Considero 2x e sostituisco elemento del dominio con x, 2(-3)=6, oppure e il doppio?

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1 Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a disposizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo. 1. A) PRIME DOMANDE SULLE FUNZIONI [in blu la domanda-soluzione e in nero la mia risposta] [ ] le mando come ho risolto alcuni esercizi e i dubbi [ ] Z Z f(x)= 2x Dominio A codominio B Considero 2x e sostituisco elemento del dominio con x, 2(-3)=6, oppure e il doppio? LO E Sì il doppio! Anche se ha dimenticato il segno MENO! ma nel disegno ha fatto corretto. E una funzione iniettiva perche ad ogni elemento di B corrisponde un solo elemento di A. Iniettiva lo è, ma non ha dato la giustificazione completa. Una funzione è iniettiva se ad ogni elemento di B corrisponde l insieme vuoto o un solo elemento di A. In ogni caso deve dimostrarlo per TUTTI i numeri di Z così: f(x)=f(y) x=y per ogni x, y Z f(x) = 2x, f(y) =2y 2x=2y x=y OK! Non e surgettiva perche non vengono raggiunti tutti gli elementi di B. Sì esatto, ma essendo NON surgettiva, deve dare un esempio numerico, che mostri il perché. Ad esempio : 1 Im(f) perché non esiste alcun n Z t.c. 1=2n 1

2 1. B) PRIME DOMANDE SULLE FUNZIONI [in blu la domanda-soluzione e in nero la mia risposta] [ ] per studiare Q Q f(x)=2x Dominio A codominio B ho difficolta nel rappresentare i razionali. Devo considerare anche le frazioni oltre agli interi e naturali, pero quali? TUTTI! Un intero è una particolare frazione con 1 al denominatore. Q Q f(x)=x² Agli elementi del codominio corrispondono piu di un elemento del dominio quindi non e iniettiva. Deve determinare un caso numerico che provi ciò che afferma! Ad esempio può dire: l elemento 1 del codominio proviene dai due diversi elementi 1 e -1 del dominio. Nell esempio lei dice che non esiste x ε Q t.c. x²=-1. Devo considerare gli elementi del codominio verificando se corrisponde un quadrato nel dominio? Io ho preso l elemento -1 del codominio e ho detto che non c è nessun elemento x del dominio che elevato al quadrato dia -1. 2

3 2. DOMANDA SULLE FUNZIONI : IL PRIMO ESERCIZIO DELLA PROVA SCRITTA DEL [..] Il primo esercizio era questo: Sia f: R x R ---> R definita da f(z,w) = z³ + w² a) Dire se f è iniettiva b) Dire se f è surgettiva - Per la risposta a) la funzione non è iniettiva perchè ad esempio f(1,0) = f(0,1) = 1. - Per la b) ho pensato a questa cosa: per ogni x appartenente ad R vale questa uguaglianza: f( 3 x, 0) = ( 3 x )³ + 0 = x ed essendo il dominio e il codominio della funzione radice cubica definiti su R, la funzione è surgettiva. Volevo chiederle se è corretta la mia idea e se questo tipo di risposta è valida come risposta nella prova d'esame. Risposta validissima! 3. DOMANDA SULLE FUNZIONI : COME SI FA A VEDERE SE UNA FUNZIONE E INIETTIVA/SURGETTIVA? [ ]volevo sapere si mi può spiegare brevemente come fare il sistema per vedere se una funzione è iniettiva e/o surgettiva. E' iniettiva se: f(x)=f(y) => x=y. Per esempio la funzione f : N x N in Z data da f((x,y)) = 2x-y. La soluzione dice che non è iniettiva perchè: f((1,2)) = 0 = f((2,4)). Ma (1,2) e (2,4) come sono stati trovati? La definizione di f, detta a parole, è: alla coppia di numeri naturali (x,y) faccio corrispondere il numero intero 2x-y, ossia il doppio della prima componente meno la seconda componente. Se prendo a caso due coppie distinte in NxN ad esempio (0,1), (1,1), risulta f((0,1))= 2(0)-1 = -1 e f((1,1))= 2(1)-1 =1. Così ho trovato due elementi distinti nel dominio che hanno immagine distinta nel codominio. Ma sarà così tutte le volte che considero due coppie distinte nel dominio? E qua basta saper trovare le 2 coppie 'buone', ad esempio (1,2), (2,4) coppie diverse, che hanno la stessa immagine =0. Oppure ( 1,3), (2,5) ( molto meno spontaneo! ), ma va bene perchè f(( 1,3))=2(1)-3=-1 e f(( 2,5))=2(2)-5 = 4-5=-1. Dunque per i casi in cui le funzioni NON sono surgettive/iniettive basta trovare un caso, un esempio numerico. Per i casi invece in cui la funzione è iniettiva/surgettiva bisogna dimostrarlo per tutti gli elementi. 3

4 4. DOMANDA SULLE FUNZIONI : DUBBIO SULLA PRIMA DOMANDA DELLA PROVA SCRITTA DELL [ ] riguardo al primo esercizio appartenente alla prova scritta del , alla domanda trovare, se esistono, tre coppie distinte aventi immagine (1,2), per la funzione f: ZxZ ZxZ definita da f(z,w)=(z+w, 2z+2w) io ho svolto così: dato che ho definita f(z,w)=(z+w,2z+2w) e ho la coppia (1,2) ciò vuol dire che z+w=1 e 2z+2w=2 quindi devo trovare valori che sostituiti a z e w mi diano 1 in z+w e 2 in 2z+2w. Io ho trovato le seguenti coppie (1,0)(0,1)(-5,6). Va bene! [ ] L'altra domanda è dire se la funzione è surgettiva: come faccio a provare se una funzione è surgettiva? La funzione data è f: ZxZ ZxZ definita da f(z,w)=(z+w,2z+2w). La funzione è surgettiva se Im(f) coincide con l insieme ZxZ di arrivo, ossia se l insieme dei trasformati del dominio mediante f coincide con tutto il codominio ZxZ. f trasforma l elemento (z,w) del dominio ZxZ nell elemento (z+w,2z+2w) del codominio ZxZ Gli elementi (z+w,2z+2w) al variare di z, w in Z danno tutto ZxZ? questo numero è pari Allora ad esempio l elemento (1,3) del codominio non può essere raggiunto mediante f essendo il 3 dispari! Quindi f NON è surgettiva. Un altro modo poteva essere quello di notare che gli elementi (z+w,2z+2w) hanno la seconda componente doppia della prima, e quindi non possono ricoprire tutto il codominio, ad esempio l elemento (1,3) non viene raggiunto poiché 3 non è doppio di 1. 4

5 5. DOMANDA SULLE FUNZIONI : COME GIUSTIFICARE LA SURGETTIVITÀ DI QUESTA FUNZIONE [ ] Ho un dubbio riguardante l'argomento delle funzioni (iniettività e surgettività). In pratica, riesco a capire quando una funzione è surgettiva;non capisco,però, come giustificare la surgettività di questa funzione: Sia f : Q^2 -> Q la funzione definita da f ((x, y)) = x + y se x >= 0 2x se x < 0 Noto che per x<0 sono compresi sia i pari che i dispari,le frazioni e i numeri interi;stessa cosa per x>=0. Mi domando:come faccio (nell'esame di domani) a giustificarlo nella maniera corretta??(per farle capire meglio,come faccio a dire che se esiste ad esempio una coppia di numeri con immagine 6 ne esiste un'altra con immagine uguale a un altro numero intero qualsiasi?) Non so se sono stata chiara... Si è spiegata benissimo! Lei ha capito esattamente dove sta il problema. L esercizio non è dei più elementari, una soluzione è ad esempio questa, cerco di commentargliela. La funzione è : f: QxQ Q definita così f((x,y)) = Il dominio è suddiviso in due : le coppie (x,y) con la prima componente x 0 e le coppie (x,y) con la prima componente x <0. x + y 2x se x 0 se x < 0 In genere in questo tipo di esercizi in cui la funzione è definita a pezzi occorre sdoppiare la prova della surgettività. Allora sdoppiamo l insieme di arrivo in elementi 0 ed elementi <0 ( questo è un modo, si potrebbe farlo in modi diversi! ) Se a Q ed è a 0 esiste (a,0) QxQ t.c. f((a,0)) = a+0=a ( ho usato la definizione di f nel primo caso, cioè quello in cui la prima componente è 0 ) Se a Q ed è a<0 esiste ( 2 a,0) QxQ t.c. f(( 2 a,0)) = 2 2 a = a ( ho potuto usato la definizione di f nel secondo caso, cioè quello in cui la prima componente è <0, perché è a <0, essendo a<0 ). 2 Così qualunque sia l elemento a nell insieme di arrivo, trovo sempre un elemento del dominio che va a finire, mediante f in a. Le suggerisco, anche in casi più semplici di questo, di verificare prima (su un suo foglio a parte) qualche caso particolare, per rendersi conto se davvero la funzione è surgettiva. Questo aiuta sempre a stabilire la non surgettività e anche nel caso che la funzione sia surgettiva, suggerisce un metodo valido per tutti gli elementi e fare così poi la prova della surgettività. 5

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