1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile

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1 1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile Considerazioni introduttive Consideriamo la funzione f() = sin il cui dominio naturale è <\ {0}. Problema: non è possibile calcolare il valore di f per = 0,perchè0 non appartiene al dominio. E possibile valutare il comportamento di f se la, a partire da un valore "prossimo a" 0, si avvicina "quanto più possibile" a 0? Calcoliamo i valori di in radianti, sin() e sin(),a partire da =1fino ad avvicinarci a =0.

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3 Il rapporto sin si avvicina sempre più a 1, come si può riscontrare nel grafico della funzione y Possiamo riassumere questo comportamento dicendo che, per che "tende" a 0, sin "tende" a 1 cioè sin!0 =1

4 Se invece consideriamo altre funzioni, non sempre è possibile decidere il loro comportamento in prossimità di un dato punto usando un foglio di calcolo o un grafico. Esempio: f() =sin 1 y

5 LIMITI DI FUNZIONI Estendiamo la definizione di ite dalle successioni alle funzioni. Una successione dipende da una variabile n 2 N, quindi l operazione di ite serve a descrivere il suo comportamento asintotico, ovvero per n! +1. Mentre per una funzione f definita per esempio su un intervallo (a, b) è possibile descrivere il suo andamento sia agli estremi dell intervallo sia in qualsiasi punto tra a e b. Intorno di un punto. Si chiama intorno completo di un numero reale o di un punto c un qualsiasi intervallo aperto che contenga c. In particolare gli intervalli aperti di centro c si chiamano intorni circolari di c. Se indichiamo con " il raggio di tale intorno, lo indicheremo con (c % ", c + ")

6 e risulta essere l insieme degli 2 R tali che % c <", ">0 Sia f() una funzione definita in un intervallo [a, b], esclusoalmassimoun punto c interno ad esso. Limite finito di una funzione in un punto Definizione 1 La funzione f() per! c ha per ite il numero l f() =l!c quando in corrispondenza di un arbitrario numero positivo ", si può sempre deteminare un intorno completo H del punto c, tale che, 8 2 [a, b] che cade in H, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione f() % l <" ovvero l % "<f() <l+ "

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8 Esempio 1. Verificare che risulta!2 (2 % 1) = 3. La funzione è definita su tutto R. Preso un ">0 arbitrario e piccolo, verifichiamo che la disequazione 2 % 1 % 3 <" è verificata per tutti i valori di che formano un intorno completo del punto 2. 2 % 4 <"! 4 % "<2 <4+" 2 % "/2 <<2+"/2 intorno del punto 2 Osservazione. f(2) = 3 e perciò in questo caso risulta che (2 % 1) =!2 f(2): il ite coincide con il valore della funzione nel punto =2.

9 % 2 Esempio 2. Verificare che risulta p p =2 p 2. La funzione è definita!2 % 2 per >0 con 6= 2 Preso un ">0 arbitrario e piccolo, verifichiamo che la disequazione! % 2 p p % 2 p 2 % 2! <" è verificata per tutti i valori di che formano un intorno completo del punto 2, escluso =2dove la funzione non è definita.! Ma poichè 6= 2 % 2 p % p 2 = ( % 2) " p + p 2 # " p % p 2 #" p + p 2 # = p + p 2

10 e possiamo scrivere che!! p! + p 2 % 2 p 2! <"cioè p 2 % "< p < p 2+" Quindi risolvendo il sistema e supponendo che "< p 2 si trova che "p 2 % " # 2 << "p 2+" # 2 intorno di 2. Osservazione. Non esiste il valore della funzione per =2ma esiste il suo ite. y

11 Esempio 3. Data la funzione, definita su R verificare che f() = ( 2 per 6= 1 0 per =1 f() =2!1 Quindi dobbiamo verificare prefissato un ">0 che f() % 2 <" sia soddisfatta in tutti i punti di un intorno del punto 1 escluso al più 1 stesso. Per 6= 1si ha f() =2quindi verifichiamo che 2 % 2 <"ossia ">0 ed è soddisfatta in qualsiasi intorno del punto 1.

12 Osservazione. In questo caso abbiamo f(1) = 0 mentre!1 f() =2 quindi il ite della funzione nel punto 1 è diverso dal valore della funzione calcolato nello stesso punto.

13 Limite infinito di una funzione in un punto Definizione 2 Si dice che la funzione f() per! c ha per ite infinito f() =1!c quando in corrispondenza di un numero positivo M fissato a piacere, è possibile determinare un intorno H completo del punto c, tale che, 8 2 [a, b] \ H con 6= c risulti soddisfatta la disequazione % Esempio. Verificare che % 1 &!0 f() >M = 1. Dominio 6= 0

14 !! Verifichiamo che! %1! >M,qualunque sia il numero M>0 per tutti gli che formano un intorno di 0.!!! %1! >M! < 1 M!%1 M << 1 M In questo caso avremo che % % 1 & > 0, per<0; % % 1 & < 0, per>0 y

15 Limite destro e ite sinistro Definizione 3 Si dice che l è il ite destro della funzione f() per! c e si scrive =l!c +f() quando in corrispondenza di un arbitrario numero positivo ", sipuòsempre determinare un intorno destro H di c, tale che, 8 2 [a, b] \ H escluso eventualmente c risulti soddisfatta la disequazione f() % l <" Osservazione 4 Se l intorno H è un intorno sinistro del punto c, allora si dice che l è il ite sinistro di f()per!c %. Analo he definizioni si possono dare per iti infiniti di una funzione in un punto.

16 Osservazione 5 Se il ite destro e il ite sinistro di f() per! c esistono e sono uguali e pari a l allora l è il ite di f() per! c. Asintoti verticali. Quando f()!±1per che tende a c da destra e/o da sinistra, si dice che la retta di equazione = c è asintoto verticale per il grafico di f. Esempio. f() =1/( % 5) y

17 Limite finito (o infinito) di una funzione all infinito Definizione 6 Sia f una funzione definita in R. Si dice che la funzione f() per!1ha per ite il numero l f() =l!1 quando in corrispondenza di un arbitrario numero positivo ", si può sempre deteminare un numero N>0 tale che per ogni che verifica >Nsi abbia soddisfatta soltanto: f()%l < " - per >N, allora: f() =l!+1

18 - per, allora: f() =l.!%1 Definizione 7 Si dice che per!1la funzione f() ha per ite infinito, f() =1!1 quando in corrispondenza di un arbritrario M > 0 è sempre possibile determinare un numero N>0 tale che per ogni che verifica >N si abbia f() >M In particolare se >N,risulta: - per f() >M, allora: f() =+1!+1

19 - per f() < %M, allora: f() =%1.!+1 Mentre se <%N, risulta: - per f() >M, allora: f() =+1!%1 - per f() < %M, allora: f() =%1.!%1 Asintoti orizzontali. Quando!±1 f() =l la retta di equazione y = l ha un ruolo importante è prende il nome di asintoto orizzontale.

20 Esempio 1. Sia data la funzione f() = p 1+ 2 y Il dominio di f() sarà R. In questo caso non esistono asintoti verticali.

21 Dato che p! = "q = # la retta y =1è asintoto orizzontale. Inoltre p!% = "q = % # la retta y = %1 è asintoto orizzontale. Asintoti obliqui. Possono aversi solo nel caso di funzioni definite in intervalli ilitati. Se si ha f() =+1(%1)!+1

22 potrebbe esistere asintoto obliquo. In questo caso il grafico della funzione si accosta a quello di una retta di equazione y = m + q con m 6= 0 A nchè questa retta sia un asintoto obliquo della funzione occorre che esistano e siano finiti entrambi i seguenti iti: f()!+1 In maniera analoga si procede se = m 6= 0 e (f() % m) =q!+1 f() =+1(%1)!%1 Esempio 2. Sia data la funzione f() = 1 % 3 % 2 +3

23 y Il dominio della funzione sarà R\{%3}. Essendo 1 % 3 % 2!%3 ± +3 = ±1

24 la retta = %3 è asintoto verticale. Inoltre 1 % 3 % 2 = *1!±1 +3 non ci sono asintoti orizzontali ma possono esserci asintoti obliqui. Avremo m = f()!±1 =!±1 1 % 3 % = %1 q = [f() % m] =!±1 1 =!±1 +3 =0!±1 1 % 3 % Pertanto la funzione ha come asintoto obliquo la sola retta y = % per! ±1.! =

25 Definizione 8 Una funzione f che ha ite pari a 0 per! c (finito o infinito) si chiama infinitesimo per! c (finito o infinito).una funzione f che ha ite pari a ±1 per! c (finito o infinito) si chiama infinito per! c (finito o infinito). Teorema 9 (unicità del ite) Se esiste il ite di una funzione per! c (finito o infinito), esso è unico. Teorema 10 Siano a<c<be f monotona nell intervallo (a, b). Allora i iti!c +f() e!c %f() esistono e sono entrambi finiti. Esistono anche (finiti o infiniti)!a +f() e!b %f()

26 Esempio y f(c) c Il ite destro,! c +,coincideconf(c), il valore che la funzione assume nel punto c, checoincideconilminimo di f nell intervallo [c, b) dove b =+1. il ite sinistro di c invece è strettamente minore di f(c). Risulta quindi che + f(c) +!c %f()!c +f()

27 Teorema 11 ( Permanenza del segno) Se per! c la funzione ha un ite finito l non nullo, esiste un intorno del punto c per ogni del quale, escluso al più c, la funzione f() assume valori dello stesso segno del suo ite. Il terorema vale anche se l = ±1. Teorema 12 ( Confronto) Siano f, g, eh tre funzioni che, in un opportuno intorno di c, soddisfanoledisuguaglianze f() + g() + h(). 1. Se!c f() =!c h() =l, allora anche!c g() =l 2. Il teorema vale anche se l =+1 oppure l = %1.

28 Esempio. 1, ite notevole. Provare che sin!+1 =0 Infatti sappiamo che %1 + sin + 1 eper>0 % 1 + sin + 1 Ma!+1 (%1/) =0e!+1 (1/) =0, quindi per il confronto sin anche!+1 =0. y 1

29 Esempio. 2, ite notevole. Provare che sin!0 =1 Osserviamo preventivamente che la funzione f() = sin ha come dominio naturale R\{0} ed è una funzione pari (simmetrica rispetto all asse y). Quindi basterà calcolare il ite di f() per! 0 +. Per le note proprietà trigonometriche si ha, per 0 <<#/2 sin <<tan

30 Ora dividiamo per sin ( sempre positivo e non nullo per 0 <<#/2) la disuguaglianza sin < < tan e otteniamo 1 < sin < 1 cos

31 Passando ai reciproci abbiamo Per il teorema del confronto, essendo cos < sin < 1 costante pari a 1, avremo che!0 sin =1. cos =1, uguale per la funzione!0 +

32 Limiti e operazioni algebriche (insieme R [{%1, +1}) Definiamo per i simboli ±1 le operazioni di somma e prodotto e a 2 R +1 +(+1) =+1 %1+(%1) =%1 A +(±1) =±1 (±1) (±1) =+1 (*1) (±1) =%1 A 6= 0, A 1= 1 A 1 =0 1 A = 1 A 6= 0, A 0 = 1 Esistono forme come già introdotto nelle successioni che sono indeterminate: 0 1%1, 0 1, 0, 1 1 e altre forme di indeterminazione di tipo esponenziale che possono presentarsi quando si deve calcolare un ite della forma [f()] g() esono!c 0 0, 1 0, 1 1.

33 Date due funzioni f, g definite sullo stesso intervallo, possiamo costruire le funzioni somma, prodotto e quoziente f + g f g f/g (con g 6= 0) Se L, M 2 R [{%1, +1} possiamo a ermare che se allora f() =L,!c g() =M!c f()+g() =L + M, f()g() =LM,!c!c!c tranne se se verificano le forme indeterminate già introdotte. f() g() = L M

34 Confronti: richiamo simboli o e. Supponiamo che f, g siano infinitesimi (oppure infiniti) per! c con g 6= 0.Consideriamo il ite di f/g. avremo 4 possibilità:!c f() g() = 8 >< >: 0 (a) L finito e non nullo (b) ±1 (c) non esiste (d) (a) =) f è infinitesimo di ordine superiore a g (oppure f è infinito di ordine inferiore a g) e si scrive f() =o(g()) per! c

35 (b) =) f è dello stesso ordine di g per! c. In particolare, se L =1,le due funzioni si dicono asintotiche per! c e si scrive f(). g() per! c (c) =) f è infinitesimo di ordine inferiore a g (oppure f è infinito di ordine superiore a g) e si scrive g() =o(f()) per! c (d) =) f e g non sono confrontabili. La relazione. esprime un equivalenza di comportamento di fronte all operazione di ite e possiede le tre proprietà:

36 - riflessiva: f(). f() per! c; - simmetrica: f(). g() per! c se e solo se g(). f() per! c; quindi le due funzioni sono asintotiche; - transitiva: se f(). g() per! c e g(). h() per! c allora f(). h() per! c. Il simbolo o gode invece della proprietà transitiva: - se f() =o(g()) per! c e g() =o(h()) per! c, allora f() =o(h()) per! c.

37 Il simbolo asintotico è particolarmente utile nel calcolo dei iti. Infatti è possibile sostituire nel calcolo del ite di un prodotto o di un quoziente, ogni funzione con una ad essa asintotica (più semplice) in modo da facilitare il calcolo. Se f 1 (). f 2 () per! c e g 1 (). g 2 () per! c è immediato che!c f f 1()g 1 () = f!c 2 ()g 2 () e 1 ()!c g 1 () =!c f 2 () g 2 () Esempio: Il rapporto tra due polinomi nella variabile n, pern! +1, è asintotico al rapporto dei termini di grado massimo %n 3 + n 2 % 3n +4 2n 4 +2n 3 % 4. %n3 2n 4 = % 1 2n! 0

38 Gerarchie di infiniti. Se $<%avremo $!+1 % =!+1 $%% =0, equindiper$<%si ha $!0 + % =!0 +$%% =+1 $ = o " %# per! +1, % = o ( $ ) per! 0 + Quindi tra le potenze di,per! +1,sono trascurabili quelle con esponente minore, mentre per! 0 quelle con esponente maggiore. Anche le esponenziali con base diversa si posso "ordinare". Per esempio 2 = o (3 ) per! +1, infatti 2 % & =! 0 3.

39 Osservazione. Si possono confrontare tra loro le tre famiglie di funzioni: esponenziali, potenze e logaritmi. Teorema 13 Ogni infinito esponenziale è d ordine superiore a ogni infinito potenza; ogni infinito potenza è di ordine superiore ad ogni infinito logaritmico. Ossia per ogni $>1,% >0,& >0!+1 $ % =+1 e!+1 % (ln ) & =+1 Esempi. Si vogliano calcolare i seguenti iti: " 3 % 4# ", 2 % ln #!+1!+1

40 1.!+1 2.!+1! " 3 % 4# =3 1 % 4 3 " 2 % ln # = %1 2 % ln & 2! (+1)(1% 0) = +1.! (+1)(1% 0) = +1 Calcolo di alcuni iti usando i iti notevoli visti in precedenza. 1.!0 tan tan =1!!0 = sin 1!0 cos =1 1=1 2.!0 1 % cos!0 2 = 1 2!!0 sin (1+cos) = % cos 1+cos 2 1+cos =!0 1 % cos 2 2 (1 + cos ) =

41 1 % cos 3.!0 sin!0 1 % cos 1+cos =0!!0 1+cos = sin (1 + cos ) =1 0 2 =0!0 1 % cos 2 (1 + cos ) = 4.!0 ln(1 + ) =!0 ln(1 + ) 1 =lne =1 arcsin 5. = 1 Il calcolo di questo ite fornisce l occasione per!0 mostrare la tecnica del cambiamento di variabile, di frequentissima applicazione. Supponiamo di voler calcolare!c f [g()]

42 sapendo che g() =k. Poniamo y = g() ecalcoliamo f(y).!0 y!k E possibile fare il cambio di variabile se f(y) =f(k), ovvero se f è y!k continua in k e vale anche nel caso in cui k sia ±1. Poniamo arcsin = t equindi =sint se! 0 allora t! 0 e quindi avremo arcsin!0 t = t!0 sin =1 e % 1 6. =1 Poniamo e % 1=t! =ln(t +1) ese! 0 allora!0 anche t! 0. Quindi e % 1!0 = t!0 t ln(t +1) =1

43 FUNZIONI CONTINUE Osserviamo il grafico della funzione parte intera f() =bc y Il grafico procede a salti. La funzione è discontinua nei punti di ascissa intera.

44 Altrettanto per le funzioni f() = ( 1 if 2 0 %1 if <0 y discontinua in =0e

45 f() = 8 >< >: if +%4 %4 if %4 <<2 3 % if 2 + <4 y continua in tutto l asse reale escluso il punto =2.

46 Una funzione f è continua in un punto 0, se, variando di poco 0,cioè considerando il punto 0 +! molto vicino a 0, il corrispondente valore della f() cioè f( 0 +!) di erisce poco da f( 0 ) = 0 +!!f = f( 0 +!) % f( 0 )!f =0!!0 f() =f(! 0 ) 0 La di erenza!f = f( 0 +!) % f( 0 ) prende il nome di incremento della funzione nel passaggio della variabile indipendente dal valore 0 al valore 0 +!.

47 Definizione 14 Siano f definita in un intervallo I 3 R e 0 2 I. Si dice che f è continua in 0 se f() =f(! 0 ) 0 Si dice che f è continua in un insieme I se f è continua in tutti i punti di I. Dalle operazioni sui iti e dalla definizione di continuità in un punto si possono trarre le seguenti considerazioni: a) se f e g sono due funzioni entrambe continue in 0 allora anche la loro somma f + g e il loro prodotto f g sono funzioni continue in 0 ; b) se f e g sono due funzioni entrambe continue in 0 e g( 0 ) 6= 0allora anche la funzione quoziente f/g è continua in 0 ;

48 c) se f e g sono due funzioni entrambe continue in 0 e f( 0 ) > 0, anchela funzione potenza f g è continua in 0. Per le funzioni composte vale il seguente teorema. Teorema 15 Se f è continua in 0 2 I e g è continua in y 0 = f( 0 ),allora g, f, (g [f()]), è continua in 0. Osservazione. Le funzioni elementari potenza, esponenziali, logaritmiche, seno ecosenosono continue in ogni punto del loro dominio. Infatti D si ha $ = $! 0, a = a 0, log 0! a =log a 0, 0 sin = sin! 0, cos =cos 0! 0 0

49 Punti di discontinuità Richiedere che una funzione sia continua in un punto 0 equivale a richiedere che i due iti! + 0 f() e! % 0 f() - esistono esonofiniti, - sono uguali, - il loro valore comune è proprio f( 0 ).

50 Se almeno una delle tre condizioni non è soddisfatta si dice che f è discontinua in 0 oppure che 0 èunpunto di discontinuità. 1. Discontinuità di prima specie. Se! + 0 f() =l 1 e! % 0 f() =l 2 (l 1 6= l 2 ) si dice che la funzione f ha in 0 una discontinuità di prima specie. La di erenza l 2 % l 1 si chiama salto della funzione in corrispondenza di 0. Ad esempio la funzione f() = ( +3 if 2 1 %2 if <1

51 y ha nel punto 0 =1una discontinuità di prima specie essendo con salto pari a 6. =4e f() =%2!1 +f()!1

52 2. Discontinuità di seconda specie. Se almeno uno dei due iti! + 0 f() e! % 0 f() o non esiste oppure se esiste è infinito, si dice che la f ha nel punto 0 una discontinuità di seocnda specie. Ad esempio la funzione f() =tan y

53 ha in 0 = #/2+k# (k 2 Z) discontinuità di seconda specie. Anche f() =e 1 y ha nel punto 0 =0(D = R/ {0}) una discontinuità di seconda specie essendo!0 %e1 =0 e!0 +e1 =+1

54 3. Discontinuità di terza specie. Se esiste ed è finito il ite della funzione in 0! 0 f() =l ma, o non esiste f( 0 ) oppure f( 0 ) 6= l, didicechelafunzionef ha in 0 una discontinuità di terza specie o einabile. Infatti è possibile einare tale discontinuità attribuendo alla funzione nel punto 0 il valore del ite in quel punto Ad esempio, la funzione f() =( f() per 6= 0 l per = 0 f() = 22 % 8 % 2

55 y è continua 8 6= 2e ha nel punto 0 =2una discontinuità di terza specie: infatti, pur non esistendo f(2), esiste ed è finito il suo ite: 2 2 % 8!2 % 2 = 2( % 2)( +2)!2 % 2 =8

56 Tale funzione può essere resa continua anche nel punto 0 =2definendola come f() = ( 2 2 %8 %2 per 6= 2 8 per =2 Osservazione. Se una funzione è discontinua nel punto 0,puòdarsicheuno dei due iti destro o sinistro coincida con f( 0 ). In tal caso diremo che la f è continua da destra o da sinistra in 0.

57 Continuità delle funzioni inverse. Ricordiamo brevemente che data una funzione f : X! Y, con X, Y 3 R, la sua inversa se esiste è unica ed è la funzione f %1 : Y! X tale che y = f() () = f %1 (y) 8 2 X, 8y 2 Y Riguardo alla continuita di f %1 vale il seguente teorema Teorema 16 Se una funzione f :(a, b)! (c, d) biunivoca e continua. Allora la sua inversa f %1 è anch essa continua in (c, d). Se f continua in (a, b) è invertibile, allora deve essere strettamente monotona.

58 Esempio. Consideriamo la funzione f() :[0, 4]! [0, 2] /! p 4 % y (0,2) (4,0) Essa è continua e strettamente decrescente in [0, 4]. La sua funzione inversa f %1 () :[0, 2]! [0, 4]

59 y = p 4 %! =4% y 2! f %1 () =4% 2 il grafico dell inversa è il simmetrico di quello di f rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante y (0,4) (0,2) (2,0) (4,0) La f %1 è chiaramente continua in (0, 2) e strettamente decrescente.

60 Teoremi fondamentali sulle funzioni continue. Teorema 17 ( Esistenza degli zeri) Sia f una funzione continua nell intervallo [a, b]. Se i valori di f negli estermi dell intervallo sono di segno opposto, cioè se f(a) f(b) < 0, alloraf ha almeno uno zero in (a, b), ossia esiste almeno un punto c 2 (a, b) tale che f(c) =0 Se f è strettamente monotona allora lo zero è unico. Il metodo usato per dimostrare questo teorema si chiama anche metodo di bisezione ed è anche un metodo pratico per trovare una approssimazione di uno zero, nel caso non sia possibile trovarlo con i metodi tradizionali dell algebra. Si considera il punto medio,m 0 di [a, b]: sef(m 0 )=0allora abbiamo finito.

61 Se invece f(m 0 ) 6= 0si considera il nuovo intevallo [a 1,b 1 ] =[a 0,m 0 ] se f(a 0 ) f(m 0 ) < 0, altrimenti [a 1,b 1 ] = [m 0,b 0 ] : in ogni caso si avrà f(a 1 ) f(b 1 ) < 0. Ripetendo il discorso su [a 1,b 1 ],osiconcludeconun punto c come richiesto o si procede ancora. Segnaliamo che, anche in casi semplici, è possibile che occorrano tutti i passi della dimostrazione, cioè che non si concluda in un numero finito di passi: basta considerare la funzione f() = 2 % 2, nell intervallo [0, 2], con f(0) = %2 e f(2) = 2; intale intervallo la funzione si annulla per il numero irrazionale c = p 2. Teorema 18 (Dei valori intermedi) Sia f una funzione continua nell intervallo chiuso e itato [a, b]. Allora f assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b). Presi due punti c e d arbitrariamente tra a e b, il teorema si può applicare anche all intervallo [c, d]: se ne deduce che la funzione assume tutti i valori compresi tra due suoi valori qualunque. Per questo si chiama teorema di tutti i valori.

62 Teorema 19 ( Weierstrass) Se f è una funzione continua nell intervallo chiuso e itato [a, b],allora assume massimo e minimo, ossia esistono almeno due punti 1 e 2 in [a, b],tali che, 8 2 [a, b] si ha m := f( 1 ) + f() + f( 2 )=:M Osservazione 1. Il massimo e il minimo di una funzione continua in un intervallo chiuso [a, b] possono cadere tanto nei punti interni all intervallo, quanto negli estremi di esso, oppure uno all interno l altro in un estremo. Perciò se la funzione f è strettamente crescente (decrescente) in [a, b], essa raggiunge il massimo (minimo) nell estrmo destro b, mentre raggiunge il minimo (massimo) nell estremo sinistro a. Osservazione 2. Una funzione continua in un intervallo chiuso e itato [a, b] assume, almeno uno volta, qualunque valore compreso tra il suo minimo e il suo massimo (per il teorema degli zeri).

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