matematica per le quinte

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1 istituto professionale versari-macrelli, cesena lorenzo pantieri matematica per le quinte Dipartimento di Matematica Anno scolastico

2 Questo lavoro spiega il programma di matematica agli alun- ni dell Istituto professionale Versari-Macrelli di Cesena. Ringrazio innanzitutto il Dirigente scolastico ing. Mauro Tosi per aver sostenuto questo progetto. Ringrazio inoltre i miei colleghi del dipartimento di matematica Silvia Bagnoli, Francesco Cerino, Silvia Cortesi, Giulia Degli Angeli, Orlando Fiumana, Maria Chiara Garaffoni, Emanuela Montanari, Monica Morelli, Enrico Petroncini, Manuela Pompili ed Elisabetta Turci per l aiuto fornito nella redazione di questo lavoro, la pazienza e la precisione nei suggerimenti, la competenza e la disponibilità. Un grazie altrettanto speciale va ai miei studenti, per i consigli durante la stesura di un opera che senza il loro contributo non avrebbe mai assunto la forma attuale: questo libro è più loro che mio. Se avete idee su argomenti da aggiungere, togliere o modificare in questo documento, o se vi dovesse capitare di notare un errore, sia di battitura che di sostanza (ed è probabile che ce ne siano parecchi, soprattutto del primo tipo, ma anche del secondo), mi fareste un favore comunicandomelo, così che io possa apportare le opportune correzioni in versioni successive. Mi interessano specialmente i commenti degli studenti su quali parti di questo lavoro risultino di facile comprensione e quali invece si potrebbero spiegare meglio. In particolare, se vi sembra di notare un errore matematico è anche nel vostro interesse discuterne con me per chiarire se si tratta di un incomprensione vostra o di uno sbaglio mio. È con questo spirito che ho scritto questo lavoro: spero che possiate studiare la matematica con il mio stesso piacere. Lorenzo Pantieri Matematica per l Istituto professionale Versari-Macrelli Copright c 2015 lorenzo.pantieri@gmail.com Il frontespizio riproduce la litografia Mano con sfera riflettente di Maurits Cornelis Escher e l incisione Tassellazione del piano con uccelli, dello stesso autore.

3 I N D I C E 1 introduzione all analisi Classificazione Dominio Intersezioni con gli assi Segno Simmetrie Esercizi 23 2 iti Concetto di ite Calcolo dei iti Limiti di alcune funzioni elementari Algebra dei iti Forme di indecisione di funzioni algebriche Continuità Asintoti Grafico probabile di una funzione Esercizi 57 3 derivate Concetto di derivata Problema della retta tangente Derivata in un punto Continuità e derivabilità Funzione derivata Derivata seconda Derivate delle funzioni elementari Algebra delle derivate Linearità della derivata Derivata del prodotto di due funzioni Derivata del quoziente di due funzioni Derivata della potenza di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Funzioni convesse e concave. Flessi Esercizi 92 4 studio di funzione Esercizi 111

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5 1 I N T R O D U Z I O N E A L L A N A L I S I Definizione 1. Si chiama funzione reale di variabile reale una funzione f: A B in cui A e B sono sottoinsiemi dell insieme R. D ora in poi ci occuperemo solo di funzioni reali di variabile reale e intenderemo con funzione sempre una funzione reale di variabile reale. Durante il corso di matematica hai già incontrato alcune funzioni: le funzioni lineari = m + q le funzioni quadratiche = a 2 + b + c le funzioni potenza = n, con n intero 1 le funzioni esponenziali = a e logaritmiche = log a, con a > 0 e a classificazione Le funzioni si possono classificare in base al tipo di operazioni che compaiono nell espressione f(). Definizione 2. Una funzione si dice algebrica se contiene soltanto (un numero finito di) operazioni di somma, sottrazione, prodotto, divisione ed estrazione di radice. Altrimenti si dice trascendente. Per esempio, sono funzioni algebriche: = = = 4 2 Sono funzioni trascendenti: = 2 = log = ln

6 2 introduzione all analisi Definizione 3. Tra le funzioni algebriche = f() si distinguono: le funzioni intere (o polinomiali), in cui f() è un polinomio le funzioni fratte, in cui f() è il quoziente di due polinomi le funzioni irrazionali, in cui la compare sotto il segno di radice Per esempio: = è una funzione intera = è una funzione fratta = 4 2 è una funzione irrazionale 1.2 dominio Quando si assegna l equazione che definisce una funzione reale di variabile reale senza specificarne il dominio, si sottintende che esso sia quello naturale. Definizione 4. Il dominio naturale (o insieme di definizione) di una funzione = f() è l insieme costituito dai valori reali di per cui tutte le operazioni che compaiono nell espressione f() hanno significato. Per determinare il dominio basta allora tener presenti le seguenti indicazioni: le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono sempre definite, mentre l operazione di divisione è definita purché il divisore sia diverso da zero una radice di indice pari è definita solo se il radicando è positivo o nullo, mentre una radice di indice dispari è definita purché esista il radicando il logaritmo è definito se l argomento è positivo e la base è positiva e diversa da 1 l esponenziale (con base positiva e diversa da 1) è sempre definito purché esista l esponente

7 1.2 dominio 3 (a) = (b) = (c) = (d) = (e) = 2 1 (f) = Figura 1: Dominio di alcune funzioni algebriche intere e fratte

8 4 introduzione all analisi Esercizio 1. Determina il dominio delle funzioni: = = 3 3 = Soluzione. Sono tre funzioni intere: il loro dominio è R (figure 1a, 1b e 1c). Esercizio 2. Determina il dominio della funzione = Soluzione. È una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso da zero: 1 0 = 1 Il dominio della funzione è perciò Vedi la figura 1d. dom f = R \ { 1 } Esercizio 3. Determina il dominio della funzione = 2 1. Soluzione. È una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso da zero: 1 0 = 1 Il dominio della funzione è perciò Vedi la figura 1e. dom f = R \ { 1 } Esercizio 4. Determina il dominio della funzione = Soluzione. È una funzione fratta, definita purché il suo denominatore sia diverso da zero: da cui 1 1

9 1.2 dominio 5 Il dominio delle due funzioni è perciò Vedi la figura 1f. dom f = R \ { 1, 1 } Esercizio 5. Determina il dominio della funzione = Soluzione. Poiché una radice quadrata è definita solo se il radicando è positivo o nullo, la funzione data è definita se e solo se: Risolviamo l equazione associata: da cui, uguagliando a zero i fattori: = 0 = ( 1)( 3) = 0 = 1 = 3 La parabola associata ha la concavità verso l alto (perché il coefficiente di 2 è positivo) e interseca l asse nei punti corrispondenti alle soluzioni dell equazione associata. La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. 1 3 In conclusione, il dominio della funzione è l insieme: Vedi la figura 2a. dom f = { 1 3 }

10 6 introduzione all analisi (a) = (b) = (c) = (d) = (e) = log( + 2) (f) = log 2 4 Figura 2: Dominio di alcune funzioni irrazionali e trascendenti

11 1.2 dominio 7 Esercizio 6. Determina il dominio della funzione = 4 2. Soluzione. Poiché una radice quadrata è definita solo se il radicando è positivo o nullo, la funzione data è definita se e solo se: È una disequazione di secondo grado. Risolviamo l equazione associata: 4 2 = 0 = 2 = 4 = = ±2 La parabola associata volge la concavità verso il basso (perché il coefficiente di 2 nella disequazione è negativo) ed è secante l asse. La disequazione è verificata quando la parabola sta sopra l asse o lo interseca. 2 2 In conclusione, il dominio della funzione è: Vedi la figura 2b. dom f = { 2 2 } Esercizio 7. Determina il dominio della funzione = Soluzione. Poiché una radice di indice dispari è definita purché esista il radicando, la funzione data è definita per ogni per cui ha senso l espressione 2 +, ovvero per ogni reale. Quindi: dom f = R Vedi la figura 2c. Esercizio 8. Determina il dominio della funzione = Soluzione. Poiché l esponenziale (con base positiva e diversa da 1) è sempre definito purché esista l esponente, la funzione è definita se e solo se è definita la frazione, il che accade se e solo se il suo denominatore è diverso da 0: = 1

12 8 introduzione all analisi Quindi il dominio della funzione è Vedi la figura 2d. dom f = R \ { 1 } Esercizio 9. Determina il dominio della funzione = log( + 2). Soluzione. Poiché il logaritmo è definito se e solo se l argomento è positivo e la base è positiva e diversa da 1, la funzione data è definita se e solo se + 2 > 0 = > 2 2 Quindi il dominio della funzione è Vedi la figura 2e. dom f = { > 2 } Esercizio 10. Determina il dominio della funzione = log 2 4. Soluzione. Poiché il logaritmo è definito se e solo se l argomento è positivo e la base è positiva e diversa da 1, la funzione data è definita se e solo se 2 4 > 0 Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: Denominatore: 2 0 = = 4 4

13 1.3 intersezioni con gli assi 9 Costruiamo la tabella dei segni. N D F dom f + La disequazione è verificata quando la frazione è positiva (+). Quindi il dominio della funzione è l insieme: dom f = { 2 < < 4 } Vedi la figura 2f. 1.3 intersezioni con gli assi Dopo aver determinato il dominio di una funzione = f(), la seconda fase di uno studio elementare della funzione consiste nel determinare i suoi eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani. Le ascisse degli eventuali punti di intersezione con l asse si ottengono risolvendo l equazione f() = 0; le soluzioni di questa equazione si dicono zeri della funzione. L ordinata dell eventuale punto di intersezione con l asse si ottiene semplicemente calcolando f(0), ovvero ponendo = 0 nell espressione che definisce la funzione. Esercizio 11. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = Soluzione. Troviamo le intersezioni con l asse : = 0 = ( 1)( 3) = 0 da cui = 1 = 3 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nei punti (1, 0) e (3, 0).

14 10 introduzione all analisi Troviamo le intersezioni con l asse : f(0) = = 3 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 3). Vedi la figura 3a. Esercizio 12. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = 3 3. Soluzione. Troviamo le intersezioni con l asse : 3 3 = 0 = ( 2 3) = 0 Uguagliamo a zero i fattori: = = 0 da cui = 0 = ± 3 per cui il grafico della funzione interseca l asse nei punti: ( 3, 0) (0, 0) ( 3, 0) Troviamo le intersezioni con l asse : f(0) = = 0 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Vedi la figura 3b. Esercizio 13. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = Soluzione. Troviamo le intersezioni con l asse : = 0 = 2 ( 2 2) = 0 Uguagliamo a zero i fattori: 2 = = 0 da cui = 0 = ± 2 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nei punti: ( 2, 0) (0, 0) ( 2, 0)

15 1.3 intersezioni con gli assi (a) = (b) = (c) = (d) = (e) = 2 1 (f) = Figura 3: Intersezioni con gli assi di alcune funzioni algebriche

16 12 introduzione all analisi Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 0 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Vedi la figura 3c. Esercizio 14. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 2). Troviamo le intersezioni con l asse : da cui, einando il denominatore, = = 0 = = 2 valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Ciò significa che il grafico della funzione interseca l asse nel punto (2, 0). Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 4 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 4). Vedi la figura 3d. Esercizio 15. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = 2 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 3). Troviamo le intersezioni con l asse : da cui, einando il denominatore, 2 1 = 0 2 = 0 = = 0 valore accettabile in quanto appartiene al dominio della funzione. Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0).

17 1.4 segno 13 Troviamo le intersezioni con l asse. f(0) = = 0 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 0). Vedi la figura 3e. Esercizio 16. Trova le intersezioni con gli assi della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1, 1 } (vedi l esercizio 4). Troviamo le intersezioni con l asse : da cui, einando il denominatore, = = 0 = 2 = 4 = = ±2 valori entrambi accettabili in quanto appartengono al dominio della funzione. Quindi il grafico della funzione interseca l asse nei punti: Troviamo le intersezioni con l asse. ( 2, 0) (2, 0) f(0) = = 4 Quindi il grafico della funzione interseca l asse nel punto (0, 4). Vedi la figura 3f. 1.4 segno Lo studio del segno di una funzione consiste nello stabilire per quali valori di risulta f() > 0, f() = 0 e f() < 0. Si conviene di risolvere la disequazione f() 0, che individua gli intervalli dove la funzione è positiva o nulla, ossia dove il suo grafico sta sopra l asse o lo interseca; la funzione sarà negativa ovunque essa non è positiva o nulla, nell ambito del suo dominio.

18 14 introduzione all analisi Esercizio 17. Studia il segno della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 1) e il suo grafico interseca gli assi nei punti (1, 0), (3, 0) e (0, 3) (vedi l esercizio 11). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Le soluzioni dell equazione associata = 0 sono = 1 e = 3 (vedi l esercizio 11). Disegniamo la parabola associata. 1 3 Quindi la funzione: è positiva se < 1 > 3 è nulla se = 1 = 3 è negativa altrimenti Vedi la figura 4a. Esercizio 18. Studia il segno della funzione = 3 3. Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 1) e il suo grafico interseca gli assi nei punti ( 3, 0), (0, 0) e ( 3, 0) (vedi l esercizio 12). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno di ciascun fattore = ( 2 3) 0 Primo fattore: 0 0

19 1.4 segno (a) = (b) = (c) = (d) = (e) = 2 1 (f) = Figura 4: Segno di alcune funzioni algebriche

20 16 introduzione all analisi Secondo fattore: Le soluzioni dell equazione associata 2 3 = 0 sono = ± 3. Disegniamo la parabola associata. 3 3 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. F 1 F f + + Quindi la funzione: è positiva se 3 < < 0 > 3 è nulla se = 3 = 0 = 3 è negativa altrimenti Vedi la figura 4b. Esercizio 19. Studia il segno della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R (vedi l esercizio 1) e il suo grafico interseca gli assi nei punti ( 2, 0), (0, 0) e ( 2, 0) (vedi l esercizio 13). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno di ciascun fattore = 2 ( 2 2) 0

21 1.4 segno 17 Primo fattore: 2 0 L unica soluzione dell equazione associata 2 = 0 è = 0. Disegniamo la parabola associata. 0 Secondo fattore: L equazione associata = 0 ha per soluzioni = ± 2. Disegniamo la parabola associata. 2 2 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. F 1 F f + + Quindi la funzione: è positiva se < 2 > 2 è nulla se = 2 = 0 = 2 è negativa altrimenti Vedi la figura 4c.

22 18 introduzione all analisi Esercizio 20. Studia il segno della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 2) e il suo grafico interseca gli assi cartesiani nei punti (2, 0) e (0, 4) (vedi l esercizio 14). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: = 2 2 Denominatore: 1 0 = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. N D f + + Quindi la funzione: è positiva se < 1 > 2 è nulla se = 2 non è definita se = 1 è negativa altrimenti Vedi la figura 4d.

23 1.4 segno 19 Esercizio 21. Studia il segno della funzione = 2 1. Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1 } (vedi l esercizio 3) e il suo grafico interseca gli assi nel punto (0, 0) (vedi l esercizio 15). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: 2 0 L unica soluzione dell equazione associata 2 = 0 è = 0. 0 Denominatore: 1 0 = 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. N D f + Quindi la funzione: è positiva se > 1 è nulla se = 0 non è definita se = 1 è negativa altrimenti Vedi la figura 4e.

24 20 introduzione all analisi Esercizio 22. Studia il segno della funzione = Soluzione. Il dominio della funzione è R \ { 1, 1 } (vedi l esercizio 4) e il suo grafico interseca gli assi nei punti ( 2, 0), (2, 0) e (0, 4) (vedi l esercizio 16). Per studiare il segno della funzione risolviamo la disequazione: Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Numeratore: Risolviamo l equazione associata: = 0 = 2 = 4 = = ±2 Disegniamo la parabola associata. 2 2 Denominatore: Risolviamo l equazione associata: 2 1 = 0 = 2 = 1 = = ±1 Disegniamo la parabola associata. 1 1 Costruiamo la tabella dei segni della funzione. N D f + + +

25 1.5 simmetrie 21 Quindi la funzione: è positiva se < 2 1 < < 1 > 2 è nulla se = 2 = 2 non è definita se = 1 = 1 è negativa altrimenti Vedi la figura 4f. 1.5 simmetrie Il grafico di una funzione può presentare alcune particolari simmetrie: queste caratteristiche vengono formalizzate dalle definizioni di funzioni pari e dispari. Definizione 5. Una funzione si dice pari se f( ) = f() per ogni appartenente al dominio della funzione. Una funzione si dice dispari se f( ) = f() per ogni appartenente al dominio della funzione. Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all asse, mentre il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all origine: vedi la figura 5. Esercizio 23. Stabilisci se la funzione = è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( ) 2 4( ) + 3 = Poiché quest ultima espressione non coincide né con f() né con f(), la funzione non è né pari né dispari. Vedi le figure 4a e 30a. P P P P (a) Una funzione pari. (b) Una funzione dispari. Figura 5: Funzioni pari e dispari

26 22 introduzione all analisi Esercizio 24. Stabilisci se la funzione = 3 3 è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(). f( ) = ( ) 3 3( ) = = ( 3 3) = f() La funzione è dispari. Vedi le figure 4b e 30b. Esercizio 25. Stabilisci se la funzione = è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( ) 4 2( ) 2 = = f() La funzione è pari. Vedi le figure 4c e 30c. Esercizio 26. Stabilisci se la funzione = è pari o dispari. Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = 2( ) 4 1 = = Poiché quest ultima espressione non coincide né con f() né con f(), la funzione non è né pari né dispari. Vedi le figure 4d e 30d. Esercizio 27. Stabilisci se la funzione = 2 è pari o dispari. 1 Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( )2 1 = 2 1 = Perciò la funzione non è né pari né dispari. Vedi le figure 4e e 30e.

27 1.6 esercizi 23 Esercizio 28. Stabilisci se la funzione = è pari o dispari. 1 Soluzione. Sostituiamo al posto di in f(): f( ) = ( )2 4 ( ) 2 1 = = f() La funzione è pari. Vedi le figure 4f e 30f. 1.6 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. Determina il dominio delle seguenti funzioni algebriche: 1 = = [ { R \ ± 5 }] 2 [R \ { 3, 2, 3 }] 3 = [R \ { 0 }] 4 = 25 2 [ 5 5] [ { }] = 4 2 R \ = [R] 7 = [ 2 5] = [ < 5 2] = [0 5 3] = [ < 12 ] > 1 11 = [R \ { 7, 1 }] 12 = 10 2 [0 10] 13 = [R \ { 1, 0 }] 1 14 = [R \ { 0 }] = 3 2 [R \ { 2, 0 }] = [ 3 < 2 2] = [2 5] 18 log(3 + 4) [ > 4 ] 3 19 ln( ) [ < 2 > 3] 20 Determina il dominio della funzione rappresentata nella figura 6a (il tratteggio indica che il grafico prosegue indefinitamente).

28 24 introduzione all analisi 2 (a) (b) Figura 6: Lettura di un dominio sul grafico Soluzione. Il dominio è l insieme dei valori assunti dalle ascisse dei punti che appartengono al grafico della funzione. Per individuare il dominio per via geometrica possiamo immaginare di proiettare tutti i punti del grafico sull asse (figura 6b). Così facendo otteniamo la semiretta costituita dai punti dell asse di ascissa minore o uguale a 2, compresa l origine della semiretta che ha coordinate (2, 0). Perciò il dominio della funzione è l insieme dom f = { 2 } = (, 2] 21 Determina il dominio delle funzioni rappresentate nella figura 7 osservando il loro grafico. Determina il dominio, eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani e il segno delle seguenti funzioni: 22 = 5 3 dom f = R intersezioni con gli assi: (0, 0), (±1, 0) è positiva per 1 < < 0 > 1 23 = dom f = R intersezioni con gli assi: ( 11, 0), (0, 0), (1, 0) è positiva per 11 < < 0 > 1 24 = dom f = R intersezioni con gli assi: (±1, 0), (±2, 0), (0, 4) è positiva per < 2 1 < < 1 > 2 25 dom f = R \ { 5, 1 } = 2 intersezioni con gli assi: (0, 0) è positiva per 5 < < 0 > 1 26 = dom f = R \ { ±2 } intersezioni con gli assi: ( 1, 0), (3, 0), ( 0, 3 ) 4 è positiva per < 2 1 < < 2 > 3

29 1.6 esercizi 25 (a) (b) (c) (d) (e) Figura 7: Lettura di domini sul grafico (f) 27 = = = = 4 dom f = R \ { 2 } intersezioni con gli assi: ( 3, 0), (1, 0), (0, 3 2 ) è positiva per 3 < < 1 > 2 dom f = { 0 } intersezioni con gli assi: ( 1, 0) positiva per < 1 > 0 dom f = { 1 1 < 2 > 2 } intersezioni con gli assi: (±1, 0) positiva per < 1 > 2 dom f = { 0 < 4 } passa per l origine è positiva per ogni 0 31 Stabilisci se le seguenti funzioni sono pari, dispari o né pari né dispari: a. = c. = e. = g. = 1 2 b. = 8 5 d. = 8 6 f. = 5 3 h. = [Tre funzioni pari, tre dispari, due né pari né dispari]

30 26 introduzione all analisi (a) (b) (c) (d) (e) Figura 8: Funzioni pari e dispari (f) 32 Stabilisci se le funzioni aventi i grafici riportati nella figura 8 sono pari o dispari. 33 In riferimento al grafico della funzione f rappresentato nella figura 9, rispondi alle seguenti domande. Qual è il dominio di f? Quanto vale f( 4)? E f(4)? Per quali valori f si annulla? In quali punti f interseca gli assi? f(2) è positivo o negativo? E f( 2)? La funzione è pari? È dispari? 34 Indica la risposta corretta. Figura 9: Una funzione

31 1.6 esercizi 27 a. La funzione = è definita: A R B R, 2 C D per nessun valore reale di per ogni valore di, tranne = 2 b. Data la funzione = si può affermare che: A la variabile indipendente è C = ( 2 + 1) 2 B la funzione è intera di sesto grado D la funzione è sempre definita c. La funzione = è definita: A per tutti i valori di diversi da ±1 C R, 0 B R D solo per > 1 d. Quale delle seguenti rappresenta una funzione f tale che f( 2) = 3 e f(3) = 2? A = + 1 B = + 5 C = 5 D = 2 1 e. La funzione = + 2 è definita per: log( 1) A 1 < 2 B > 1 con 2 C 1 con 2 D > 1 f. Data la funzione f() = 1 il suo dominio è: A 0 1 B 0 1 C 0 < 1 D 0 g. Data la funzione f( + 1) = 2 f() e f(1) = 2 quanto vale f(2)? A 0 B 1 C 2 D 3 h. Il dominio di f() = ln(e 1) è: A > 2 B < 0 > 2 C > 2 e 3 D > 3 i. Data la funzione = 2 2 si può affermare che: + 1

32 28 introduzione all analisi A per = 1 non è definita C per = 5 è definita B per = 0 non è definita D è definita solo per = ±1 j. Indica fra le seguenti l affermazione errata: A B la funzione = log( 2 + 1) è definita R la funzione = 2 3 è definita ovunque C la funzione = non è definita per = 8 7 D la funzione = 4 2 non è definita per = 3 35 Indica la risposta corretta. [Una risposta A, tre B, quattro C e due D] a. Data la funzione = indica quale affermazione è vera: A è definita per 5 3 C è definita solo per 3 B è definita per 5 3 D nessuna delle precedenti b. Data la funzione = log( ) indica l affermazione falsa: A per = 4 non è definita C per = 3 non è definita B per = 4 non è definita D per = 5 è definita c. Data la funzione = log A il suo dominio è > indica quale affermazione è vera: + 1 C il suo dominio è R B il suo dominio è 0 D per = 0 vale = 0 d. La funzione f() = 2 ln è positiva nell intervallo A (0, e 2 ) B (, 2) C (0, + ) D (e 2, + ) e. Data la funzione f() = , il suo dominio è: A R \ { 0 } C { < 1 > 3 } B R D R \ { 1 } f. Per trovare il dominio di quale tra le seguenti funzioni si risolve la disequazione A() 0?

33 1.6 esercizi 29 A = 1 A() B 3 A() C = ln A() D = A() g. Il dominio della funzione = 9 2 è: A ( 3, 3) B [ 3, 3] C R \ { ±1 } D (, 3] h. Il dominio della funzione = è: A R C > 0 B < 5 > 0 D 5 0 i. La funzione f() = interseca l asse delle ascisse nel punto: + 4 A (0, 3) B (2, 0) C (3, 0) D ( 3, 0) j. Il dominio della funzione = è: A R C R \ { 2, 3 } B { < 2 > 3 } D { 2 < < 3 } [Cinque risposte A, tre B, una C e una D]

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35 2 L I M I T I Questo capitolo introduce un concetto fondamentale dell analisi matematica, quello di ite. Cominceremo ad analizzare questo concetto attraverso alcuni esempi, in cui ci familiarizzeremo con la nozione di ite a livello intuitivo. 2.1 concetto di ite Esempi introduttivi Limite finito quando tende a un valore finito Data la funzione = studiamo il suo comportamento quando assume valori sempre più prossimi a 3. analisi numerica Osserviamo che la funzione non è definita per = 3, tuttavia possiamo calcolare i valori di per valori di vicini a 3. Attribuendo per esempio a i valori indicati in tabella, con l aiuto di una calcolatrice otteniamo i valori approssimati di riportati. 2,9 2,99 2, ,001 3,01 3,1 5,9 5,99 5,999 non definita 6,001 6,01 6,1 6 Vediamo che quando la variabile assume valori sempre più prossimi a 3, i corrispondenti valori di si avvicinano sempre più a 6. Per esprimere questo comportamento della funzione in prossimità del valore = 3 (si dice anche «in un intorno di 3») scriviamo 3 f() = 6 che si legge «il ite di f() per che tende a 3 è 6». interpretazione grafica Si può avere conferma di questo comportamento della funzione per vicino a 3 anche tracciando il suo grafico, perché f() = = ( 3)( + 3) 3 = + 3 per 3

36 32 iti 6 f() = f() = (a) Limite finito quando tende a un valore finito (b) Limite finito quando tende a infinito 0 f() = + + f() = + (c) Limite infinito quando tende a un valore finito (d) Limite infinito quando tende a infinito Figura 10: Esempi di iti Il grafico della funzione è una retta, privata del punto di ascissa 3 (figura 10a). Limite finito quando tende a infinito Data la funzione = studiamo il suo comportamento quando assume valori positivi via via sempre più grandi. analisi numerica Attribuendo a i valori indicati nella tabella seguente, con l aiuto di una calcolatrice otteniamo i valori approssimati di riportati ,980 0,990 0,993 0,995 0,996 0,998 0,999 1

37 2.1 concetto di ite 33 Vediamo così che quando la variabile assume valori positivi sempre più grandi (si dice «tendenti a più infinito»), i corrispondenti valori di si avvicinano sempre più a 1. Per esprimere questo comportamento della funzione scriviamo f() = 1 + che si legge «il ite della funzione f() per che tende a più infinito è 1». interpretazione grafica Il grafico della funzione = f() = presenta la retta = 1 come asintoto orizzontale (vedi la figura 10b e il paragrafo 2.4). Limite infinito quando tende a un valore finito Data la funzione = f() = 1 2 studiamo il suo comportamento quando assume valori sempre più prossimi a 0. analisi numerica La funzione non è definita per = 0, tuttavia possiamo calcolare i valori di quando si avvicina a 0. Attribuendo per esempio a i valori indicati nella tabella seguente, otteniamo i valori approssimati di riportati. 0,1 0,01 0, ,001 0,01 0, non definita i valori di diventano sempre più grandi Vediamo così che quando assume valori sempre più vicini a 0, i corrispondenti valori di diventano sempre più grandi, ovvero «tendono a più infinito». Scriveremo f() = + 0 che si legge «il ite di f() per che tende a 0 è più infinito». interpretazione grafica Il grafico della funzione = f() = 1 l asse come asintoto verticale (vedi la figura 10c e il paragrafo 2.4). 2 presenta Limite infinito quando tende a infinito Data la funzione = f() = 2 studiamo il suo comportamento quando assume valori positivi via via sempre più grandi.

38 34 iti 1 f() = f() = Figura 11: Limite destro e ite sinistro analisi numerica Attribuendo per esempio a i valori indicati nella tabella seguente, otteniamo i valori approssimati di riportati i valori di diventano (rapidamente) sempre più grandi Vediamo così che quando la variabile assume valori positivi via via più grandi («tendenti a più infinito»), anche i corrispondenti valori di diventano sempre più grandi (ovvero tendono anch essi a più infinito). Scriveremo allora f() = + + che si legge «il ite di f() per che tende a più infinito è più infinito». interpretazione grafica La funzione esaminata è una funzione esponenziale che, com è noto, al crescere di assume valori che tendono rapidamente a + (figura 10d). Limite destro e ite sinistro Per poter dire che il ite di una funzione per a, con a R, è l, è necessario controllare che f() tenda a l sia quando si avvicina ad a per valori maggiori di a (ossia da destra rispetto ad a) sia quando si avvicina ad a per valori minori di a (ossia da sinistra rispetto ad a). avvicinamento da sinistra a avvicinamento da destra