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1 Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica Tel La funzione: y = cos x DEFINIZIONE Si dice funzione coseno di un angolo nel cerchio trigonometrico, la misura dell ascissa del secondo estremo dell arco orientato sotteso dal suddetto angolo. Si scrive: y = cos x. Andamento della funzione: y = cos x Come visto per la y 0 sen x si considera l andamento della y = cos x per x [ 0; ]. cos(0) = 1 (1;0) cos = 0 cos( ) = 1 cos = 0 cos( ) = 1 (0;1) ( 1;0) (0; 1) A (1;0) = 1 = 0 = 1 = 0 = 1 I segni della y = cos x coincidono con quelli delle ascisse dei punti nei quattro quadranti. Sapere Più Centro Servizi Scolastici - Milano - Tel info@saperepiu.it

2 Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica Tel se 0 < x < cos x > 0 I quadrante se < x < cos x < 0 II quadrante se < x < cos x < 0 III quadrante se < x < cos x > 0 IV quadrante L andamento della y = cos x per x [ 0; ] Dall andamento della cosinusoide scende: si ottiene analizzando il grafico detto cosinusoide. 1) y = cos x è una funzione suriettiva. ) per 0 < x < la y = cos x è decrescente. ) per < x < la y = cos x è crescente. Riassumendo quanto detto si ha: I II III IV 0 Cos x + decrescente - decrescente - crescente + crescente Quindi: y = cos x DOMINIO : x [ 0; ] CODOMINIO : [ 1;1 ] Utilizzando la definizione di y = cos x ed applicando gli elementi di geometria elementare il lettore può verificare che 1 cos = ;cos = ;cos = 4 La funzione y = cos x è pari: f(x)=f-(x) Dal cerchio trigonometrico e dal grafico della sinusoide scende che: cos x = cos (-x) Sapere Più Centro Servizi Scolastici - Milano - Tel info@saperepiu.it

3 Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica Tel Periodo Come visto per la funzione y = sen x si ha: cos( x + ) = cos x;cos( x + k ) = cos x con k Z T = periodo fondamentale (periodo). T = k periodo multiplo. Quindi anche la y = cos x è periodica con T =. Equazione elementare in cos x DEFINIZIONE Si dice equazione elementare in cos x la scrittura: cos = l con 1 l 1. Come per l equazione sen x = l, anche in questo caso si parla di soluzione fondamentale se x [ 0; ], e generale se x Aˆ. Per la risoluzione si ha: Considerando il cerchio goniometrico: cos x = 1 x = x1 x = x1 La x = x 1 può essere scritta nella forma x = x1. Ricordando che y = cos x ha periodo T =, la soluzione generale della equazione è: Sapere Più Centro Servizi Scolastici - Milano - Tel info@saperepiu.it

4 Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica Tel X x = x1 + k x = x1 + k con k Z per k = 0 si ha la soluzione fondamentale x = x 1 x = x1 oppure x x 1 x = x = 1 La soluzione x può essere posta nella forma: x = arc cos( ) (l arco il cui seno è l). Interpretazione grafica 1 1 l Graficamente l equazione: cos x = l con 1 l 1 può essere vista come soluzione del sistema: y = cos x y = l La soluzione è espressa dalle ascisse dei punti comuni alla cosinusoide e alla retta y = l. ESEMPIO Risolvere l equazione: cos x = ; si ha: X x = + k x = + k con k Z Per k = 0 si ha la soluzione minima: x = x = Sapere Più Centro Servizi Scolastici - Milano - Tel info@saperepiu.it

5 Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica Tel oppure 11 x = x = = Graficamente: Sul cerchio: In particolare le equazioni: cos x = 0; cos x = 1; cos x = -1 hanno rispettivamente soluzione: x = + k, x = k, x = + k, con k Z. Disequazione elementare in cos x DEFINIZIONE Si dice disequazione elementare in cos x la scrittura: cos x<1 La soluzione coincide con l intervallo X di tutti gli angoli che soddisfano alla (*). Per quanto già affermato tale soluzione può essere limitata al caso x [ 0; ] o x Aˆ. Utilizzando il cerchio trigonometrico si ha: Sapere Più Centro Servizi Scolastici - Milano - Tel info@saperepiu.it

6 Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica Tel Utilizzando il grafico della cosinusoide: In entrambi i casi si ha: X { 0 < x < x1} { x< x < } soluzione fondamentale X { k < x < x1 + k} { x1+ k < x < ( k + 1)} soluzione generale con k Z ESEMPIO Risolvere: cos x + < 0 L equazione cos x + = 0 ammette soluzione fondamentale: x = x 4 1 = 5 4 Utilizzando il cerchio trigonometrico si ha: Sapere Più Centro Servizi Scolastici - Milano - Tel info@saperepiu.it

7 Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica Tel Gli angoli x il cui coseno è minore di OD = sono quelli aventi il secondo estremo sull arco A C ) 5 con x A = xc = X ; oppure X < x < soluzione fondamentale X + k ; + k con k Z soluzione generale. 4 4 Sapere Più Centro Servizi Scolastici - Milano - Tel info@saperepiu.it