Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3d

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1 Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3d Soluioni di problemi elettrostatici I problemi elettrostatici riguardano lo studio degli effetti delle cariche elettriche fisse. I principi dei campi elettrostatici possono essere applicati in differenti modi, in base ai dati iniialmente noti. La risoluione di tali problemi richiede la determinaione: del poteniale elettrico ; della intensità del campo elettrico E e/o della distribuione delle cariche elettriche ρ. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 1

2 Se è nota la distribuione delle cariche elettriche possono essere determinati sia il poteniale elettrico, che l intensità del campo elettrico. In diversi problemi pratici non è nota l esatta distribuione delle cariche e le formule studiate per determinare queste grandee non possono essere applicate in maniera diretta. Esistono diversi metodi di risoluione per risolvere i problemi pratici elettrostatici, come: Il metodo delle immagini; Il metodo della separaione delle variabili; Metodi di trasformaione; Metodi numerici. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c

3 Equaione di Laplace e di Poisson Le due equaioni fondamentali della elettrostatica valide per ogni meo sono: D = ρ E = 0 e per la irrotaionalità del vettore campo elettrico, si può definire un poteniale elettrico tale che: E = In un meo isotropo e lineare: D = εe D = ρ ( ε ) = -ρ Da cui sostituendo nella relaione precedente si ha: ρ = essa è l espressione della equaione di Poisson e ε è l operatore Laplaciano, che equivale alla: divergena del gradiente di M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 3

4 M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 4 La risoluione della equaione di Poisson comporta la risoluione di una equaione di secondo grado alle derivate pariali calcolabile in ogni punto dello spaio, dove esiste la derivata di secondo ordine. In coordinate cartesiane: che diventa: = = = a y a a a y a a y y ε ρ = m ε ρ y

5 M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 5 In coordinate cilindriche: In coordinate sferiche: Nei punti di un meo semplice nei quali non è presente alcuna carica ossia: ρ = 0, l equaione di Poisson si riduce alla Equaione di Laplace: Con questa equaione è possibile risolvere problemi inerenti un insieme di conduttori mantenuti a poteniali diversi (condensatori). r 1 r r r 1 = φ sin R 1 sin sin R 1 R R R R 1 φ θ θ θ θ θ = 0 =

6 Unicità delle soluioni elettrostatiche In molti casi semplici si ottiene la soluione dei problemi elettrostatici attraverso l integraione diretta delle equaioni di Laplace o di Poisson. Nei casi più complicati possono essere usati altri metodi di risoluione. Teorema della unicità La soluione della equaione di Poisson (o per il caso particolare di Laplace) che soddisfa le condiioni al contorno date, è unica. Su questa asserione si basano diversi metodi di risoluione dei problemi elettrostatici. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 6

7 Inoltre poiché le superfici equipoteniali sono perpendicolari alle superfici equiflusso, si può applicare ai campi il principio di dualità: Se un campo ha come superfici equipotenali le superfici che sono equiflusso per un secondo campo, come conseguena diretta le equipoteniali di questo secondo campo risultano le equiflusso del primo. Ciò consente di applicare direttamente i risultati ricavati per una certa configuraione ( per esempio con il contorno formato da equipoteniali), ad una configuarione duale (con lo stesso contorno formato da equiflusso). M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 7

8 In diversi problemi le condiioni al contorno da soddisfare per risolvere direttamente le equaioni di Poisson e o di Laplace sono difficili da definire. Ma è possibile che le condiioni sulle superfici di contorno possano essere stabilite attraverso delle opportune cariche immagine equivalenti e le distribuioni del poteniale possa possano essere determinate in maniera semplice. Questo metodo è il metodo delle immagini e può essere usato per ottenere soluioni di problemi facili, per lo studio di campi in regioni spaiali delimitate da contorni rettilinei o circolari. In particolare il metodo si presta bene nel caso di cariche isolate. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 8

9 Si consideri il caso di una carica positiva Q, posta alla distana d al di sopra di un piano conduttore collegato a terra (a poteniale ero): y Q(0,d,0) Piano conduttore collegato a terra a poteniale ero Si voglia determinare il poteniale in ogni punto al di sopra del piano conduttore. Con la procedura formale occorre risolvere l equaione di Laplace in coordinate cartesiane: = y = 0 M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 9

10 La soluione (,y,) deve soddisfare le seguenti condiioni: In tutti i punti del piano collegato a terra il poteniale deve essere uguale a ero: (,0,)=0. Nei punti prossimi a Q il poteniale tende a quello della sola carica puntiforme (R è la distana da Q ): Q, come R 0, 4π ε or Nel punto molto lontano da Q ( ±, y, ± ) il poteniale tende a ero. La funione poteniale è pari rispetto alle coordinate e, cioè: (,y,)=(-,y,) e (,y,)=(,y,-). Una soluione che soddisfi queste condiioni non è immediata. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 10

11 Per giungere alla soluione si può ragionare nel seguente modo: la carica Q per y = d, indurrebbe cariche negative sulla superficie del conduttore piano, con una distribuione di carica superficiale ρ S. Il poteniale nei punti che stanno al disopra del piano conduttore applicando il principio di sovrapposiione degli effetti sarà: (, y,) = 4πε o Q (y d) 1 4πε o ρ R S S 1 ds dove il secondo addendo tiene conto della densità di carica superficiale sul piano conduttore, R 1 é la distana del punto in consideraione dalla superficie elementare ds. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 11

12 L integrale superficiale contenuto nella formula precedente può essere risolto solo se si conosce con esattea la distribuione della carica sulla superficie del piano conduttore. La condiione di poteniale nullo sul piano è soddisfatta se invece del piano conduttore si pone in y=-d una carica immagine uguale e opposta: y P(,y,) R Q R - o d -d -Q M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 1

13 Il poteniale in un punto P qualsiasi è così dato: (, y,) = 4πε o Q (y d) 4πε o Q (y d) Questa relaione soddisfa la condiione di poteniale nullo lungo il piano y=0, e fornisce il poteniale in ogni punto al di sopra del piano. L espressione non è valida per y<0, poiché all interno del conduttore il poteniale deve essere ovunque ero. Se il piano è a poteniale diverso da ero, il valore di tale poteniale costante viene aggiunto a quello ottenuto con l immagine di Q e la relaione fornisce così l espressione del poteniale in ogni punto per y>0. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 13

14 Da questo esempio si vede come il metodo delle immagini consente di semplificare notevolmente questo tipo di problemi. Tale metodo facilita lo studio di campi prodotti in un meo con costanti dielettriche diverse, riconducendolo allo studio di campi in mei omogenei. Per applicarlo si definisce una configuraione di cariche che non è quella reale, ma tale da produrre lo stesso effetto relativo alla configuraione reale. L entità e la distribuione delle cariche virtuali devono soddisfare la legge della rifraione: tan gα 1 ε = 1 tan gα ε in corrispondena delle superfici di separaione dei dielettrici. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 14

15 Per comprendere la potenialità di questo metodo si consideri il campo prodotto da una carica elettrica Q, posta nel punto P di un meo 1 a costante dielettrica ε 1, separato da una superficie piana, da un meo con permettività ε. Lo studio di questo caso elementare si potrà estendere a un numero di cariche n. Q P a E α 1 1 ε 1 ε α E Su tale superficie per la legge della rifraione si ha: tan g tan gα α 1 = ε1 ε M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 15

16 Si possono verificare i seguenti casi: a) se ε1 / ε = 0 il campo è normale alla superficie dal lato del meo e questa è equipoteniale: b) se ε 1 / ε = il campo è tangente (radente) alla superficie dal lato del meo 1 e questa è una superficie equiflusso. Il campo nel meo 1 risulta univocamente determinato da queste condiioni al contorno e non si altera se si sostituisce nel meo una disposiione di cariche, che conservi per la superficie di separaione la condiione di equipotenialità ( o equiflusso), ponendo in P, punto immagine del punto P rispetto alla superficie di separaione una carica: Q se la superficie deve risultare equipoteniale e Q se deve risultare equiflusso. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 16

17 c) Nel caso generico in cui la superficie di separaione non è ne equipoteniale, ne equiflusso e si comporta nei riguardi della carica Q, come una superficie parialmente riflettente; ε1 /ε 0 e ε1 /ε si può dimostrare che la legge della rifraione risulta soddisfatta se il campo nel meo 1 è rappresentato dal campo, in un meo omogeneo comprendente tutto lo spaio, con costante dielettrica ε 1, dovuto: alla carica Q e ε1 ε alla carica Q = Q posta nel punto P, immagine di P e ε1 ε M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 17

18 il campo nel meo è rappresentato dal campo in un meo omogeneo, comprendente tutto lo spaio, con costante dielettrica ε, dovuto ad una carica: ε Q" = Q posta nel punto P. ε 1 ε Q Q Q E 1 a P P a Q 4πε 1r Q' P E 4πε ε 1 ε 1r ε ε 1 = Q" 4πε r M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 18

19 Queste cariche sono infatti quelle che danno, per ogni punto della superficie di separaione, indipendentemente dalla sua posiione, i valori di D e di E che soddisfano alle leggi della rifraione. Dalle seguenti consideraioni si deduce inoltre come: il principio delle immagini consente quindi di ridurre lo studio di alcuni tipi di campi in mei con costante dielettrica diversa, allo studio di campi in mei omogenei. In tale modo si riconduce la soluione di un problema a quella relativa a un problema più semplice con risoluione nota. M. Usai Ingegneria dei Sistemi Elettrici_3c 19