (p ) F ( ) + F ( ) ( ) F ( ) ] ( p)! (3) Ad esempio presa la funione F( ) = a + b la sua serie lim ( ) a + b è divergente per b >. a Calcolando la (3) si ha = 0 5 (3a 4ab + 8 b ) a + b 6b ( ) d = = a + b 5a 5a (3a 4ab + 8 b) a + b.. = 3 5a F ( ) = a + b (3a + 4 b) F'( ) = 3 4 ( a + b) essendo il limite della derivata tera pari a ero: 3 aa ( + 4ab + 8 b) lim [ F'''( )] = lim [ ] = ( a + b) sarà quindi p =. La funione (3a 4ab + 8 b ) a + b (3a + 4 b) lim [ ( ) ] 3 3 = m a + b 5a a + b 4 ( a + b) b per ogni valore di (a,b) con ( m > ) genera perciò costanti. a Ad esempio per [ a = b = 3 m = ] ( 4 + 7) + 3 ( + ) lim ( ) =, ( + 3)

4 4 Data una serie divergente di una funione F( ) continua e derivabile più volte, dalla (3) si può ricavare la Funione Equivalente Della Serie v lim [ F( ) = F( ) d F( ) F '( ) F '''( ) F ( ) = m B ( p)! vii p p (p ) F ( ) ( ) F ( ) + C (4) ] Si presentano però tre casi: ) La serie in oggetto è perfetta ( C = 0), e in questo caso esiste una funione con un numero finito di monomi, che eguaglia perfettamente la serie, come ad esempio (+ )( + ) lim ( n ) = 6 n= ) La serie in oggetto è speciale, come lim ( ) log(n) n = in questo caso non si ha una funione equivalente alla serie, che sia composta da un numero finito di monomi (ma una funione equivalente composta da un numero illimitato di essi). Queste serie sono molto rare. 3 ) La serie in oggetto è imperfetta (caso più diffuso), per cui si può applicare la (4). Si osserva poi, che la costante C può essere calcolata sena utiliare le serie, attraverso una funione diversa dalla (3), la quale si calcola come limite per, e il cui sviluppo (escluse le serie speciali) richiede un numero finito di monomi. Per i pochi casi che ho studiato (serie di fraioni polinomiali) C è funione di ψ (digamma). Possiamo chiamare Funione Antagonista della serie in oggetto la funione equivalente mancante della relativa costante. Nel caso in cui la serie sia perfetta, la funione antagonista coincide con la funione equivalente della serie. La funione antagonista delle serie imperfette, per sua natura tende ad essere il più possibile uguale alla serie in oggetto, e il risultato della "scontro" fra queste due funioni (più precisamente la loro differena), sono le costanti; per cui è facile capire che il valore di queste ruota intorno allo ero, e quindi le costanti matematiche in genere hanno un piccolo valore numerico (o meglio ancora la loro media). Ad esempio: C = lim ( ) + ln() = 0,

5 5 Questa costante si ottiene risolvendo l'equaione C c + c c cd cd = lim [ ( ) + ln() ] = d + d0 d d (5) nelle incognite( c, c0, d, d 0). La soluione è facile se si conosce la funione equivalente alla (5): che in questo caso è C cd 0 cd 0 d0 = ψ( + ) d d Da questa uguagliana ponendo C = 0 si ricavano facilmente le due soluioni. Se fosse possibile calcolare la funione equivalente alla (3) di ogni generica funione, le equaioni contenenti serie, non presenterebbero grandi difficoltà di risoluione. Anche le produttorie divergenti possono avere una funione antagonista, e una costante a loro associata, ma se anche ciò è possibile il loro calcolo è in genere complesso. Abbiamo però un caso particolare di produttoria per la quale è abbastana facile calcolare la funione antagonista e la relativa costante: lim log{ = m [f()]} Infatti poiché vale l'uguagliana lim log{ [f()]} = lim {log[f()]} = m = m lo studio di questa produttoria di f(), si può ricondurre allo studio della sommatoria del logaritmo della stessa funione. Anche gli integrali impropri divergenti, hanno una funione antagonista, una funione equivalente e una costante associata. Questi si possono classificare in perfetti, speciali e imperfetti come le serie. Vediamo ad esempio la funione equivalente all'integrale di una fraione, al cui numeratore vi sia un polinomio di tero grado e al denominatore un polinomio di secondo grado: 3 c 3 + c + c + c0 c3 cd cd 3 cd + cd 3 ddc 0 3 cdd d = + + = lim [ + ( ) log C ] d + d + d d d d [ c3 0 d 0 d + d + d 0 0] C è funione di ( c3, c, c, c0, d, d, d 0) Ad esempio C = lim + = ( ) d log, =

6 6 Alcuni risultati interessanti sulle serie divergenti ottenuti nel C = lim ( ) ( + ) a + b + a( + ) C = lim ( a + b) a + b a ( + ) = 0 a + C a a a a - = lim ( ) + = 0 a ( ) a - - ln( ) C = lim [ ψ( a)] ln[( a )!] ln( ) a C = lim [ ] [ln( )] = 0, C = lim [ a] a ln( a) gln( ) C = lim [ ] Da questa si traggono i valori fraionari della funione Zeta di Riemann. Ad esempio ζ ( / 5) = lim [ ] = 0, C = lim [ ] ln( ) e C = lim { ( ) [ln( )] } [ln( )] = C = lim { ( ) }

7 ! C = j j + lim { [ln( )] } [( ) [ln( )] ] [ln( )] ( )! = j = 0 ( j)! p/ p/ [ln( )] [ln( )] C = lim { } [ln( ) + p + ] ( p + ) = 7 C lim [ln( )] [4(6 6 )][ln( )] 4 [ln( )].. = { } = 48!! + + j j ( ) + {( ) [ln( )] } j 3 j = ( j)! j [ln( )]!( s ) j { } { { + { } }} s = ( s ) j = 0 ( j)! C = lim + [ln( )]! per s > [ ] t j = ( j + s) s = 0 tt! = per t = si ricava la nota serie di Mengoli ln lim [ ] = 0, Fibonacci() φ, dove φ è il rapporto aureo, e,0.. una costante che si ricava dai numeri di Fibonacci. ( + )( + )(3 + ) lim [ ] = 0, sin( ) 3 ( + )( ) 4 lim [ cos( )cos( )] ln( ) = 0, ( + )(3 + 3 ) lim [ ] ln( ) = 0, tan( ) ( + )( ) lim [ sinh( )] ln( ) = 0, g

8 ( ) lim { } + ln( ) = 0, [tanh( )] 8 c + c + c + c + c+ c c cd c(d 3 d) C = lim ( ) d + d + d0 4d 6d 3 c5[ d d( d+ d0) + d ] + d[ c4( d d) + c3d] c5[ d ( d+ 3 d0) 3 dd( d+ 4 d0) + 6 d ] d 6d { d c4[ d 3 d( d+ d0) + 6 d ] + 3 d[ c3( d d) + cd] c5( d d0 3 dd d0 + d 4 ) log.. 6d d { d c4d( dd0 d ) d[ c3( dd0 d )] + d( cd cd) } 5 log d } [ c5 0 d 0 d + d + d 0 0] es: C = lim ( ) log = = 0, e moltissime altre costanti (più di 5000) che descriverò nel tempo sul mio sito internet. Con affetto Magri Zino Edoardo