f(x) = x3 2x 2x 2 4x x 2 x 3 2x 2x 2 4x =, lim lim 2x 2 4x = +. lim Per ricavare gli asintoti obliqui, essendo lim

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1 Esercizi 0//04 - Analisi I - Ingegneria Edile Architettura Esercizio. Studiare la seguente funzione e disegnarne il graco. Soluzione: f(x) = x3 x x 4x La funzione è denita dove il denominatore risulta diverso da zero, ovvero x 4x 0, ovvero per x e x 0. Il campo di esistenza risulta: D = {x R x, x 0} La funzione è una funzione razionale con numeratore di grado 3 e denominatore di grado. I coecienti principali sono positivi, quindi x x + x x 3 x x 4x =, x 3 x x 4x = +. x 3 x x 4x = +. Da quest'ultimo ricaviamo che x = è un asintoto verticale della funzione. Per ricavare gli asintoti obliqui, essendo x x 3 x x 4x = è necessario prima calcolare i coecienti m e q per ottenere l'equazione dell'asintoto obliquo, y = mx + q: q = m = f(x) x + x = x 3 x x x(x 4x) = f(x) mx = x + x L'asintoto obliquo è unico ed è pari a: y = x + x 3 x x 4x x = Il graco di f(x) interseca l'asintoto se e solo se x 3 x x 4x = x +, x = 4x,

2 ovvero per x = 0. Inoltre, essendo x 3 + 0x x + > x + x > il graco sta sopra l'asintoto per x > e sotto per x <. Calcolando le prime due derivate otteniamo f (x) = x 4x + (x ), f (x) = (x ) 3. Il segno di f (x) è quello del numeratore x 4x + essendo il denominatore sempre positivo. sviluppando il delta: Calcoliamo i punti di annullamento della derivata prima x 4x + = 0 x = 4 ± 6 4 = ± In conclusione, f (x) > 0 x (, ) ( +, + ). I punti ( ) e ( + ) sono rispettivamente i punti massimo relativo e di minimo relativo : f( ) = ( ), f( + ) = + esso. La derivata seconda non si annulla perciò non sono presenti punti di

3 Figura : Il graco di f(x) = x3 x x 4x 3

4 Esercizio. Studiare la seguente funzione e disegnarne il graco. Soluzione: f(x) = xe ln x Per ricavare il dominio della funzione, imponiamo le condizioni di esistenza del logaritmo e della frazione: { x > 0 Per cui il dominio risulta: ln(x) 0 x D = {x R x > 0, x } Inoltre la funzione non è ne pari ne dispari, questo si può ricavare anche dalla non simmetria del dominio di esistenza. Proseguiamo cercando il segno della funzione: la funzione è sempre positiva essendo prodotto di due funzioni positive nel campo di esistenza individuato, ovvero per x > 0. Calcoliamo i iti negli estremi del dominio: +, e 0. xe ln x = 0 x 0 + xe ln x = 0 x xe ln x = + x + xe ln x = + x + Calcoliamo ora la derivata prima della funzione per studiare la presenza di minimi e massimi: f (x) = e ln x + xe ln x E vediamo dove si annulla: ( ) x ln = e ln x (ln (x) ) (x) ln (x) f (x) = 0 ln (x) = 0 ln (x) = ln(x) = ± x = e, x = e Entrambi i punti di nullo della derivata prima appartengono al campo di esistenza della funzione. Per determinare se sono massimi o minimi, studiamo il segno di f (x): f (x) > 0 ln (x) > 0 ln (x) > ln(x) < ln(x) > 4

5 Per cui f (x): { ln(x) < x < e ln(x) > x > e è positiva (e quindi la funzione è crescente) in (0, e ) (e, + ); è negativa (e quindi la funzione è decrescente) in (e, ) (, e). Di conseguenza: x = e è un punto di massimo relativo f(e ) = e e e e = e ; ln(e ) = x = e è un punto di minimo relativo f(e) = ee ln(e) = ee = e ; Studiamo ora la derivata seconda: f (x) = e ln x ( + ln(x) ln (x)) x ln 4 (x) Nel dominio di f(x) sia il denominatore sia il termine e ln x sono positivi, perciò è suciente studiare il segno e l'annullarsi di ( + ln(x) ln (x)). Cerchiamo i punti di esso potenziali, ovvero i punti di annullamento di f (x): + ln(x) ln (x) = 0 Poniamo per semplicità t = ln(x) e riscriviamo la precedente equazione: + t t = 0 t t = 0 Le cui soluzioni sono: { t = = ln(x ) x = e t = + = ln(x ) x = e + Per sapere se questi punti sono punti di esso, studiamo il segno di f (x), sempre mantenendo t = ln(x): f (x) > 0 + ln(x) ln (x) > 0 ln(x)+ln (x) < 0 t t < 0 Da cui, dalle soluzioni prima trovate: < t < + e < x < e + Da questo insieme di soluzioni è necessario togliere x = essendo non parte del dominio di f(x), per cui f (x) è positiva per: e < x < < x < e + Per cui la funzione è convessa in (e, ) (, e + ) e concava altrove. I punti x F = e e xf = e + sono punti di esso, ovvero di cambio di concavità della funzione. 5

6 Figura : Il graco di f(x) = xe ln x 6

7 Esercizio 3. Studiare e disegnare il graco della seguente funzione. f(x) = log( x x ) Soluzione: La funzione risulta denita quando l'argomento del logaritmo è maggiore di zero: dalla quale risulta x x > 0 x x < x <, x In particolare, studiando il segno dell'argomento del modulo, la funzione può essere così descritta: f(x) = log( x x ) : log( x ), x 0 log( x x ), 0 < x < Valutiamo ora i iti in corrispondenza degli estremi del dominio di denizione, al ne di mettere in evidenza eventuali asintoti: ( ) x log = x x per cui x=/ è un asintoto verticale. ( ) log = x x Non vi sono asintoti orizzontali. Si può controllare l'eventuale presenza di asintoti obliqui, calcolando il coeciente angolare: ( ) m = x x log = 0 x da cui si deduce che non ci sono asintoti obliqui. Deriviamo: f (x) = x, x < 0. 7

8 f (x) = (x ), x < 0. Analizzando la derivata prima, si nota che non vi sono punti stazionari. In particolare, la derivata prima risulta sempre positiva e pertanto per x<0 la funzione è sempre crescente. Osservando la derivata seconda, è sempre positiva (non ci sono punti di esso), e la funzione così risulta convessa. Per 0 < x < / abbiamo f (x) = f (x) = (x )(x ), 0 < x < /. 4x 3 (x ) (x ), 0 < x < /. Osservando la derivata prima, essa non si annulla, non ci sono quindi punti stazionari. Nell'intervallo considerato, valutando il segno della derivata prima, la funzione è sempre decrescente, tendente a meno innito. Dallo studio della derivata seconda emerge che essa è sempre negativa, ottenendo una funzione concava. Il punto zero è un punto di non derivabilità. Si possono valutare i iti: x 0 + (x )(x ) = x 0 Il punto zero è un punto angoloso. x = 8

9 Esercizio 4. Studiare e disegnare il graco della seguente funzione. ( ) f(x) = arctan(sin x) + arctan sin x Soluzione: Il campo di esistenza di f(x) è E = {x R : sin x 0} = {x R : x kπ, k Z}. Essendo dispari sia sin che arctan, la f(x) è a sua volta dispari. Inoltre è π-periodica. Per la periodicità e la disparità è suciente studiare il graco nell'intervallo ( π, π). La funzione assegnata si ottiene componendo le due funzioni g(u) = sin u, h(v) = arctan v + arctan v, ovvero f(x) = h(g(x)). Calcoliamo la derivata della seconda funzione h (v) = + v + v + = + v v v = v + + v + v = 0. v Per il teorema di derivazione composta, la funzione composta ha derivata 0 nei punti in cui è derivabile, ovvero in tutto E. Questo dimostra che la f(x) è costante in ogni intervallo in cui è denita. Nell'intervallo ( π, π) c'è un solo punto in cui la f(x) non è denita, l'origine, quindi f(x) assume al massimo due valori distinti, nei due intervalli ( π, 0) e (0, π). Per determinarli calcoliamo il valore di f(x) in un punto di (0, π): ( ) ( π ) ( ( π )) f = arctan sin + arctan sin ( ) π = ( ) arctan () + arctan = π 4 + π 4 = π. Concludendo, f(x) = π, per x ( π, 0), f(x) = π, per x (0, π). 9

10 Figura 3: Il graco di f(x) = log( x x ) Figura 4: Il graco di f(x) = arctan(sin x) + arctan ( ) sin x 0

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno),

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