Composizione di funzioni analitiche e loro dominio Es_1) In relazione alle funzioni reali di variabile reale 1 2

Transcript

1 Composizione di unzioni analitiche e loro dominio Es_) In relazione alle unzioni reali di variabile reale ( ), ( ) 3, h( ) 4 risolvere i seuenti quesiti Classiicare le unzioni e determinare i rispettivi domini di deinizione Stabilire se qualcuna delle unzioni indicate è iniettiva 3 Costruire l espressione analitica della unzione composta h e determinare il relativo insieme di deinizione Le unzioni e h sono razionali intere ed hanno come dominio tutto l asse reale La unzione è irrazionale intera ed è deinita per i valori reali della variabile che rendono il radicando non neativo; il suo dominio è pertanto l insieme delle soluzioni della disequazione che è soddisatta nell insieme S ; ; Per i domini delle unzioni si ha: Dom( ) D R, Dom( ) D S, Dom( h) Dh R Ricordiamo che una unzione è iniettiva se elementi diversi del dominio hanno immaini diverse Delle tre unzioni è iniettiva solo la unzione Inatti si ha:, quindi ( ) ( ), come deve essere Le unzioni ed h non sono iniettive Inatti, osserviamo che preso un qualsiasi punto del rispettivo insieme di deinizione allo stesso insieme appartiene anche il punto - e risulta: ( ) ( ) 3 3 ( ) ; ( ) h( ) 4 4 h( ), cioè nei rispettivi domini esistono elementi distinti che hanno uuale immaine 3 Per costruire l espressione analitica della unzione composta procediamo secondo lo schema di seuito illustrato, che illustra l aloritmo delle operazioni necessarie Occorre però tener presente che oni passaio indicato deve avere senso nel campo dei numeri reali e quindi si deve prestare attenzione ai sinoli interventi da eettuare sulla variabile indipendente h y 3y 3 z A questo punto sembrerebbe che si possa scrivere la orma analitica della unzione composta richiesta ponendo ( )( ) ( ( )) 9 ( ) 3 3 h h che evidentemente è calcolabile per oni reale e dunque che il suo dominio sia tutto l asse reale: R ; questo è un rave errore Abbiamo precisato prima che deve avere senso oni passaio nell aloritmo seuito; la diicoltà nascosta risiede nella deinizione della unzione ; inatti, nel momento in cui questa entra in azione deve essere arantita la condizione di esistenza (CE) che il radicando della radice quadrata sia non neativo, dunque che risulti Luii Lecci: wwwmatematicaescuolait

2 3y, e, tenendo conto di cosa rappresenta la variabile y, in deinitiva che sia soddisatta la disuualianza 3 Questa disequazione è soddisatta nell insieme 3 3 S ' ; + ; per cui è questo il dominio di deinizione della unzione composta ottenuta Es_) In relazione alle unzioni reali di variabile reale ( ), ( ) ;, + + risolvere i quesiti che seuono Classiicare le unzioni e determinare i rispettivi domini di deinizione Costruire le espressioni analitiche delle unzioni composte, e determinare i relativi insiemi di deinizione + La unzione è irrazionale ratta ed ha come dominio Dom( ) D R [ ; + [ La unzione è razionale ratta ed ha come dominio l asse reale privato del punto - Dom( ) D R { } Costruiamo l espressione analitica della unzione Il percorso è illustrato di seuito Con D si ha y y + + y Osserviamo che il dominio della unzione composta ottenuta coincide con il dominio della unzione e ciò perché la condizione richiesta per l esistenza della unzione y è veriicata con D [ ; + [ Costruiamo ora l espressione analitica della unzione Poiché è la prima unzione ad aire è necessario che appartena intanto al suo dominio Quindi, con D R { } si ha y + + y + + ed è necessario imporre l ulteriore condizione per l esistenza della radice quadrata, quindi ( < ) ( ) + Si osserva ora che quest ultima condizione determina un sottoinsieme proprio del dominio della unzione e dunque il dominio della unzione composta in esame è Dom ; ; + ( ) ] [ [ [ Luii Lecci: wwwmatematicaescuolait

3 3 Osservazione Coliamo l occasione per ar osservare che l operazione di composizione tra unzioni reali di variabile reale non ode della proprietà commutativa L esempio precedente lo dimostra chiaramente Le due unzioni ottenute e hanno diversa struttura analitica e diverso dominio di deinizione Voliamo precisare ulteriormente il concetto Avendo due unzioni reali di variabile reale e, può capitare che abbia senso parlare delle unzioni composte, ; si tena conto che si tratta di due unzioni completamente diverse In particolare: o la unzione è deinibile se l insieme intersezione tra il codominio della unzione ed il dominio della unzione è non vuoto; o la unzione è deinibile se l insieme intersezione tra il codominio della unzione ed il dominio della unzione è non vuoto Come si vede, a partire da due qualsiasi unzioni reali di variabile reale, può essere che non abbia senso parlare delle unzioni composte,, proprio perché non sono veriicate le condizioni indicate sopra Tuttavia, qualora dette unzioni siano deinibili si tratta di due unzioni diverse Es_3) In relazione alle unzioni reali di variabile reale ( ) lo( + ), ( ) e ;, risolvere i quesiti che seuono Classiicare le unzioni e determinare i rispettivi domini di deinizione Costruire le espressioni analitiche delle unzioni composte, e determinare i relativi insiemi di deinizione La unzione è trascendente loaritmica ed ha come dominio Dom( ) D ] ; + [ La unzione è trascendente esponenziale ed è deinita per oni valore reale diverso da zero: Dom( ) D R Determiniamo la struttura analitica della unzione Con ] ; [ D + si ha y lo( ) lo( + ) y e e + Il processo aloritmico sussiste se oltre alla condizione ] ; [ condizione lo( + ) + e e Concludiamo che il dominio della unzione in esame è ] ; [ ] ; + [ e si ha ( ) D e e Struttura della unzione Con R D si ha + è soddisatta anche la lo( ) ( ) e + e y lo( y + ) lo( e + ) Si riconosce immediatamente che il processo ha senso per oni reale diverso da zero e perciò il dominio della unzione coincide con quello della unzione Dunque si ha: Luii Lecci: wwwmatematicaescuolait

4 4 ( ) ( ) lo( e + ), con dominio D R Es_4) Considerate le unzioni reali di variabile reale aventi espressioni analitiche ( ), ( ) + risolvere i quesiti che seuono Classiicare le due unzioni e determinare i loro domini Costruire la unzione analitica e determinarne il dominio 3 Costruire la unzione analitica e determinarne il dominio 4 Risolvere le equazioni a) ( ( )), b) ( ( )) 5 Dimostrare che la unzione :[ ; [ ] ;] +, con ( ), è biunivoca e determinare l espressione analitica della sua inversa 6 Studiare il seno della unzione e determinare li eventuali zeri La unzione è irrazionale intera ed è deinita per i valori della variabile che rendono non D ; + neativo l aromento della radice quadrata Il suo dominio è: [ [ La unzione è razionale ratta ed è deinita per oni valore reale che non annulli il D R denominatore Il dominio è: { } Per la costruzione analitica della unzione si avvia il processo aloritmico con che assume valori nel dominio di ; nel corso del processo si dovrà tenere conto anche di eventuali condizioni che potrebbero emerere in base alle operazioni alebriche che saranno necessarie L aloritmo è descritto di seuito Con D si ha y y y + Si riconosce che oltre alla condizione D è necessario richiedere che il denominatore della razione ottenuta sia diverso da zero, dunque 4 D ;4 4; + Concludiamo che il dominio della unzione è [ [ ] [ 3 Il processo aloritmico per la unzione è descritto di seuito In questo caso inizialmente deve essere R { } y y + + Ainché abbia senso la unzione, oltre alla limitazione imposta in avvio, deve risultare non neativo il radicando della radice quadrata, dunque ( < ) ( ) + Possiamo concludere che il dominio della unzione D ; : + 4 Risoluzione dell equazione: ( ( )) è ] [ [ [, con [ ;4[ ] 4; + [ L equazione è: 3 9 Pertanto la radice dell equazione è 9 Luii Lecci: wwwmatematicaescuolait

5 5 Risoluzione dell equazione: ( ( )), con ] ; [ [ : [ + L equazione è: e quest equazione non ha soluzione iacché il + + primo membro è non neativo Dunque l equazione proposta è impossibile +, con ( ), è biunivoca, è 5 Per provare che la unzione :[ ; [ ] ;] necessario provare che è iniettiva e suriettiva Iniettività, [ ; + [,, quindi ( ) ( ) ( ) unzione è dunque iniettiva Suriettività Preso y ] ;], si deve provare che l equazione y nell inconita ammette una soluzione (e sarà una sola per l iniettività ià provata) Osserviamo che y y e che y y L equazione è soddisatta dall unico valore ( y) La unzione è dunque sia iniettiva, che suriettiva, dunque biunivoca Espressione della unzione inversa Posto y ( ), a livello di simboli si scrive ( y) L espressione della unzione inversa è stata determinata nel provare la suriettività della unzione Dunque si ha : ] ;] [ ; + [, con ( y) ( y) 6 Seno della unzione ( ( )) La unzione è deinita nell insieme D [ ;4[ ] 4; + [ dove si deve studiare il seno del numeratore e quello del denominatore, quindi eettuare il prodotto dei seni Si ha ; > < 4 Dal conronto dei seni del numeratore e del denominatore si conclude che la unzione è positiva nell insieme ; 4; +, è neativa [ [ ] [ nell intervallo ] ;4 [ ed ammette come unico zero il punto Nella iura a lato è riportato il diaramma della unzione, dove il lettore può veriicare le proprietà dimostrate ; la Luii Lecci: wwwmatematicaescuolait

6 6 Es_5) Considerate le unzioni reali di variabile reale aventi espressioni analitiche ( ) e, ( ) lo( ) risolvere i quesiti che seuono Determinare il dominio di ciascuna unzione Costruire le espressioni analitiche delle unzioni, e determinare i rispettivi domini di deinizione 3 Utilizzando eventualmente la calcolatrice calcolare 4, e precisarne il seno Riporto solo i risultati richiesti La unzione è deinita su tutto l asse reale: D R La unzione è deinita nell insieme: D ] ;[ ] ; + [ L espressione analitica della unzione è 4 ( ) lo ( e ) ( ( )) lo e e L espressione analitica della unzione lo( ) ( ( )) e ( ) ;+ + ed ha come dominio l intervallo ] [ è ed è deinita nell insieme ] ;[ ] ; [ + 3 Valori richiesti lo e lo ( e ), Per quanto concerne si nota che non esiste perché il punto non appartiene al dominio di deinizione della unzione Esercizi proposti E) Considerate le unzioni sen ( ) lo cos +, ( ) e, h( ) e determinare i rispettivi insiemi di deinizione; costruire le espressioni analitiche delle unzioni composte: ; ; h ; h ; h ; h ; h E) Considerate le unzioni ( ), ( ), h( ) + determinare i rispettivi insiemi di deinizione; costruire le espressioni analitiche delle unzioni composte: ; ; h ; h ; h ; h ; h Luii Lecci: wwwmatematicaescuolait