1 Principali funzioni e loro domini

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1 Principali funzioni e loro domini Tipo di funzione Rappresentazione Dominio Polinomio intero p() = a n + + a n R p() Polinomio fratto q() 6= q() 2n Radici pari p f() f() 2n+ Radici dispari p f() R Moduli jf()j R Esponenziali e f() R Logaritmi log [f()] f() > Esempio.. Determinare il dominio di = p 2. Guardando la tabellina noto che f() e in questo caso f() = 2 ovvero _ : Quindi insiemisticamente si può scrivere che la funzione parte da valori reali fatti in questo modo: ( ; ][; +): Da notare che i valori compresi vanno tra parentesi quadra mentre quelli non compresi tra parentesi tonda. Ciò ci servirà per lo studio dei iti. Esempio.2. r! Determinare il dominio di = log 2 2 : Vediamo come a rontare questo caso un pò più complesso. r Il logaritmo deve avere argomento maggiore di in questo caso è 2 2 > ma una radice quadrata per de nizione deve essere maggiore o uguale a cioè il radicando 2 2 visto che è una fratta il denominatore deve essere diverso da ovvero 2 2 6= : Quindi provando a mettere in sistema le diverse condizioni mi viene che: 8 r >< 2 2 > > ) ) > >: 2 2 6= 2 2 6= 2 Funzioni pari e dispari De nizione 2... Una funzione f si dice pari se f( ordinate) ) = f(): (C è simmetria rispetto all asse delle De nizione Una funzione f si dice dispari se f( ) = f(): (C è simmetria rispetto all origine) Questo ci serve perchè possiamo de nire se una funzione è simmetrica o meno e quindi posssiamo itare il nostro studio in una sola parte del piano. Infatti se prendiamo per esempio = jj se noi studiamo la funzione per invece che su tutto il suo dominio (R) è più facile. Infatti = è la retta bisettrice del primo-terzo quadrante e se c è il modulo la funzione diventa pari. Si noti come la funzione sia speculare rispetto all asse delle ordinate = jj

2 Comportamenti di alcune funzioni Polinomi( 2 ) Polinomi( ) Radici( p ) Radici( p ) Esponenziale(e ) Logaritmo(log ) 4 Intersezione con gli assi - Segno della funzione 4. Intersezione con gli assi L intersezione con gli assi signi ca andare a vedere dove la funzione becca gli assi, insomma calcolare dove la funzione tocca nell asse delle ascisse o delle ordinate. Per fare ciò in formule si scrive che se la nostra funzione è del tipo = f() essa intercetterà l asse delle ascisse se e soltanto se f() = mentre intercetterà l asse delle ordinate se e soltanto se = f(): Per capire meglio è bene che faccia esempietto. Esempio 4.. Abbiamo la funzione = : Essa intercetta l asse delle ascisse in f() = ovvero = e in questo caso raccogliendo viene ( + )( 2 + ) = cioè =. Mentre se voglio sapere dove sbatte contro le ordinate basta fare = f() ovvero al posto della ci sostituisco e in questo caso viene = = cioè = : 2

3 4.2 Segno della funzione Il segno della funzione invece è la parte del piano in cui passa la funzione (se sopra o sotto l asse delle ascisse). Solitamente chi studia una funzione pone ovvero f() e poi si guarda dove la funzione e ettivamente sia positiva o meno. Esempio 4.2 Abbiamo la funzione = 2 4: Per studiare il segno pongo ovvero 2 4 cioè 2 _ 2. Quindi per 2_ 2 la funzione è positiva ovvero sta sopra l asse delle ascisse mentre per 2 2 la funzione è negativa ovvero sta al di sotto dello : = 2 4 Limiti agli estremi della funzione. Che cos è un ite? Il ite è uno strumento matematico che serve per vedere cosa succede alla funzione avvicinandosi a un punto (o all in nito), ovvero vogliamo vedere cosa accade a una funzione nell intorno del punto che vogliamo trattare, senza calcolare il suo valore nel punto. Ad esempio: f() = 7! questa scrittura mi dice che nell intorno di tre (ovvero nelle vicinanze di ) la funzione tende(si avvicina) al valore 7. Ma questo 7 non è proprio il valore della funzione in ma è il ite che può assumere la funzione nell intorno di : De nito il ite vorrei de nire il concetto di ite destro e di ite sinistro di una funzione. Se noi ci avviciniamo a un punto possiamo avvicinarci o da destra o da sinistra e quindi a volte, nello studio di funzioni, può capitare che la funzione nel suo dominio da una parte esiste e dall altra no. In questo caso si usa parlare di ite destro o ite sinistro. Ad esempio f() = +! + signi ca che guardando la funzione nell intorno destro di (ovvero guardando la funzione da destra verso sinistra) allora la mia funzione tende a +. Se invece del + c è il meno signi ca che la funzione la valuto nell intorno sinistro di. Scrivendolo ne deriva che:! f() = +

4 .2 Primi passi verso il calcolo dei iti Se abbiamo una funzione = f() e abbiamo il dominio di f() che è R (ovvero non abbiamo discontinuità) allora per fare il ite basta fare! f() = f( ) dove è un numero (o in nito). Quindi basta che sostituisca alla il valore di. E n qui è tutto normale. Se il dominio invece non è più R allora iniziano i casini, ovvero esistono delle tecniche che mi possono dire quanto vale una funzione nell intorno del valore di quel determinato punto : Vediamo la risoluzione di alcuni casi Caso Soluzione numero positivo/negativo numero positivo/negativo =????????? ; ;??? I punti interrogativi signi cano che non sappiamo di per sè la risposta ma esistono diversi metodi che possono aiutarmi a risolverli.. Limiti notevoli - caso / I iti notevoli che a noi ci interessano sono 4 ma ora ne prendiamo in considerazione solo. Essi sono: e. =! log( + ) 2. =! ( + ). = con 2 R! Ovviamente essi possono essere incasinati a piacere ovvero i iti si possono far tendere a dove vogliono (con un cambiamento di coordinate). Se il ite tende ad allora basta porre = t a nchè poi il ite tenda poi a (questo nel caso in cui è un numero nito). Se il ite tende ad ( sia più che meno) basta porre in questi iti = t sempre per far tendere a il ite. Esempio... ( ) 2 Calcolare : Questo è il caso in cui il ite tende ad con = 2. Qui devo porre quindi!2 2 2 = t lo facciamo e sostituiamo tenendo conto che se 2 = t allora = t + 2 e quindi il ite mi (t + ) 2 viene che = 2: t! t Esempio..2. Calcolare log(!+ + ): Questo è il caso in cui il ite tende ad. Qui devo porre far tendere t a. Se = t ) = log(t + ). Andando a sostituire = : t t! t = t per poi 4

5 .4 La de nizione di e - il numero di Nepero Il quarto ite che a noi interessa è la de nizione di e ovvero: + = e! Questo ite se = t allora t tende a e viene che: ( + t) t = e t! Anche qui le cose possono venire un pò scombusolate ma non è di cile proviamo a vedere un esempio: Esempio.4.. Calcolare! ( + ) : Qua è facile poichè ( + ) = h i ( + ) h i quindi ( + ) = e! Esempio.4.2. Calcolare! t = t! 4t t! : Qua faccio un cambio di coordinate ovvero 4 = t + " 2t = + # t 2 = e 2 t t! t ) 4t = : Allora. Caso = - rapporto tra polinomi Dati P n () = a n + a n + + a n + a n e dato Q m () = b m + b m + + b m + b m vogliamo calcolare P n ()!+ Q m () In questo caso si possono presentare tre sottocasi ovvero:!+ P n () Q m () = 8 >< >: se n > m + a se n = m b se n < m a n =!+ b m In parole povere vale la regola seguente: il ite all in nito di una frazione di polinomi è uguale al ite che tende all in nito di una frazione tra i termini di grado massimo dei polinomi. Esempio... Calcolare!+ Esempio..2. Calcolare il quindi!+!+ Esempio... Calcolare! : Qui abbiamo che n > m ovvero > 2 e quindi! = +: : Qui abbiamo n = m ovvero =. In questo caso a = mentre b = = 9 : 2 : Qui abbiamo n < m ovvero < 2 e quindi!+ 2 = :

6 .6 Caso = - regole sulla crescita delle funzioni Bisogna sapere che esistono diversi tipi di in nito, ovvero che diverse funzioni possono crescere più o meno rapidamente nell intorno dell in nito. Ciò implica che si può fare una scala di in niti tramite le funzioni che si può rappresentare rapidamente mediante questo schema: (log ) n < m < e p < per! + Ora tramite due esempi possiamo capire cosa realmente signi ca questa scala di valori Esempio. e Calcolare!+ 2 : Guardando lo schema qua sopra vediamo che e cresce molto più rapidamente di elevato a qualsivoglia n (in questo caso 2) e quindi e vince su 2 e quindi si può scrivere che!+ e 2!+ e = + Esempio 2. (log ) 2 Calcolare : Sempre riferendoci alla scala degli in niti vediamo che log elevato a una!+ qualsivoglia potenza m cresce sempre di meno di e quindi vince su (log ) 2 e quindi si può scrivere (log ) 2 che!+!+ = Per scrivere in lettere ciò che abbiamo detto sopra è molto facile. All in nito il logaritmo elevato a qualsivoglia potenza cresce meno rapidamente di ; elevato a qualsiasi potenza cresce meno di un esponenziale etc...(queste proprietà si possono vedere molto bene nei gra ci, comparando una funzione con l altra). 6

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