Anno 5 Asintoti di una funzione

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Anno 5 Asintoti di una funzione"

Transcript

1 Anno 5 Asintoti di una unzione 1

2 Introduzione In questa lezione impareremo a deinire e ricercare gli asintoti. Ma cosa sono gli asintoti? Come si ricercano? Al termine di questa lezione sarai in grado di: l l l l deinire il concetto di asintoto di una unzione descrivere e ricercare l'asintoto verticale di una unzione descrivere e ricercare l'asintoto orizzontale di una unzione descrivere e ricercare l'asintoto obliquo di una unzione In questa lezione impareremo a deinire e ricercare gli asintoti. Ma cosa sono gli asintoti? Come si ricercano? Alla ine di questa lezione sarai in grado di: deinire il concetto di asintoto di una unzione; descrivere e ricercare l'asintoto verticale di una unzione; descrivere e ricercare l'asintoto orizzontale di una unzione; descrivere e ricercare l'asintoto obliquo di una unzione.

3 Gli asintoti La parola asintoto deriva dal greco e vuol dire che non tocca. Si dice che una unzione di equazione y = () ammette la retta r come asintoto se la distanza del generico punto P della unzione dalla retta r tende ad annullarsi. Un asintoto può essere di tre tipi: Verticale Orizzontale Obliquo y = m + q = h y = k Innanzitutto, introduciamo il concetto di asintoto di una unzione. Asintoto è una parola che deriva dal greco: che signiica che non tocca. In termini più ormali si dice che una unzione di equazione y=() ammette la retta r come asintoto se la distanza del generico punto P della curva dalla retta r tende ad annullarsi. Possono presentarsi tre tipi di asintoti: verticale: quando la unzione tende all'ininito avvicinandosi ad una retta verticale, cioè del tipo =h; orizzontale: quando la unzione tende ad una retta orizzontale, cioè del tipo y=k, per che tende a più ininito o meno ininito; obliquo: quando la unzione tende all'ininito avvicinandosi ad una retta obliqua, cioè a una retta del tipo y=m+q. 3

4 Asintoto Verticale Si dice che la retta = h è asintoto verticale per la unzione se: + h ( ) = + ( ) oppure se: h ( ) = + ( ) La unzione avrà valore ininito in un punto in cui non è deinita oppure dove non risulta continua. Esempio: Determinare l asintoto verticale della unzione: 3 = = y = 1 La unzione non è deinita nel punto =1, allora calcoliamo il ite destro e sinistro L asintoto verticale è =1 Formalizziamo la deinizione di asintoto verticale. Una unzione y=() ha un asintoto verticale di equazione =h quando h+ ()=+ a - ppure quando h- ()=+ a - Ne deriva che la unzione potrà avere valore ininito dove la unzione non è deinita, cioè per valori non appartenenti al dominio, oppure in punti in cui non risulta continua. Se una unzione non presenta discontinuità e non esistono punti in cui non è deinita, non potrà avere asintoti verticali. Analizziamo il seguente esempio. Si vuole trovare l asintoto verticale della unzione y=3/(-1) Il dominio è tutto R escluso il punto di =1 pertanto occorre veriicare in tale punto la presenza dell asintoto verticale. Calcoliamo il ite destro e sinistro della unzione nel punto 1. Si ottiene che il ite sinistro tende a - ed il ite destro tende a + La retta di equazione =1 è dunque un asintoto verticale. Il graico mostra come la unzione si avvicina a - sinistra e a + destra dell asintoto. 4

5 Asintoto Orizzontale Si dice che la retta y = k è asintoto orizzontale per la unzione se: ( ) = k oppure se: ( ) = k La unzione potrà avere un asintoto orizzontale soltanto se deinita in un intervallo ilitato. Esempio: Determinare l asintoto orizzontale della unzione: y = e Calcoliamo i iti, per e = + e = 0 L asintoto orizzontale sinistro è y = 0. Una unzione può ammettere al massimo due asintoti orizzontali: ( ) = k1 ; ( ) = k e k1 k Diamo adesso la deinizione di asintoto orizzontale. Una unzione y=() ha un asintoto orizzontale di equazione y=k quando: ()=k oppure se: - ()=k. [] Osserviamo che la unzione () potrà avere un asintoto orizzontale soltanto se deinita in un intervallo ilitato. [3] Vediamo nel seguente esempio come determinare l asintoto orizzontale della unzione y=e. [4] Sappiamo che la unzione e è deinita in tutto R, quindi possiamo calcolare i iti per che tende a + a - Dai calcoli eettuati si ottiene che la retta y=0 è un asintoto orizzontale sinistro. Osserviamo inine che una unzione può ammettere al massimo due asintoti orizzontali; questo accade quando i iti della unzione per + per - sono entrambi initi e diversi tra loro. 5

6 Asintoto Obliquo Sia una unzione deinita in un intervallo ilitato e tale che: ( ) = + ( ) Si dice che la retta y = m + q, con m 0, è asintoto obliquo per la unzione se: ( ) ( ) = q = m e ( ) m Esempio: Determinare l asintoto obliquo della unzione:. L asintoto obliquo ha equazione y = y = Calcoliamo il ite del rapporto ()/ per = = 3 Calcoliamo il ite della dierenza () 3 per = 1 3 = 0 Vediamo inine la deinizione di asintoto obliquo. Sia una unzione deinita in un intervallo ilitato e tale che: + ()=+ o -. Si dice che la unzione ha un asintoto obliquo di equazione y=m+q con m 0 quando esistono initi i due iti + ()/=m e (()-m)=q. La deinizione è analoga se si considera il - ()=+ o a -. Come esempio determiniamo l asintoto obliquo della unzione y=3-1/. Calcoliamo il ite del rapporto ()/ per che tende a +. Poiché questo è inito ed è uguale a 3, possiamo calcolare il + () 3. Ricaviamo quindi che q=0. La unzione ha cioè un asintoto obliquo di equazione y=3. È acile veriicare che i calcoli svolti sono validi anche - quindi la retta y=3 è un asintoto obliquo anche per che tende a -. 6

7 Ricerca degli asintoti Esempio: 4 Calcolare gli eventuali asintoti della unzione: y = + 1 La unzione non è deinita per = Calcoliamo i iti: = = La unzione ha asintoto verticale di equazione: = 1. 4 Calcoliamo il ite: = ± ± + 1 non esiste asintoto orizzontale Calcoliamo i iti: = = 1 = m = = 1 = q La unzione ha un asintoto obliquo di equazione y = 1. Vediamo con un esempio come procedere per determinare gli asintoti di una unzione. Si vogliono determinare gli asintoti della unzione y=( -4)/(+1). La unzione non è deinita per =-1, quindi in questo punto cerchiamo l asintoto verticale, calcolando il ite destro e sinistro della unzione nel punto =-1. Entrambi i iti sono ininiti quindi la unzione ha un asintoto verticale di equazione =-1. Poiché la unzione è deinita in intervalli ilitati occorre veriicare la presenza di asintoti orizzontali o obliqui. Calcoliamo il ite per che tende a ininito della unzione. Poiché tale ite è ininito la unzione non ha asintoto orizzontale. Veriichiamo inine la presenza dell asintoto obliquo calcolando il + ()/. Questo risulta essere uguale a 1 per cui l asintoto obliquo esiste e ha coeiciente angolare m=1. Calcoliamo il + ()-m. Questo è uguale a -1, pertanto la unzione ha un asintoto obliquo di equazione y=-1. 7

8 Conclusione Asintoto Verticale Orizzontale Obliquo In questa lezione abbiamo deinito il concetto di asintoto per una unzione, cioè di quelle rette a cui si avvicina indeinitamente la unzione senza mai toccarle. Abbiamo introdotto i diversi tipi di asintoto. Si ha un asintoto verticale, cioè una retta di equazione =h, quando h ()=± si ha un asintoto orizzontale, cioè una retta di equazione y=k, quando ± ()=k e inine, si ha un asintoto obliquo, cioè una retta di equazione y=m+q, con m 0, quando esistono initi i due iti + ()/=m e (()-m)=q. 8

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Lo studio di unzione Ing. Alessandro Pochì Appunti di analisi Matematica per la Classe VD (a.s. 011/01) Schema generale per lo studio di una unzione Premessa Per Studio unzione si intende, generalmente,

Dettagli

( ) ( ) Verifica di matematica classe 5 a A LST

( ) ( ) Verifica di matematica classe 5 a A LST Verifica di matematica classe 5 a A LST - Dopo aver dato le definizioni di asintoto orizzontale, verticale ed obliquo, determina il Dominio e scrivi le equazioni degli asintoti della seguente funzione.

Dettagli

G3. Asintoti e continuità

G3. Asintoti e continuità G3 Asintoti e continuità Un asintoto è una retta a cui la funzione si avvicina sempre di più senza mai toccarla Non è la definizione formale, ma sicuramente serve per capire il concetto di asintoto Nei

Dettagli

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + + Definizione: dato

Dettagli

Anno 4 Grafico di funzione

Anno 4 Grafico di funzione Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che

Dettagli

Le derivate versione 4

Le derivate versione 4 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta

Dettagli

Studio di una funzione ad una variabile

Studio di una funzione ad una variabile Studio di una funzione ad una variabile Lo studio di una funzione ad una variabile ha come scopo ultimo quello di pervenire a un grafico della funzione assegnata. Questo grafico non dovrà essere preciso

Dettagli

Vademecum studio funzione

Vademecum studio funzione Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla

Dettagli

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Roberto Boggiani Versione 4.0 9 dicembre 2003 1 Esempi che inducono al concetto di ite Per introdurre il concetto di ite consideriamo i seguenti

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

G6. Studio di funzione

G6. Studio di funzione G6 Studio di funzione G6 Come tracciare il grafico di una funzione data Nei capitoli precedenti si sono svolti tutti gli argomenti necessari per tracciare il grafico di una funzione In questo capitolo

Dettagli

LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. b) lim. d) lim. h) lim x x + 1 x. l) lim. b) lim x cos x. x 0 sin 2 3x cos x p) lim.

LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. b) lim. d) lim. h) lim x x + 1 x. l) lim. b) lim x cos x. x 0 sin 2 3x cos x p) lim. LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. Calcolare i seguenti iti: a + 4 + b + 4 + 4 c 5 e ± g i + + sin 4 m sin o π q sin π + 4 + 7 d + 4 + + 5 4 + f 4 4 + 5 4 + 4 h + + l + + cos n sin cos p π π +

Dettagli

Svolgimento 1 Scriviamo la funzione f(x) che rappresenta la spesa totale in un mese: Figura 2 Il grafico di f(x).

Svolgimento 1 Scriviamo la funzione f(x) che rappresenta la spesa totale in un mese: Figura 2 Il grafico di f(x). Problema 1 Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di euro al mese, più centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con

Dettagli

Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico e Scientifico opzione scienze applicate Tema di matematica

Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico e Scientifico opzione scienze applicate Tema di matematica wwwmatematicamenteit maturità 5 Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientiico e Scientiico opzione scienze applicate Tema di matematica Il candidato risolva uno dei due problemi

Dettagli

3. Quale affermazione è falsa?

3. Quale affermazione è falsa? 1. Quale affermazione è falsa? Se la funzione f) è continua e monotona crescente su R e se f) = 1 e f4) =, allora ha un unico zero nell intervallo, 4) f) non si annulla mai in R f ) > nell intervallo,

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere)

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere) Che cos è una funzione? Assegnati due insiemi X e Y si ha una funzione elemento di X uno e un solo elemento di Y. f : X Y se esiste una corrispondenza che associa ad ogni Osservazioni: l insieme X è detto

Dettagli

ASINTOTI. Si chiama ASINTOTO di una funzione una retta alla quale la funzione si avvicina senza mai toccarla.

ASINTOTI. Si chiama ASINTOTO di una funzione una retta alla quale la funzione si avvicina senza mai toccarla. ASINTOTI Si chiama ASINTOTO di una funzione una retta alla quale la funzione si avvicina senza mai toccarla. Ad esempio: La funzione y=e x ha un asintoto orizzontale: l asse x, cioè la retta y=0. La funzione

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile 1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile Considerazioni introduttive Consideriamo la funzione f() = sin il cui dominio naturale è

Dettagli

Funzioni continue. ) della funzione calcolata in x 0, ovvero:

Funzioni continue. ) della funzione calcolata in x 0, ovvero: Funzioni continue Dal punto di vista intuitivo dire che una funzione è continua in un intervallo è come dire che nel disegnare il suo grafico non stacchiamo mai la penna dal foglio. Scriviamo adesso la

Dettagli

Funzioni esponenziali e logaritmiche. Mauro Saita. e-mail maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Febbraio 2014

Funzioni esponenziali e logaritmiche. Mauro Saita. e-mail maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Febbraio 2014 Funzioni esponenziali e logaritmiche. Mauro Saita. e-mail maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Febbraio 2014 Indice 1 Esponenziali 1 1.1 Funzioni esponenziali con dominio Z.......................

Dettagli

La f(x) dovrà rimanere all interno di questo intorno quando la x è all interno di un intorno di x 0, cioè I(x 0 ), cioè:

La f(x) dovrà rimanere all interno di questo intorno quando la x è all interno di un intorno di x 0, cioè I(x 0 ), cioè: 1 Limiti Roberto Petroni, 2011 Possiamo introdurre intuitivamente il concetto di limite dicendo che quanto più la x si avvicina ad un dato valore x 0 tanto più la f(x) si avvicina ad un valore l detto

Dettagli

Chi non risolve esercizi non impara la matematica.

Chi non risolve esercizi non impara la matematica. 6 iti Per ricercare gli eventuali asintoti verticali dobbiamo calcolare i iti della funzione agli estremi finiti degli intervalli che costituiscono il dominio. In questo caso, quindi, dobbiamo calcolare

Dettagli

Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

matematica per le quinte

matematica per le quinte istituto professionale versari-macrelli, cesena lorenzo pantieri matematica per le quinte Dipartimento di Matematica Anno scolastico 2015-2016 Questo lavoro spiega il programma di matematica agli alun-

Dettagli

f(x) = x3 2x 2x 2 4x x 2 x 3 2x 2x 2 4x =, lim lim 2x 2 4x = +. lim Per ricavare gli asintoti obliqui, essendo lim

f(x) = x3 2x 2x 2 4x x 2 x 3 2x 2x 2 4x =, lim lim 2x 2 4x = +. lim Per ricavare gli asintoti obliqui, essendo lim Esercizi 0//04 - Analisi I - Ingegneria Edile Architettura Esercizio. Studiare la seguente funzione e disegnarne il graco. Soluzione: f(x) = x3 x x 4x La funzione è denita dove il denominatore risulta

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

UNO STUDIO DI FUNZIONE CON DERIVE a cura del prof. Guida. 4 x

UNO STUDIO DI FUNZIONE CON DERIVE a cura del prof. Guida. 4 x UNO STUDIO DI FUNZIONE CON DERIVE a cura del prof. Guida Con questa guida si vuol proporre un esempio di studio di funzione con Derive. La versione che ho utilizzato per questo studio è la 6.0. Consideriamo

Dettagli

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali. 1 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero

Dettagli

In base alla definizione di limite, la definizione di continuità può essere data come segue:

In base alla definizione di limite, la definizione di continuità può essere data come segue: Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo I (itato o ilitato) e sia un punto interno all intervallo I. Si dice che f è continua nel punto se: ( )= ( ) Una funzione f è continua in

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 015 1. Indicando con i minuti di conversazione effettuati nel mese considerato, la spesa totale mensile in euro è espressa dalla funzione f()

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

FUNZIONI ESPONENZIALE E LOGARITMICA

FUNZIONI ESPONENZIALE E LOGARITMICA FUNZIONI ESPONENZIALE E LOGARITMICA Le potenze con esponente reale La potenza a x di un numero reale a è definita se a>0 per ogni x R se a=0 per tutti e soli i numeri reali positivi ( x R + ) se a

Dettagli

Studio grafico analitico delle funzioni reali a variabile reale y = f(x)

Studio grafico analitico delle funzioni reali a variabile reale y = f(x) Studio grafico analitico delle funzioni reali a variabile reale y = f() 1 Ecco i passi utili allo studio di una funzione reale: Determinare il dominio della funzione Ricercare l eventuale intersezione

Dettagli

Esercizi sullo studio completo di una funzione

Esercizi sullo studio completo di una funzione Esercizi sullo studio completo di una funzione. Disegnare il grafico delle funzioni date, utilizzando ogni informazione utile che si può ricavare dalla funzione e dalle sue derivate prima e seconda. a.

Dettagli

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da

f(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede

Dettagli

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m = Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha

Dettagli

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire

Dettagli

Derivate Limiti e funzioni continue

Derivate Limiti e funzioni continue Derivate Limiti e funzioni continue Se il valore di una funzione f() si avvicina al valore l quando si avvicina ad 0 diciamo che f() ha come ite l per tendente ad 0. Noi per rappresentare questo fatto

Dettagli

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10 FUNZIONE OMOGRAFICA ASINTOTO VERTICALE: ASINTOTO ORIZZONTALE: 1 abbiamo verificato che, applicando all iperbole equilatera base, la dilatazione verticale di coefficiente 7 e la traslazione di vettore di

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

Studio di funzione appunti

Studio di funzione appunti Studio di unzioni algebriche ratte Studio di unzione appunti 1. Ricerca del dominio (C.E.);. Intersezioni con gli assi cartesiani; 3. Ricerca degli intervalli di positività (Studio del segno S.D.S.); 4.

Dettagli

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio

DUE PROPOSTE ANALISI MATEMATICA. Lorenzo Orio DUE PROPOSTE DI ANALISI MATEMATICA Lorenzo Orio Introduzione Il lavoro propone argomenti di analisi matematica trattati in maniera tale da privilegiare l intuizione e con accorgimenti nuovi. Il tratta

Dettagli

NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1.

NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1. NOME:... MATRICOLA:.... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 007/008 Analisi Matematica, Esame scritto del 08.0.008 Indicare per quali R vale la seguente diseguaglianza : + >. Se y - - è il grafico

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

Verifica di Matematica Classe Quinta

Verifica di Matematica Classe Quinta Verifica di Matematica Classe Quinta Valutazione Conoscenze. Fornisci la definizione di funzione continua in un punto x del dominio. Una funzione f(x) è continua in x 0 D se i iti destro e sinistro in

Dettagli

SOLUZIONI D = (-1,+ ).

SOLUZIONI D = (-1,+ ). SOLUZIONI. Data la funzione f() ( ) ln( ) a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli intervalli in cui f() risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

Siano f e g due funzioni, allora x D f D g, cioè appartenente all intersezione dei loro domini, possiamo definire

Siano f e g due funzioni, allora x D f D g, cioè appartenente all intersezione dei loro domini, possiamo definire Operazioni tra funzioni Siano f e g due funzioni, allora D f D g, cioè appartenente all intersezione dei loro domini, possiamo definire f() ± g(), f() g(), f () g() se g() 0 Es. f() = 4, g() = 3 + D f

Dettagli

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette: FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente

Dettagli

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R?

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R? PROVA N 1 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(). Studiare la funzione f()= 8+ 7 9 (Sono esclusi i flessi) 3. Data la funzione f()= 1 6 3 - +5-6

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

Esercitazione del 16-11-11 Analisi I

Esercitazione del 16-11-11 Analisi I Esercitazione del 6-- Analisi I Dott.ssa Silvia Saoncella silvia.saoncella 3[at]studenti.univr.it a.a. 00-0 Esercizio. Determinare se la funzione f() è continua nel suo dominio sin se 0 f() = 0 se = 0

Dettagli

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π PROBLEMA Il triangolo rettangolo ABC ha l ipotenusa AB = a e l angolo CAB =. a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio, l arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente

Dettagli

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y INTRODUZIONE Osserviamo, in primo luogo, che le funzioni logaritmiche sono della forma y = log a () con a costante positiva diversa da (il caso a = è banale per cui non sarà oggetto del nostro studio).

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per

Dettagli

1 Principali funzioni e loro domini

1 Principali funzioni e loro domini Principali funzioni e loro domini Tipo di funzione Rappresentazione Dominio Polinomio intero p() = a n + + a n R p() Polinomio fratto q() 6= q() 2n Radici pari p f() f() 2n+ Radici dispari p f() R Moduli

Dettagli

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it Esercizi di Matematica Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO

Dettagli

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di:

Dettagli

0 ) = lim. derivata destra di f in x 0. Analogamente, diremo che la funzione f è derivabile da sinistra in x 0 se esiste finito il limite

0 ) = lim. derivata destra di f in x 0. Analogamente, diremo che la funzione f è derivabile da sinistra in x 0 se esiste finito il limite Questo breve file è dedicato alle questioni di derivabilità di funzioni reali di variabile reale. Particolare attenzione viene posta alla classificazione dei punti di non derivabilità delle funzioni definite

Dettagli

Massimi e minimi di una funzione razionale fratta Francesco Daddi - 18 maggio 2010

Massimi e minimi di una funzione razionale fratta Francesco Daddi - 18 maggio 2010 Francesco Daddi - 18 maggio 2010 Esempio 1. Studiare la funzione f x 4 x 8 x 2 3 x 3. R (si osservi che il denominatore non si annulla mai); la funzione ha uno zero in x 2. La funzione è positiva per x

Dettagli

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno),

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno), 6 - Grafici di funzioni Soluzioni Esercizio. Studiare il grafico della funzione f(x) = x x + 3. ) La funzione è definita per x 3. ) La funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) La funzione è

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

Definizione DEFINIZIONE

Definizione DEFINIZIONE Definizione Funzione reale di due variabili reali Indichiamo con R 2 l insieme di tutti i vettori bidimensionali. Dato un sottoinsiemed R 2, una funzione f: D R è una legge che assegna a ogni punto (x,

Dettagli

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f.

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f. FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA ANNUALE

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA ANNUALE PROGRAMMAZIONE DIDATTICA ANNUALE Anno Scolastico: 2013 / 2014 Dipartimento: MATEMATICA Coordinatore: ROVETTA ROBERTA Classe: 5 Indirizzo: TECNICO DEI SERVIZI TURISTICI Ore di insegnamento settimanale:

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas.8.6.. - -.5.5 -. In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA ANNUALE

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA ANNUALE PROGRAMMAZIONE DIDATTICA ANNUALE Anno Scolastico: 2014 / 2015 Dipartimento: MATEMATICA Coordinatore: TRIMBOLI SILVIA Classe: 4 Indirizzo: Istituto Tecnico per il Turismo orientamento sportivo Ore di insegnamento

Dettagli

Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana

Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana Schemi delle Lezioni di Matematica Generale Pierpaolo Montana Al-giabr wa al-mukabalah di Al Khuwarizmi scritto approssimativamente nel 820 D.C. Manuale arabo da cui deriviamo due nomi: Algebra Algoritmo

Dettagli

Calcolo differenziale Test di autovalutazione

Calcolo differenziale Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia

Dettagli

DERIVATA di una funzione

DERIVATA di una funzione DERIVATA di una unzione Sia e * A punto di accumulazione di A : A R * è il RAPPORTO INCREMENTALE * Il rapporto incrementale di calcolato in * rappresenta il coeiciente angolare della secante passante per

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

INSEGNANTE: Marco Cerciello FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

INSEGNANTE: Marco Cerciello FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Classe V H INSEGNANTE: Marco Cerciello Testo: Matematica a colori vol. 5 ed. Petrini Concetto di unzione di variabile reale FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Rappresentazione analitica di una unzione,

Dettagli

CBM a.s. 2012/2013 FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI

CBM a.s. 2012/2013 FUNZIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI CBM a.s. 01/013 FUNIONI REALI DI DUE VARIABILI REALI Chiamiamo FUNIONE oni leame ra due insiemi tale che ad oni elemento del primo insieme (detto DOMINIO) corrisponde uno e un solo elemento del secondo

Dettagli

Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3)

Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3) Matematica 2 Derivate Esercizi y=sen( 4 3) y' =cos( 4 3)(4 3 3) y=logsen( 4 1 3) y' = sen( 4 +3) cos(4 +3)(4 3 +3) y=sen 2 ( 4 3) y' =2sen( 4 3 )cos( 4 3)(4 3 3) Funzioni ad una sola variabile y=f() è

Dettagli

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio Anno 5 4 Funzioni reali: il dominio 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire cos è una funzione reale di variabile reale e a ricercarne il dominio. Al termine di questa lezione sarai in grado

Dettagli

LIMITI - CONFRONTO LOCALE Test di autovalutazione

LIMITI - CONFRONTO LOCALE Test di autovalutazione LIMITI - CONFRONTO LOCALE Test di autovalutazione 1. Per 0 le funzioni 1 cos e sin (a) sono infinitesime dello stesso ordine (b) 1 cos è infinitesima di ordine inferiore (c) 1 cos è infinitesima di ordine

Dettagli

7 - Esercitazione sulle derivate

7 - Esercitazione sulle derivate 7 - Esercitazione sulle derivate Luigi Starace gennaio 0 Indice Dimostrare il teorema 5.5.3.a................................................b............................................... Dimostrazioni.a

Dettagli

Studio del grafico di una funzione reale

Studio del grafico di una funzione reale Capitolo 1 Studio del grafico di una funzione reale Questo testo è una guida per lo studio del grafico di una funzione. Non è un testo completo ma solo una bozza che servirà agli studenti per arrivare

Dettagli

Anno 3. Classificazione delle funzioni

Anno 3. Classificazione delle funzioni nno 3 Classificazione delle funzioni 1 Introduzione In questa lezione affronteremo lo studio delle principali proprietà delle funzioni, imparando a classificarle e a compiere alcune operazioni su esse.

Dettagli

Indirizzo odontotecnico a.s. 2015/2016

Indirizzo odontotecnico a.s. 2015/2016 I.P.S.I.A E. DE AMICIS - ROMA PROGRAMMAZIONE DIDATTICA DI MATEMATICA Classe 5C Indirizzo odontotecnico a.s. 2015/2016 Prof. Rossano Rossi La programmazione è stata sviluppata seguendo le linee guida ministeriali

Dettagli

Programma di Matematica

Programma di Matematica Programma di Matematica Modulo 1. Topologia in R 2. Funzioni in R 3. Limite e continuità di una funzione Unità didattiche Struttura algebrica di R Insiemi reali limitati e illimitati Intorno di un punto

Dettagli

SOLUZIONI COMPITO A. 3. Imponendo la condizione iniziale y(0) = 1 e, si ricava C = 0, quindi la soluzione cercata sarà. y(x) + 1 = exp(e x x2 2 1)

SOLUZIONI COMPITO A. 3. Imponendo la condizione iniziale y(0) = 1 e, si ricava C = 0, quindi la soluzione cercata sarà. y(x) + 1 = exp(e x x2 2 1) SOLUZIONI COMPITO A Esercizio Utilizzando lo sviluppo di Mc Laurin al terzo ordine per il sin t, con t = x 4/, e quello al primo ordine per il log( + t), con t = x, otteniamo e quindi il ite proposto diviene

Dettagli

Horae. Horae Software per la Progettazione Architettonica e Strutturale VERIFICHE SEZIONI IN ACCIAIO

Horae. Horae Software per la Progettazione Architettonica e Strutturale VERIFICHE SEZIONI IN ACCIAIO VERIFICHE SEZIONI IN ACCIAIO - Classiicazione e veriica sezioni - Modelli sismo-resistenti dissipativi per le strutture in acciaio - Veriiche per gli elementi dissipativi - Applicazione della Gerarchia

Dettagli

LA RETTA. b) se l equazione si presente y=mx+q (dove q è un qualsiasi numero reale) si ha una retta generica del piano.

LA RETTA. b) se l equazione si presente y=mx+q (dove q è un qualsiasi numero reale) si ha una retta generica del piano. LA RETTA DESCRIZIONE GENERALE Nella GEOMETRIA ANALITICA si fa sempre un riferimento rispetto al piano cartesiano Oxy; questa riguarda lo studio della retta, delle trasformazioni lineari piane e delle coniche.

Dettagli

Studio di una funzione razionale fratta (autore Carlo Elce)

Studio di una funzione razionale fratta (autore Carlo Elce) Stuio i funzioni Carlo Elce 1 Stuio i una funzione razionale fratta (autore Carlo Elce) Per rappresentare graficamente una funzione reale i una variabile reale bisogna seguire i seguenti passi: Passo 1)

Dettagli

Funzioni - Parte II. 1 Composizione di Funzioni. Antonio Lazzarini. Prerequisiti: Funzioni (Parte I).

Funzioni - Parte II. 1 Composizione di Funzioni. Antonio Lazzarini. Prerequisiti: Funzioni (Parte I). Funzioni - Parte II Antonio Lazzarini Prerequisiti: Funzioni (Parte I). 1 Composizione di Funzioni Sappiamo che é possibile denire diverse operazioni ra i numeri: addizione, sottrazione, moltiplicazione,

Dettagli

21. Studio del grafico di una funzione: esercizi

21. Studio del grafico di una funzione: esercizi 1. Studio del grafico di una funzione: esercizi Esercizio 1.6. Studiare ciascuna delle seguenti funzioni in base allo schema di pagina 194, eseguendo anche il computo della derivata seconda e lo studio

Dettagli

Esercizi sul dominio di funzioni e limiti

Esercizi sul dominio di funzioni e limiti Esercizi sul dominio di funzioni e iti Esercizio 1. Determinare il dominio D, studiare il segno e calcolare il ite ai suoi estremi delle seguenti funzioni: (a) y = e ; (b) y = 4 2 + 9; (c) y = 16 4 ; 2

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli