Le funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p.

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1 Le funzioni elementari Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. /43

2 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 2/43

3 Funzioni lineari e affini Le funzioni lineari sono del tipo f : R R f() = m m R Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 3/43

4 Funzioni lineari e affini Le funzioni lineari sono del tipo f : R R f() = m m R Il grafico è una retta passante per l origine Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 3/43

5 Funzioni lineari e affini Le funzioni lineari sono del tipo f : R R f() = m m R Il grafico è una retta passante per l origine y Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Casom > 0 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 3/43

6 Funzioni lineari e affini Le funzioni lineari sono del tipo f : R R f() = m m R Il grafico è una retta passante per l origine y y Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Casom > 0 Casom < 0 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 3/43

7 Le funzioni affini sono del tipo f : R R f() = m+q m,q R Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 4/43

8 Le funzioni affini sono del tipo f : R R f() = m+q Il grafico è una retta m,q R Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 4/43

9 Le funzioni affini sono del tipo f : R R f() = m+q Il grafico è una retta y m,q R Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Casom > 0 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 4/43

10 Le funzioni affini sono del tipo f : R R f() = m+q Il grafico è una retta m,q R Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale y y Casom > 0 Casom < 0 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 4/43

11 Le funzioni affini sono del tipo f : R R f() = m+q Il grafico è una retta m,q R Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale y y y Casom > 0 Casom < 0 Caso m = 0 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 4/43

12 y y = m+q Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 5/43

13 y y = m+q Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale q è il termine noto Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 5/43

14 y (0,q) y = m+q Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale q è il termine noto, e rappresenta l ordinata del punto d intersezione con l asse y Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 5/43

15 y y = m+q Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale q è il termine noto, e rappresenta l ordinata del punto d intersezione con l asse y m è il coefficiente angolare Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 5/43

16 y α y = m+q Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale q è il termine noto, e rappresenta l ordinata del punto d intersezione con l asse y m è il coefficiente angolare, ed è la tangente dell angoloα Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 5/43

17 Potenze ad esponente naturale La funzione potenza ad esponenten R R n dove n = } {{ } n volte (n N\{0}) Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 6/43

18 Potenze ad esponente naturale La funzione potenza ad esponenten R R n dove n = } {{ } n volte (n N\{0}) Le potenze ad esponente pari sono funzioni pari, quelle ad esponente dispari sono dispari Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 6/43

19 Potenze ad esponente naturale La funzione potenza ad esponenten R R n dove n = } {{ } n volte (n N\{0}) Le potenze ad esponente pari sono funzioni pari, quelle ad esponente dispari sono dispari Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale n pari n dispari (n 3) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 6/43

20 Confronto tra potenze Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 7/43

21 Confronto tra potenze f () = 2 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 7/43

22 Confronto tra potenze f () = 2 f 2 () = 4 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 7/43

23 Confronto tra potenze f () = 2 f 2 () = 4 f 3 () = 6 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 7/43

24 Confronto tra potenze f () = 2 f 2 () = 4 f 3 () = 6 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale g () = Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 7/43

25 Confronto tra potenze f () = 2 f 2 () = 4 f 3 () = 6 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale g () = g () = 3 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 7/43

26 Confronto tra potenze f () = 2 f 2 () = 4 f 3 () = 6 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale g () = g () = 3 g 2 () = 5 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 7/43

27 Confronto tra potenze f () = 2 f 2 () = 4 f 3 () = 6 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale g () = g () = 3 g 2 () = 5 g 3 () = 7 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 7/43

28 Polinomi e funzioni razionali I polinomi sono funzioni dar R, del tipo n a 0 + a k k k= = a 0 +a + +a n n +a n n dove a 0,...,a n sono assegnati numeri reali Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 8/43

29 Polinomi e funzioni razionali I polinomi sono funzioni dar R, del tipo n a 0 + a k k k= = a 0 +a + +a n n +a n n dove a 0,...,a n sono assegnati numeri reali Le funzioni razionali sono del tipo R() = P() Q() definite su { : Q() 0}, dove P e Q sono polinomi Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 8/43

30 Parabola Il grafico di ogni polinomio di grado 2 f : R R f() = a 2 +b+c a,b,c R, a 0 rappresenta una parabola nel piano R 2 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 9/43

31 Parabola Il grafico di ogni polinomio di grado 2 f : R R f() = a 2 +b+c a,b,c R, a 0 rappresenta una parabola nel piano R 2 y y Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale a > 0 a < 0 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 9/43

32 Parabola Il grafico di ogni polinomio di grado 2 f : R R f() = a 2 +b+c a,b,c R, a 0 rappresenta una parabola nel piano R 2 Il vertice V ha coordinate ( V = b 2a,f( b ) 2a ) f( b 2a ) y V Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale b 2a Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 9/43

33 Parabola Il grafico di ogni polinomio di grado 2 f : R R f() = a 2 +b+c a,b,c R, a 0 rappresenta una parabola nel piano R 2 Il vertice V ha coordinate ( V = b 2a,f( b ) 2a ) I punti d intersezione con l assehanno ascissa, 2, soluzioni dell equazione a 2 +b+c = 0 y 2 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 9/43

34 Potenze ad esponente intero Un esempio di funzione razionale è la Potenza ad esponente intero (negativo): R\{0} R n := n Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 0/43

35 Potenze ad esponente intero Un esempio di funzione razionale è la Potenza ad esponente intero (negativo): R\{0} R n := n Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale y y n pari n dispari Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 0/43

36 Iperbole equilatera È una funzione razionale del tipo f : R\{ d c } R f() = a+b c+d a,b,c,d R, c 0 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. /43

37 Iperbole equilatera È una funzione razionale del tipo f : R\{ d c } R f() = a+b c+d y a,b,c,d R, c 0 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale y = a c = d c Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. /43

38 Iperbole equilatera È una funzione razionale del tipo f : R\{ d c } R f() = a+b c+d a,b,c,d R, c 0 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale y y = d c y = a c y = a c = d c Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. /43

39 Iperbole equilatera È una funzione razionale del tipo f : R\{ d c } R f() = a+b c+d a,b,c,d R, c 0 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Gli asintoti dell iperbole hanno equazione y = d c = d c, y = a c y = a c Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. /43

40 Radice quadrata Si dimostra che per ogni y 0 esiste un unica soluzione non negativa dell equazione 2 = y nell incognita 2 y y Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Tale soluzione si indica con il simbolo y Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 2/43

41 Radice quadrata Altrimenti detto, la funzione [0,+ [ [0,+ [ 2 è invertibile 2 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 2/43

42 Radice quadrata Altrimenti detto, la funzione [0,+ [ [0,+ [ 2 è invertibile 2 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale L inversa è detta radice quadrata di : [0,+ [ [0,+ [ Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 2/43

43 Radice quadrata Altrimenti detto, la funzione [0,+ [ [0,+ [ è invertibile 2 L inversa è detta radice quadrata di : 2 simmetria Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale [0,+ [ [0,+ [ Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 2/43

44 Radice quadrata Altrimenti detto, la funzione [0,+ [ [0,+ [ è invertibile 2 L inversa è detta radice quadrata di : 2 simmetria Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale [0,+ [ [0,+ [ Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 2/43

45 Radice cubica Si dimostra che per ogni y R esiste un unica soluzione dell equazione 3 = y nell incognita Tale soluzione si indica con il simbolo 3 y 3 y 3 y Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 3/43

46 Radice cubica Altrimenti detto, la funzione R R 3 è invertibile 3 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 3/43

47 Radice cubica Altrimenti detto, la funzione R R 3 è invertibile 3 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale L inversa è detta radice cubica di : R R 3 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 3/43

48 Radice cubica Altrimenti detto, la funzione è invertibile R R 3 3 simmetria Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale L inversa è detta radice cubica di : R R 3 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 3/43

49 Radice cubica Altrimenti detto, la funzione è invertibile R R 3 3 simmetria Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale L inversa è detta radice cubica di : 3 R R 3 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 3/43

50 Radice n-esima In generale, se n è pari, la funzione [0,+ [ [0,+ [ n n Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale è invertibile Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 4/43

51 Radice n-esima In generale, se n è pari, la funzione [0,+ [ [0,+ [ n n Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale è invertibile L inversa è detta radice n-esima di : [0,+ [ [0,+ [ n Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 4/43

52 Radice n-esima In generale, se n è pari, la funzione [0,+ [ [0,+ [ n n Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale è invertibile simmetria L inversa è detta radice n-esima di : [0,+ [ [0,+ [ n Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 4/43

53 Radice n-esima In generale, se n è pari, la funzione [0,+ [ [0,+ [ n è invertibile n simmetria Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale L inversa è detta radice n-esima di : [0,+ [ [0,+ [ n n n con n pari Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 4/43

54 In generale, se n 3 è dispari, la funzione R R n n Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale è invertibile Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 5/43

55 In generale, se n 3 è dispari, la funzione R R n n Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale è invertibile L inversa è detta radice n-esima di : R R n Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 5/43

56 In generale, se n 3 è dispari, la funzione R R n n Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale è invertibile simmetria L inversa è detta radice n-esima di : R R n Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 5/43

57 In generale, se n 3 è dispari, la funzione R R n n Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale è invertibile simmetria L inversa è detta radice n-esima di : n R R n n conndispari Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 5/43

58 Confronto tra radicin-esime y f () = 2 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 6/43

59 Confronto tra radicin-esime y f () = 2 f 2 () = 4 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 6/43

60 Confronto tra radicin-esime y f () = 2 f 2 () = 4 f 3 () = 6 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 6/43

61 Confronto tra radicin-esime y f () = 2 f 2 () = 4 f 3 () = 6 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale y f 4 () = 3 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 6/43

62 Confronto tra radicin-esime y f () = 2 f 2 () = 4 f 3 () = 6 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale y f 4 () = 3 f 5 () = 5 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 6/43

63 Confronto tra radicin-esime y f () = 2 f 2 () = 4 f 3 () = 6 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale y f 4 () = 3 f 5 () = 5 f 6 () = 7 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 6/43

64 Potenze ad esponente reale Siano m Z\{0}, n N\{0}, > 0 La potenza ad esponente razionalem/n è m n := ( n ) m Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 7/43

65 Potenze ad esponente reale Siano m Z\{0}, n N\{0}, > 0 La potenza ad esponente razionalem/n è m n := ( n ) m Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto tra potenze Polinomi e funzioni razionali Parabola Potenze ad esponente intero Iperbole equilatera Radice quadrata Radice cubica Radice n-esima Potenze ad esponente reale È possibile infine definire la potenza ad esponente reale a quando > 0 ea R Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 7/43

66 Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 8/43

67 Funzione esponenziale La funzione esponenziale di base a > 0 è ep a : R ]0,+ [ a Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 9/43

68 Funzione esponenziale La funzione esponenziale di base a > 0 è ep a : R ]0,+ [ a Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Chiameremo funzione esponenziale la funzioneep e dove e è il numero di Neper Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 9/43

69 Funzione esponenziale La funzione esponenziale di base a > 0 è ep a : R ]0,+ [ a Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Chiameremo funzione esponenziale la funzioneep e dove e è il numero di Neper y y a > 0 < a < Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 9/43

70 Confronto tra esponenziali f () = 0 y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 20/43

71 Confronto tra esponenziali f () = 0 f 2 () = 5 y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 20/43

72 Confronto tra esponenziali f () = 0 f 2 () = 5 f 3 () = e y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 20/43

73 Confronto tra esponenziali f () = 0 f 2 () = 5 f 3 () = e f 4 () = 2 y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 20/43

74 Confronto tra esponenziali f () = 0 f 2 () = 5 f 3 () = e f 4 () = 2 f 5 () = y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 20/43

75 Confronto tra esponenziali f () = 0 f 2 () = 5 f 3 () = e f 4 () = 2 f 5 () = f 6 () = ( 2 ) y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 20/43

76 Confronto tra esponenziali f () = 0 f 2 () = 5 f 3 () = e f 4 () = 2 f 5 () = ) f 6 () = ( 2 f 7 () = ( 5) y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 20/43

77 Proprietà dell esponenziale Per ogni,y reali ea > 0 a 0 = Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 2/43

78 Proprietà dell esponenziale Per ogni,y reali ea > 0 a 0 = ep a è crescente e biettiva se a > : < y a < a y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 2/43

79 Proprietà dell esponenziale Per ogni,y reali ea > 0 a 0 = ep a è crescente e biettiva se a > : < y a < a y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo ep a è decrescente e biettiva se 0 < a < : < y a > a y Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 2/43

80 Proprietà dell esponenziale Per ogni,y reali ea > 0 a 0 = ep a è crescente e biettiva se a > : < y a < a y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo ep a è decrescente e biettiva se 0 < a < : < y a > a y a a y = a +y (prodotto) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 2/43

81 Proprietà dell esponenziale Per ogni,y reali ea > 0 a 0 = ep a è crescente e biettiva se a > : < y a < a y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo ep a è decrescente e biettiva se 0 < a < : < y a > a y a a y = a +y (a ) y = a y (prodotto) (composizione) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 2/43

82 Proprietà dell esponenziale Per ogni,y reali ea > 0 a 0 = ep a è crescente e biettiva se a > : < y a < a y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo ep a è decrescente e biettiva se 0 < a < : < y a > a y a a y = a +y (a ) y = a y a = ( a ) = a (prodotto) (composizione) (reciproco) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 2/43

83 Funzione logaritmica Siaa > 0, a Si dimostra che per ogni y > 0 esiste un unica soluzione dell equazionea = y Tale soluzione si indica con il simbolo log a y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Altrimenti detto, la funzioneep a è invertibile Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 22/43

84 Funzione logaritmica Siaa > 0, a. L inversa diep a log a :]0,+ [ R è detta logaritmo in base a Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 22/43

85 Funzione logaritmica Siaa > 0, a. L inversa diep a log a :]0,+ [ R è detta logaritmo in base a Il logaritmo naturale èlog e e lo indicheremo con log oppureln Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 22/43

86 Funzione logaritmica Siaa > 0, a. L inversa diep a log a :]0,+ [ R è detta logaritmo in base a Il logaritmo naturale èlog e e lo indicheremo con log oppureln y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Grafico dia (a > ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 22/43

87 Funzione logaritmica Siaa > 0, a. L inversa diep a log a :]0,+ [ R è detta logaritmo in base a Il logaritmo naturale èlog e e lo indicheremo con log oppureln y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo simmetria Grafico dia (a > ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 22/43

88 Funzione logaritmica Siaa > 0, a. L inversa diep a log a :]0,+ [ R è detta logaritmo in base a Il logaritmo naturale èlog e e lo indicheremo con log oppureln y y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo simmetria Grafico dia (a > ) Grafico dilog a (a > ) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 22/43

89 Funzione logaritmica Siaa > 0, a. L inversa diep a log a :]0,+ [ R è detta logaritmo in base a Il logaritmo naturale èlog e e lo indicheremo con log oppureln y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Grafico di a ( > a > 0) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 22/43

90 Funzione logaritmica Siaa > 0, a. L inversa diep a log a :]0,+ [ R è detta logaritmo in base a Il logaritmo naturale èlog e e lo indicheremo con log oppureln y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo simmetria Grafico di a ( > a > 0) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 22/43

91 Funzione logaritmica Siaa > 0, a. L inversa diep a log a :]0,+ [ R è detta logaritmo in base a Il logaritmo naturale èlog e e lo indicheremo con log oppureln y y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo simmetria Grafico di a ( > a > 0) Grafico di log a ( > a > 0) Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 22/43

92 Confronto tra logaritmi y f () = log 0 Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 23/43

93 Confronto tra logaritmi y f () = log 0 f 2 () = log 5 Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 23/43

94 Confronto tra logaritmi y f () = log 0 f 2 () = log 5 f 3 () = ln Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 23/43

95 Confronto tra logaritmi y Funzione esponenziale f () = log 0 f 2 () = log 5 f 3 () = ln f 4 () = log 2 Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 23/43

96 Confronto tra logaritmi y Funzione esponenziale f () = log 0 f 2 () = log 5 f 3 () = ln f 4 () = log 2 f 5 () = log /2 Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 23/43

97 Confronto tra logaritmi y Funzione esponenziale f () = log 0 f 2 () = log 5 f 3 () = ln f 4 () = log 2 f 5 () = log /2 Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo f 6 () = log /5 Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 23/43

98 Proprietà del logaritmo Per ogni > 0, y R log a = y = a y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 24/43

99 Proprietà del logaritmo Per ogni > 0, y R log a = y = a y log a a = per ogni R Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 24/43

100 Proprietà del logaritmo Per ogni > 0, y R log a = y = a y log a a = per ogni R a loga = per ogni > 0 Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 24/43

101 Proprietà del logaritmo Per ogni > 0, y R log a = y = a y log a a = per ogni R a log a = per ogni > 0 log a = 0, log a a = Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 24/43

102 Proprietà del logaritmo Per ogni > 0, y R log a = y = a y log a a = per ogni R a log a = per ogni > 0 log a = 0, log a a = log a è crescente e biettiva sea > : 0 < < y log a < log a y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 24/43

103 Proprietà del logaritmo Per ogni > 0, y R log a = y = a y log a a = per ogni R a log a = per ogni > 0 log a = 0, log a a = log a è crescente e biettiva sea > : 0 < < y log a < log a y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo log a è decrescente e biettiva se0 < a < : 0 < < y log a > log a y Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 24/43

104 Per ogni,y > 0, z R, b > 0, b log a (y) = log a +log a y Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 25/43

105 Per ogni,y > 0, z R, b > 0, b log a (y) = log a +log a y log a = log a Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 25/43

106 Per ogni,y > 0, z R, b > 0, b log a (y) = log a +log a y log a = log a log a z = zlog a Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 25/43

107 Per ogni,y > 0, z R, b > 0, b log a (y) = log a +log a y log a = log a log a z = zlog a log b = log a log a b (cambio di base) Funzione esponenziale Proprietà dell esponenziale Funzione logaritmica Proprietà del logaritmo Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 25/43

108 Definizione Proprietà del valore assoluto Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 26/43

109 Definizione La funzione valore assoluto di è dove = R [0,+ [ { se 0 se < 0 Definizione Proprietà del valore assoluto Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 27/43

110 Definizione La funzione valore assoluto di è dove = R [0,+ [ { se 0 se < 0 Definizione Proprietà del valore assoluto y Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 27/43

111 Proprietà del valore assoluto 0 per ogni R Definizione Proprietà del valore assoluto Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 28/43

112 Proprietà del valore assoluto 0 per ogni R = 0 = 0 Definizione Proprietà del valore assoluto Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 28/43

113 Proprietà del valore assoluto 0 per ogni R = 0 = 0 = per ogni R Definizione Proprietà del valore assoluto Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 28/43

114 Proprietà del valore assoluto 0 per ogni R = 0 = 0 = per ogni R 2 = 2 per ogni R Definizione Proprietà del valore assoluto Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 28/43

115 Proprietà del valore assoluto 0 per ogni R = 0 = 0 = per ogni R 2 = 2 per ogni R 2 = per ogni R Definizione Proprietà del valore assoluto Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 28/43

116 Proprietà del valore assoluto 0 per ogni R = 0 = 0 = per ogni R 2 = 2 per ogni R 2 = per ogni R y = y per ogni,y R Definizione Proprietà del valore assoluto Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 28/43

117 Proprietà del valore assoluto 0 per ogni R = 0 = 0 = per ogni R 2 = 2 per ogni R 2 = per ogni R y = y per ogni,y R y = per ogni,y R, y 0 y Definizione Proprietà del valore assoluto Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 28/43

118 Proprietà del valore assoluto 0 per ogni R = 0 = 0 = per ogni R 2 = 2 per ogni R 2 = per ogni R y = y per ogni,y R y = per ogni,y R, y 0 y +y + y per ogni,y R (disuguaglianza triangolare) Definizione Proprietà del valore assoluto Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 28/43

119 La circonferenza goniometrica Seno e coseno Funzioni periodiche Proprietà del seno e coseno Grafico del seno e coseno Tangente Cotangente Grafico della tangente e cotangente Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 29/43

120 La circonferenza goniometrica Nel piano R 2 consideriamo la circonferenzac di centro l origine e raggio. z La circonferenza goniometrica Seno e coseno Funzioni periodiche Proprietà del seno e coseno Grafico del seno e coseno Tangente Cotangente Grafico della tangente e cotangente w Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 30/43

121 La circonferenza goniometrica Nel piano R 2 consideriamo la circonferenzac di centro l origine e raggio. Si può costruire una funzione ρ : R C nel modo seguente: z La circonferenza goniometrica Seno e coseno Funzioni periodiche Proprietà del seno e coseno Grafico del seno e coseno Tangente Cotangente Grafico della tangente e cotangente w Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 30/43

122 La circonferenza goniometrica Nel piano R 2 consideriamo la circonferenzac di centro l origine e raggio. Si può costruire una funzione ρ : R C nel modo seguente: z ρ(0) = (,0) La circonferenza goniometrica Seno e coseno Funzioni periodiche Proprietà del seno e coseno Grafico del seno e coseno Tangente Cotangente Grafico della tangente e cotangente w Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 30/43

123 La circonferenza goniometrica Nel piano R 2 consideriamo la circonferenzac di centro l origine e raggio. Si può costruire una funzione ρ : R C nel modo seguente: ρ(0) = (,0) se 0 allora ρ() si ottiene partendo da (, 0) w z La circonferenza goniometrica Seno e coseno Funzioni periodiche Proprietà del seno e coseno Grafico del seno e coseno Tangente Cotangente Grafico della tangente e cotangente Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 30/43

124 La circonferenza goniometrica Nel piano R 2 consideriamo la circonferenzac di centro l origine e raggio. Si può costruire una funzione ρ : R C nel modo seguente: z ρ(0) = (,0) ρ() se 0 allora ρ() si ottiene partendo da (,0) e percorrendo su C un arco di lunghezza nel verso antiorario, se > 0 w La circonferenza goniometrica Seno e coseno Funzioni periodiche Proprietà del seno e coseno Grafico del seno e coseno Tangente Cotangente Grafico della tangente e cotangente Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 30/43

125 La circonferenza goniometrica Nel piano R 2 consideriamo la circonferenzac di centro l origine e raggio. Si può costruire una funzione ρ : R C nel modo seguente: z ρ(0) = (,0) se 0 allora ρ() si ottiene partendo da (,0) e percorrendo su C un arco di lunghezza nel verso antiorario, se > 0, orario se ρ() < 0 w La circonferenza goniometrica Seno e coseno Funzioni periodiche Proprietà del seno e coseno Grafico del seno e coseno Tangente Cotangente Grafico della tangente e cotangente Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 30/43

126 Seno e coseno Le due coordinate del puntoρsi chiamano coseno e seno di ρ() = ( cos,sen ) La circonferenza goniometrica Seno e coseno Funzioni periodiche Proprietà del seno e coseno Grafico del seno e coseno Tangente Cotangente Grafico della tangente e cotangente ρ() sen cos Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 3/43

127 Funzioni periodiche Una funzione f : R R si dice periodica di periodo T 0 se per ogni R si ha f(+t) = f() La circonferenza goniometrica Seno e coseno Funzioni periodiche Proprietà del seno e coseno Grafico del seno e coseno Tangente Cotangente Grafico della tangente e cotangente Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. 32/43

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