Anno 5 Funzioni reali: proprietà

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1 Anno 5 Funzioni reali: proprietà 1

2 Introduzione In questa lezione impareremo a riconoscere le proprietà delle funzioni reali. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire i concetti di: funzione crescente e decrescente funzione pari e dispari funzione periodica funzione limitata superiormente o inferiormente massimo e minimo di una funzione In questa lezione impareremo riconoscere le proprietà delle funzioni reali. Alla fine di questa lezione sarai in grado di definire i concetti di: funzione crescente e decrescente; funzione pari e dispari; funzione periodica; funzione limitata superiormente o inferiormente; massimo e minimo di una funzione. 2

3 Funzione strettamente crescente o decrescente Funzione strettamente crescente La funzione f: [a,b] R è strettamente crescente nell'intervallo [a,b] se: x 1, x 2 [a,b] x 1 < x 2 : f(x 1 ) < f(x 2 ) Funzione strettamente decrescente La funzione f: [a,b] R è strettamente decrescente nell'intervallo [a,b] se: x 1, x 2 [a,b] x 1 < x 2 : f(x 1 ) > f(x 2 ) Funzione crescente f(x 1 ) f(x 2 ) Funzione decrescente f(x 1 ) f (x 2 ) Strettamente crescente Strettamente decrescente Crescente Decrescente Intuitivamente una funzione è crescente quando va verso l'alto. Formalmente una funzione y=f(x) si dice strettamente crescente in un intervallo [a,b] se comunque presi due punti appartenenti all intervallo, con x 1 <x 2, si ha che f(x 1 )<f(x 2 ). La definizione appena data si può estendere per definire una funzione crescente sostituendo la seconda disuguaglianza con f(x 1 ) f(x 2 ). Analogamente una funzione y=f(x) si dice strettamente decrescente in un intervallo [a,b] se comunque presi due punti appartenenti all intervallo, con x 1 <x 2, si ha che f(x 1 )>f(x 2 ). Anche questa definizione si può estendere per definire una funzione decrescente sostituendo la seconda disuguaglianza con f(x 1 ) f(x 2 ). Chiariamo queste definizioni con degli esempi. Le prime due figure mostrano una funzione strettamente crescente e una funzione crescente, [6] mentre le altre due mostrano il grafico di una funzione strettamente decrescente e di una funzione decrescente. 3

4 Funzioni pari e dispari Funzione pari Si dice che la funzione f: [-a,a] R è pari nell'intervallo [-a,a] se: x [-a,a] si ha: f(x) = f(-x ) Esempio: cos(x)=cos(-x) Funzione pari Funzione dispari Si dice che la funzione f: [-a,a] R è dispari nell'intervallo [-a,a] se: x [-a,a] si ha: f(-x) = -f(x ) -a a Esempio: sen(-x)=-sen(x) Funzione dispari Una funzione y=f(x) si dice pari in un intervallo [-a,a] se per ogni x appartenente all intervallo si ha che f(x)=f(-x). Un esempio di funzione pari è la funzione y=cos(x), infatti applicando la definizione e ricordano le proprietà delle funzioni goniometriche si ha che cos(x)=cos(-x). Il grafico di una funzione pari risulterà essere simmetrico rispetto all asse delle y. Una funzione y=f(x) si dice dispari in un intervallo [-a,a] se per ogni x appartenente all intervallo si ha che f(-x)=-f(x). Un esempio di funzione dispari è la funzione y=sen(x), infatti applicando la definizione e ricordano le proprietà delle funzioni goniometriche si ha che sen(-x)=-sen(x). Il grafico di una funzione dispari risulterà essere simmetrico rispetto all origine degli assi. 4

5 Funzioni periodica Funzione periodica Si dice che la funzione f: [a,b] R è una funzione periodica di periodo k se: x [a,b] t.c. x+k [a,b]: f(x) = f(x+k ) Esempi: Le funzioni seno e coseno sono due funzioni periodiche di periodo 2π. Infatti sen(x+2π)=sen(x) cos(x+2π)=cos(x) Le funzioni tangente e cotangente sono due funzioni periodiche di periodo π. Infatti tan(x+2π)=tan(x) cotan(x+2π)=cotan(x) Una funzione y=f(x) si dice periodica di periodo k in un intervallo [a,b] se per ogni x appartenente ad [a,b], tale che x+k appartiene ancora a tale intervallo, si ha che f(x)=f(x+k). Vi sono molti esempi di funzioni elementari che risultano periodiche. In particolare lo sono quasi tutte le funzioni goniometriche. Ad esempio le funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche di periodo 2π. Anche le funzioni tangente e cotangente sono funzioni periodiche. Esse hanno periodo π. 5

6 Funzione limitata superiormente e funzione limitata inferiormente Funzione limitata superiormente Si dice che la funzione f : A R è limitata superiormente se: M R t.c. x A : f(x) M Funzione limitata inferiormente Si dice che la funzione f : A R è limitata inferiormente se: K R t.c. x A : f(x) K Funzione limitata Si dice che la funzione f : A R è limitata se è limitata sia superiormente che inferiormente, cioè se: K, M R t.c. x A : K f(x) M Una funzione y=f(x) definita in A e a valori in R si dice limitata superiormente se esiste un numero reale M tale che, per ogni x appartenente ad A, f(x) M. Analogamente una funzione y=f(x) definita in A e a valori in R si dice limitata inferiormente se esiste un numero reale K tale che, per ogni x appartenente ad A, f(x) K. Una funzione y=f(x) definita in A e a valori in R si dice limitata se è limitata sia inferiormente che superiormente, cioè se esistono due numeri reali K e M tali che, per ogni x appartenente ad A, f(x) è compresa tra K e M. Il significato geometrico della limitatezza di una funzione è immediato: una funzione è limitata se e solo se il suo grafico e interamente contenuto in una striscia orizzontale. La prima immagine mostra il grafico di una funzione il cui dominio è stato diviso in intervalli e per ogni intervallo sono stati individuati i valori di M e K che limitano superiormente ed inferiormente la funzione. La seconda figura mostra il grafico di una funzione che non è limitata superiormente, per cui ovviamente non è stato possibile individuare M. 6

7 Massimo e minimo relativo e assoluto di una funzione Massimo relativo Si dice che la funzione f : A R ha un punto di massimo relativo in x 0 A se: δ > 0 t.c. x A con x 0 -δ < x < x 0 +δ : f(x 0 ) f(x) Minimo relativo Si dice che la funzione f : A R ha un punto di minimo relativo in x 0 A se: δ > 0 t.c. x A con x 0 -δ < x < x 0 +δ : f(x 0 ) f(x) Massimo assoluto Si dice che la funzione f : A R ha un punto di massimo assoluto in x 0 A se: x A : f(x 0 ) f(x) Minimo assoluto Si dice che la funzione f : A R ha un punto di minimo assoluto in x 0 A se: x A : f(x 0 ) f(x) Una funzione y=f(x) si dice che ha un massimo relativo o locale in un punto x 0 appartenente al dominio della funzione se esiste un intervallo di centro x 0 e raggio δ per cui per ogni punto di tale intervallo si ha f(x 0 ) f(x). In simboli: esiste un valore δ positivo tale che per ogni x del dominio compreso nell intervallo (x 0 -δ, x 0 +δ), si ha f (x 0 ) f(x). Una funzione y=f(x) si dice che ha un minimo relativo o locale in un punto x 0 appartenente al dominio della funzione se esiste un intervallo di centro x 0 e raggio δ per cui per ogni punto dell intorno si ha f(x 0 ) f(x). In simboli: esiste un valore δ positivo tale che per ogni x del dominio compreso nell intervallo (x 0 -δ, x 0 +δ), si ha f(x 0 ) f(x). La figura mostra una funzione con un massimo relativo e un minimo relativo. Una funzione y=f(x) si dice che ha un massimo assoluto in un punto x 0 appartenente al dominio della funzione se per ogni x appartenente al dominio risulta f(x 0 ) f(x). Una funzione y=f(x) si dice che ha un minimo assoluto in un punto x 0 appartenente al dominio della funzione se per ogni x appartenente al dominio risulta f(x 0 ) f(x). La figura mostra una funzione con un massimo assoluto e un minimo assoluto. 7

8 Conclusione Proprietà delle Funzioni Crescente o decrescente Massimo e minimo Pari o dispari Limitata superiormente o inferiormente Periodica In questa lezione abbiamo introdotto le proprietà delle funzioni. Abbiamo spiegato cosa significa che una funzione è strettamente crescente e strettamente decrescente estendendo poi il concetto a funzione crescente e decrescente. Abbiamo imparato cosa significa funzione pari cioè quelle funzioni per cui f(x)=f(-x) e funzione dispari ovvero quelle funzioni per cui f(-x)=-f(x). Poi abbiamo visto quando una funzione si dice periodica e alcuni esempi relativi. Inoltre abbiamo definito quando una funzione è limitata superiormente o inferiormente estendendo il concetto a una funzione che è limitata sia superiormente che inferiormente. Infine abbiamo chiarito il concetto di massimo assoluto e relativo e di minimo assoluto e relativo. 8