Alcune applicazioni delle equazioni differenziali ordinarie alla teoria dei circuiti elettrici

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Alcune applicazioni delle equazioni differenziali ordinarie alla teoria dei circuiti elettrici"

Transcript

1 Alcune applicazioni delle equazioni differenziali ordinarie alla teoria dei circuiti elettrici Attilio Piana, Andrea Ziggioto 1 egime variabile in un circuito elettrico. Circuito C. 1.1 Carica del condensatore Consideriamo un circuito di resistenza e capacità C, alimentato da un generatore di forza elettromotrice costante E 0, di resistenza interna trascurabile. Supponiamo che il circuito sia inizialmente aperto. Si supponga inoltre che il condensatore sia inizialmente completamente scarico. Si vuole studiare il comportamento del circuito dopo che all istante iniziale t = 0 esso sia stato chiuso. Indichiamo con V (t) la tensione ai capi della resistenza al tempo t. Sappiamo che, detta i(t) l intensità di corrente ai capi del condensatore al tempo t, si ha V (t) = i(t). (1) Indicando con q(t) la carica del condensatore al tempo t e con V C (t) la tensione ai capi del condensatore, sappiamo anche che q(t) = CV C (t). (2) Derivando la (2) rispetto al tempo t e ricordando che i(t) = dq dt, otteniamo i(t) = dq dt = C dv C dt Allora la legge di Ohm generalizzata V + V C = E 0 1 = CV C(t). (3)

2 diventa, usando la (1) e la (3), C V C + V C = E 0. (4) La (4) è un equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili che diventa, dividendo ambo i membri per C, Integrando ambo i membri otteniamo dv C = 1 V C E 0 C dt. da cui log(v C E 0 ) = 1 C t + c, avendo posto k = e c. Imponendo la condizione iniziale V C (t) = E 0 + k e 1 C t, c V C (0) = 0 troviamo k = E 0, da cui V C (t) = E 0 ( 1 e 1 C t ) (5) Derivando la (5) otteniamo V C(t) = E 0 1 C e e, sostituendo la (6) nella (3), ricaviamo infine i(t) = E 0 1 e C t, 1 C t (6) che rappresenta l intensità di corrente di carica del condensatore (vedere Figura 1). 2

3 i(t) O t Figura 1: Corrente di carica del condensatore in C 1.2 Scarica del condensatore Se un condensatore di capacità C, caricato con una tensione E 0, viene posto in un circuito comprendente una resistenza complessiva e se all istante t = 0 si chiude il circuito, il condensatore si scarica sulla resistenza. Poichè nel circuito non esistono f.e.m. dovute a generatori, le tensioni ai capi del condensatore e della resistenza devono essere uguali: V C = V. Se i(t) è l intensità di corrente ai capi del condensatore all istante t, ricordando che i(t) = dq dt = C V C(t) (7) e che V = i = CV C, abbiamo V C = CV C. Anche questa è un equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Otteniamo dv C = 1 V C C dt. 3

4 Integrando membro a membro abbiamo da cui log V C (t) = 1 C t + c, V C (t) = ke 1 C t c avendo posto k = e c. Imponendo la condizione iniziale ricaviamo V C (0) = E 0 V C (t) = E 0 e 1 C t. icavando V C (t) e inserendola nella (3) possiamo ottenere l andamento dell intensità di corrente di scarica del condensatore (vedere Figura 2): i(t) = E 0 1 e C t i(t) O t Figura 2: Corrente di scarica del condensatore in C 4

5 2 egime variabile in un circuito elettrico. Circuito L. 2.1 Circuito L con forza elettromotrice costante Consideriamo un circuito di resistenza, induttanza L, alimentato da un generatore di forza elettromotrice costante E 0, di resistenza interna trascurabile. Scriviamo la legge di Ohm generalizzata, indicando con i = i(t) l intensità della corrente all istante t. Si ha L di dt + i = E 0. Questa è un equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili. Possiamo quindi separare le variabili e ottenere L di = dt E 0 i da cui, integrando membro a membro, otteniamo L log(e 0 i) = t + c, c, cioè log(e 0 i) = (t + c) L da cui con k = e L c. Da questa uguaglianza si ricava E 0 i = ke L t, (8) i(t) = E 0 ke L t. Poichè si sa che, quanto è t = 0, anche i = 0, dalla (8) si deduce che 0 = E 0 ke 0, da cui k = E 0. Quindi, sempre dalla (8), si ottiene l espressione dell intensità di corrente: i(t) = E ) 0 (1 e L t. 5

6 Osservazioni. Osserviamo che il termine e L t tende a 0 con l aumentare del tempo t e tanto più rapidamente quanto più piccola è l induttanza L. Il diagramma della corrente in Figura 3 mostra che l intensità della corrente, alla chiusura del circuito, non raggiunge subito il valore di regime i 0 = E 0, ma cresce esponenzialmente tendendo al valore i 0; se l induttanza L del circuito è molto piccola, il circuito raggiunge il valore di regime in breve tempo. i i 0 O t Figura 3: L con E 0 Il termine i 1 = i 0 e L t si chiama extracorrente di chiusura del circuito. 2.2 Circuito L senza forza elettromotrice Dopo che la corrente nel circuito ha raggiunto il valore di regime i 0, supponiamo di escludere il generatore di forza elettromotrice costante E 0, chiudendo il circuito direttamente su e L. La presenza dell induttanza L determina una forza elettromotrice autoindotta che fa circolare nel circuito una corrente, detta extracorrente di apertura, che può essere calcolata risolvendo l equazione differenziale L di + i = 0, dt ottenuta applicando la legge di Ohm con E 0 = 0. Questa è nuovamente un equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili, il cui integrale generale è i(t) = ce L t, c. (9) 6

7 Tenendo presente che all istante t = 0, in cui è stato escluso il generatore, la corrente aveva intensità i 0, si ottiene il valore della costante arbitraria c; infatti si ha i 0 = c e 0 = c. Pertanto la (9) può scriversi come i(t) = i 0 e L t. L extracorrente di apertura decresce rapidamente con legge esponenziale e dopo breve tempo è difficilmente valutabile (Figura 4). i i 0 O t Figura 4: L senza E Circuito L con forza elettromotrice alternata Consideriamo un circuito di resistenza, induttanza L, alimentato da un generatore di f.e.m. alternata E sin ωt. Applicando la legge di Ohm generalizzata possiamo scrivere L di + i = E sin ωt. (10) dt La (10) è un equazione differenziale del primo ordine lineare, che può scriversi come i + L i = E sin ωt, L 7

8 il cui integrale generale è dato da i(t) = e L dt { E L sin ωt e L dt dt + c 1 }, da cui i(t) = e L t { E L sin ωt e L t dt + c 1 }. (11) Calcoliamo a parte l integrale I = sin ωt e L t dt. Poniamo f(t) = e L t e g (t) = sin ωt. Allora f (t) = e L t e g(t) = 1 cos ωt. L ω Integrando per parti abbiamo I = 1 ω e L t cos ωt + cos ωt e L t dt. Lω Poniamo f(t) = e L t e g (t) = cos ωt. Allora f (t) = e L t e g(t) = 1 sin ωt. L ω Integrando nuovamente per parti otteniamo: I = 1 ω e L t cos ωt + { 1 Lω ω e L t sin ωt } sin ωt e L t dt = Lω = 1 ω e L t cos ωt + Lω e 2 L t sin ωt 2 L 2 ω I. 2 In questo modo otteniamo che ) (1 + 2 I = e ( ) L t sin ωt cos ωt = e L t L 2 ω 2 ω Lω ω 2 ( ) sin ωt ω cos ωt. L e con qualche semplice passaggio algebrico abbiamo (a meno di una costante arbitraria) I = ( ) e L t sin ωt ω cos ωt = L ω L 2 Sostituendo la (12) nella (11) si ha i(t) = ( sin ωt ωl cos ωt L ) e L t ω 2 L L 2. (12) E ω 2 L 2 + ( sin ωt ωl cos ωt) + c 2 1 e L t. (13) 8

9 Tenendo conto della condizione iniziale i = 0 per t = 0, si ottiene il valore della costante arbitraria c 1 : da cui 0 = E ω 2 L ( ωl) + c 1 c 1 = La (13) può così riscriversi come Ponendo i(t) = E ω 2 L ωl. E ( ) sin ωt ωl cos ωt + ωl e ω 2 L L t. (14) Z def = ω 2 L 2 + 2, grandezza che viene detta, per un circuito ohmico-induttivo, impedenza e corrisponde alla resistenza dei circuiti in corrente continua, abbiamo i(t) = E ( ) ωl sin ωt cos ωt + ωle e Z Z Z Z 2 L t. (15) Poniamo ora def ωl def = cos ϕ, = sin ϕ, (16) Z Z osservando che tale posizione è giustificata dall essere cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 2 Z 2 + ω2 L 2 Z 2 = 2 + ω 2 L 2 Z 2 = 2 + ω 2 L ω 2 L 2 = 1, e sostituiamo nella (15), ottenendo da cui i(t) = E ωle (sin ωt cos ϕ cos ωt sin ϕ) + Z Z 2 i(t) = E sin(ωt ϕ) } Z {{ } i 1 + e L t, ωle e Z 2 L t } {{ }. (17) i 2 In Figura 5 si può vedere l andamento di i(t). Si è così ottenuto che l intensità i(t) della corrente che attraversa il circuito è la somma del termine i 1 = ωle Z 2 9 e L t,

10 i O t Figura 5: L con f.e.m. alternata che decresce esponenzialmente con il tempo, e del termine i 2 = E Z sin(ωt ϕ), che rappresenta l andamento della corrente in condizione di regime: i 2 ha andamento sinusoidale ed è in ritardo rispetto alla tensione alternata del generatore. L angolo ϕ, detto angolo di sfasamento tra la tensione e la corrente, è compreso fra 0 e π perchè, per le posizioni prima fatte in (16), sin ϕ 2 e cos ϕ sono entrambi positivi. 3 egime variabile in un circuito elettrico. Circuito LC Consideriamo ora il caso di un circuito elettrico contenente una resistenza, un induttanza L e un condensatore di capacità C. Supponiamo che all istante iniziale t = 0 in cui il circuito viene chiuso vi sia la carica q 0 sulle armature del condensatore. Vogliamo studiare l intensità i = i(t) della corrente di scarica del condensatore. Indicando con V 1 V 2 la differenza di potenziale esistente tra le armature del condensatore all istante t, l armatura a potenziale maggiore possiede la carica q = q(t) = C(V 1 V 2 ), 10

11 da cui V 1 V 2 = q C. (18) L intensità della corrente i(t) che circola a spese della scarica del condensatore è data da i(t) = dq dt. (19) Per la legge di Ohm generalizzata si ha V 1 V 2 L di dt = i. icordando la (18) e la (19), otteniamo L d2 q dt + dq 2 dt + 1 q = 0. (20) C Si ottiene così un equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti. L equazione caratteristica associata alla (20) è L λ 2 + λ + 1 C = 0. (21) Il discriminante della (21) è allora = 2 4 L C. Potranno così presentarsi 3 diversi casi, a seconda del segno del discriminante. 3.1 > 0 = > 2 L C L equazione (21) ammette due radici reali, entrambe negative, che indichiamo con λ 1 = α e λ 2 = β (α, β > 0). L integrale generale è q(t) = c 1 e αt + c 2 e βt da cui i(t) = dq dt = α c 1 e αt + β c 2 e βt, 11

12 dove le costanti arbitrarie c 1 e c 2 si determinano in base alle condizioni iniziali: q(0) = q 0, i(0) = 0. Si ha così { c 1 + c 2 = q 0 α c 1 + β c 2 = 0 da cui L intensità di corrente i(t) è perciò Si può osservare che, essendo c 1 = β q 0 α β c 2 = αq 0 α β. i(t) = α β q 0 α β (e βt e αt ). lim i(t) = 0, t + l intensità di corrente tende asintoticamente a 0 (vedere Figura 6). i(t) O t Figura 6: LC con > 0 12

13 L 3.2 < 0 = < 2 C L equazione (21) fornisce due soluzioni complesse coniugate 4L λ 1,2 = i 2L ± C 2. 2L Poniamo per comodità 4L C 2 = ω. (22) 2L Dunque l integrale generale della (20) è q(t) = e 2L t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt). L espressione dell intensità di corrente i(t) diventa perciò i(t) = dq dt = 2L e 2L t (c 1 cos ωt+c 2 sin ωt) e 2L t ( c 1 ω sin ωt+c 2 ω cos ωt). Affinchè siano soddisfatte le due condizioni iniziali q(0) = q 0, i(0) = 0, (23) dovrà essere { q 0 = c 1 0 = 2L c 1 c 2 ω, da cui c 1 = q 0 (24) c 2 = q 0 2ωL. Sostituendo questi valori di c 1 e c 2 nella (23) otteniamo i(t) = q 0 e 2L t sin ωt 2 + 4L 2 ω 2 4ωL 2. (25) icavando ω 2 dalla (22) e sostituendolo nel fattore 2 + 4L 2 ω 2 della (25) otteniamo infine i(t) = q 0 LCω e 2L t sin ωt. 13

14 ( Si vede così che, se la resistenza è sufficientemente piccola < 2 L C ), la corrente di scarica del condensatore è una corrente alternata con intensità decrescente in modo esponenziale (vedere Figura 7). i(t) O t L 3.3 = 0 = = 2 C Figura 7: LC con < 0 La carica q(t) varia nel tempo secondo la legge q(t) = (c 1 + c 2 t) e 2L t. La carica sul condensatore decresce, tendendo asintoticamente a 0. L intensità di corrente sarà perciò i(t) = dq ( ) dt = c 1 2L c 2 + c 2 2L t e 2L t. Tenendo conto delle condizioni iniziali abbiamo Essendo lim t + q(0) = q 0, i(0) = 0, 2 i(t) = q 0 4L t 2 e 2L t. i(t) = 0, anche in questo caso l intensità di corrente tende asintoticamente a 0 (vedere Figura 8). 14

15 i(t) O t Figura 8: LC con = 0 4 egime variabile in un circuito elettrico. Circuito LC Interessa particolarmente in caso in cui la resistenza sia trascurabile. queste condizioni la legge di Ohm generalizzata si riduce a L di dt + q C = 0, cioè d 2 q dt + q = 0. (26) 2 LC Siamo in presenza di un equazione differenziale del secondo ordine lineare omogenea a coefficienti costanti, la cui equazione caratteristica λ LC = 0 1 ammette le due radici immaginarie opposte λ = ±i LC ω = 1 LC, λ = ±iω. In e cioè, ponendo Si ha così che l andamento della carica q(t) sulle armature del condensatore è q(t) = c 1 cos ωt + c 2 sin ωt. (27) 15

16 Derivando rispetto a t la (27) si ha Tenendo conto delle condizioni iniziali i(t) = dq dt = c 1ω sin ωt c 2 ω cos ωt. (28) q(0) = q 0, i(0) = 0, si ottiene, dalla (27) e dalla (28), { q 0 = c 1 0 = c 2 ω da cui { c 1 = q 0 c 2 = 0. La corrente di scarica sarà perciò i(t) = q 0 ω sin ωt. La scarica è dunque oscillatoria (vedere Figura 9), con ampiezza costante q 0 ω, ed il periodo T = 2π ω = 2π LC prende il nome di periodo proprio del circuito. i(t) O t Figura 9: corrente di scarica in circuito LC 16

17 5 Il fenomeno della risonanza. Supponiamo di avere un circuito LC in cui è presente anche un generatore di corrente alternata di frequenza Ω 0. L equazione che governa il circuito allora diventa L d2 q dt + dq 2 dt + 1 C q = V 0 sin Ωt. (29) con le condizioni iniziali q(0) = q 0 e i(0) = 0. L equazione è pertanto contraddistinta dalla presenza del termine forzante V 0 sin Ωt. Prima di risolvere l equazione (29), è necessario enunciare (senza dimostrazione) i seguenti risultati generali: Teorema 1. Data un equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine a coefficienti costanti completa ay + by + cy = f(t), il suo integrale generale è dato dalla somma dell integrale generale y o (t) dell equazione omogenea associata ay + by + cy = 0 e di una soluzione particolare y p (t) dell equazione completa. Teorema 2. Sia data un equazione differenziale ordinaria del secondo ordine lineare a coefficienti costanti completa con Si hanno i seguenti casi: ay + by + cy = f(t), (30) f(t) = k sin βt, k, β. 1. se iβ non è soluzione dell equazione caratteristica aλ 2 + bλ + c = 0 allora una soluzione particolare della (30) è del tipo y p (t) = A sin(ωt + α), con A, α costanti reali da determinarsi; 17

18 2. se iβ è soluzione dell equazione caratteristica, allora una soluzione particolare della (30) è del tipo y p (t) = At sin(ωt + α), con A, α costanti reali da determinarsi. In quest ultimo caso, matematicamente si dice che siamo in presenza del fenomeno della risonanza. Vogliamo cercare di indagare e di scoprire se e in quale misura la risonanza da un punto di vista matematico è legata al fenomeno della risonanza in campo elettronico. Torniamo alla (29). L equazione caratteristica ad essa associata è L λ 2 + λ + 1 C = 0. (31) Posto = 2 4 L C, ci occupiamo di risolvere la (29) quando L < 2 C e 0. Sappiamo già che l integrale generale dell equazione omogenea associata alla (29) è q 0 (t) = e 2L t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt). con c 1, c 2 costanti arbitrarie e ω = 2L. Come visto nel Teorema 2, sicuramente una soluzione particolare q p (t) della (29) è del tipo q p (t) = A sin(ωt + α). (32) Non può essere q p (t) = At sin(ωt + α) 18

19 perchè in tal caso iω dovrebbe essere soluzione dell equazione caratteristica (31) e quindi dovremmo avere L(iΩ) 2 + iω + 1 C = 0 da cui il che comporterebbe LΩ C + iω = 0, LΩ C = 0 e = 0, contro le nostre ipotesi ( 0). Troviamo allora A e α nella (32). Abbiamo q p(t) = AΩ cos(ωt + α) e q p(t) = AΩ 2 sin(ωt + α). Sostituendo nella (29) avremo LAΩ 2 sin(ωt + α) + AΩ cos(ωt + α) + A C sin(ωt + α) = V 0 sin Ωt, da cui, utilizzando le formule di addizione del seno e del coseno note dalla trigonometria, LAΩ 2 sin Ωt cos α LAΩ 2 cos Ωt sin α + AΩ cos Ωt cos α AΩ sin Ωt sin α + A C sin Ωt cos α + A C cos Ω sin α = V 0 sin Ωt. Pertanto dovrà essere LAΩ 2 cos α AΩ sin α + A C cos α = V 0 LAΩ 2 sin α + AΩ cos α + A C sin α = 0 da cui ( ) 1 C LΩ2 sin α = Ω cos α ( ) 1 C LΩ2 A cos α AΩ sin α = V 0 19

20 e, dividendo ambo i membri delle 2 equazioni per Ω, ( ) 1 ΩC LΩ sin α = cos α ( ) 1 LΩ LΩ cos α sin α = V 0 AΩ Poniamo Allora otteniamo tan α = X X def = ΩL 1 ΩC. X cos α sin α = V 0 AΩ. Pertanto = X tan α X cos α X tan α sin α = V 0 AΩ da cui = X tan α X cos α X sin2 α cos α = V 0 AΩ. e quindi = X tan α 1 cos α = V 0 AXΩ In definitiva troviamo α = arctan X Allora con α = arctan. X Teorema 1, A = V 0 ΩX cos α q p (t) = V 0 cos α sin(ωt + α) ΩX L integrale generale della (29) pertanto è, in base al q(t) = e 2L t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) V 0 cos α sin(ωt + α). (33) ΩX 20

21 Per l intensità di corrente avremo i(t) = dq dt = 2L e 2L t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) e 2L t ( c 1 ω sin ωt + c 2 ω cos ωt)+ + V 0 X Ponendo α = ϕ + π, si ha 2 e Quindi cos α cos(ωt + α). cos α = cos ( ϕ + π ) = sin ϕ 2 ( cos(ωt + α) = cos Ωt + ϕ + π ) = sin(ωt + ϕ). 2 i(t) = dq dt = 2L e 2L t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) e 2L t ( c 1 ω sin ωt + c 2 ω cos ωt)+ + V 0 X sin ϕ sin(ωt + ϕ). Poichè tan ϕ = 1 = X, segue che tan α 1 sin ϕ = cos α = 1 + tan 2 α = X 2 + X. 2 Così abbiamo in definitiva che i(t) = 2L e 2L t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) e 2L t ( c 1 ω sin ωt + c 2 ω cos ωt) V X 2 sin(ωt + ϕ). (34) Le quantità X e Z def = 2 + X 2 sono rispettivamente chiamate reattanza e impedenza del circuito. Imponiamo ora le condizioni iniziali per trovare le costanti arbitrarie c 1 e c 2. Imponendo q(0) = q 0 nella (33) otteniamo c 1 = q 0 + V 0 cos α sin α ΩX Imponendo i(0) = 0 nella (34) otteniamo = q 0 V 0 sin ϕ cos ϕ. ΩX c 2 = q 0 2Lω V 0 sin ϕ cos ϕ V 0 sin ϕ 2LωΩX ω 2 + X. 2 21

22 A noi interessa ragionare per un tempo t sufficientemente grande, cioè ci interessa studiare il fenomeno una volta superato il transitorio. Poichè [ ] 2L t (c 1 cos ωt + c 2 sin ωt) e 2L t ( c 1 ω sin ωt + c 2 ω cos ωt) = 0 lim t + 2L e possiamo dire che, superato il transitorio, l intensità di corrente sarà V 0 i(t) = sin(ωt + ϕ). (35) 2 + X2 Consideriamo (in modulo) la sua ampiezza, come funzione di Ω: A(Ω) = V X = V 0 2 ( 2 + ΩL 1 ). 2 ΩC Proviamo a vedere per quali valori della frequenza esterna Ω si ha che A(Ω) è massima: da dω = V ( ) ( 0 L ΩL) Ω 2 C ΩC [ 2 + ( ) ] 3. ΩL ΩC Si ha che quando cioè quando 1 ΩC da dω 0 ΩL 0, 1 Ω 2 LC 0. Otteniamo allora che A(Ω) è massima quando Ω = 1 LC e vale A max = V 0. La frequenza Ω = 1 LC si chiama frequenza di risonanza del circuito. Si ha quindi risonanza quando la frequenza esterna coincide con la frequenza che ci dà la massima oscillazione dell intensità di corrente del circuito. 22

23 Notiamo che, in condizioni di risonanza, lo sfasamento ϕ tra l intensità di corrente i(t) e la tensione esterna applicata V 0 sin(ωt), pari a ( ϕ(ω) = arctan X ) = arctan ( ΩL 1 ) ΩC si annulla. In condizioni di risonanza, dunque, l intensità di corrente diventa, dopo opportune semplificazioni e ricordando che ϕ = 0, i(t) = ( 2L e 2L t q 0 cos ωt + q 0 sin ωt 2Lω V 0 sin Ωt = = e 2L t ( 2 q 0 4L 2 ω + q 0ω ) sin ωt V 0 ) e 2L t ( sin Ωt. q 0 ω sin ωt + q 0 2L In particolare, superato il transitorio, l intensità di corrente diventa i(t) = V 0 sin Ωt. ) cos ωt Osservazione. Notiamo che, in condizioni di risonanza (Ω = 1 LC ), superato il transitorio, quando 0 (cioè quando la resistenza all interno del circuito diventa trascurabile), le oscillazioni dell intensità di corrente crescono all infinito (in modulo): V 0 lim 0 + = +. Possiamo in qualche modo trovare un riscontro matematico a questo fenomeno? Per rispondere a quest ultima domanda, consideriamo il circuito ideale LC, in cui = 0, con generatore di tensione sinusoidale esterno: Lq + 1 C q = V 0 sin Ωt, (36) con le condizioni iniziali q(0) = q 0 e i(0) = 0. Supponiamo di metterci in condizioni di risonanza, cioè Ω = 1 LC. Notiamo che in queste condizioni, vi è anche risonanza da un punto di vista matematico perchè se Ω = 1 LC allora iω è soluzione dell equazione caratteristica: Lλ C = 0. 23

24 Come vediamo, Ω = 1 LC è esattamente la frequenza propria del circuito e coincide con la frequenza di risonanza che si verifica quando 0. Nel caso di risonanza, inoltre, si ha in questo caso che ω = 2L = 4 L C 2 2L = 1 LC = Ω. isolviamo la (36). Sappiamo che l integrale generale dell equazione omogenea associata è q 0 (t) = c 1 cos ωt + c 2 sin ωt con c 1, c 2 costanti arbitrarie. Una soluzione particolare della (36) è che scriviamo nella forma equivalente q p (t) = At sin(ωt + α) q p (t) = t(a cos ωt + B sin ωt), con A, B costanti da determinarsi. Abbiamo e q p(t) = A cos ωt + B sin ωt + t( Aω sin ωt + Bω cos ωt) q p(t) = 2Aω sin ωt + 2Bω cos ωt + t( Aω 2 cos ωt Bω 2 sin ωt). Sostituiamo nella (36) e semplifichiamo: 2ALω sin ωt + 2BLω cos ωt + ( BLω 2 + B C ( ALω 2 + A ) t cos ωt+ C ) t sin ωt = V 0 sin ωt. Essendo ω 2 = 1 LC, avremo e ALω 2 + A C = AL 1 LC + A C = 0 BLω 2 + B C = BL 1 LC + B C = 0. 24

25 Allora si ha 2ALω sin ωt + 2BLω cos ωt = V 0 sin ωt. Pertanto dovrà essere { 2ALω = V 0 2BLω = 0 da cui A = V 0 2Lω B = 0. Una soluzione particolare della (36) è quindi q p (t) = V 0 t cos ωt. 2Lω Otteniamo così che l integrale generale della (36) è Allora l intensità di corrente è q(t) = c 1 cos ωt + c 2 sin ωt V 0 t cos ωt. 2Lω i(t) = dq dt = c 1ω sin ωt c 2 ω cos ωt + V 0 2Lω cos ωt V 0 t sin ωt. 2L Imponendo le condizioni iniziali troviamo c 1 = q 0 c 2 = V 0 2Lω. 2 Pertanto, dopo opportune semplificazioni, l intensità di corrente del circuito LC con generatore di tensione sinusoidale esterno è ( i(t) = q 0 ω V ) 0 2L t sin ωt. (37) Notiamo che in questo caso l ampiezza dell oscillazione dell intensità di corrente è funzione del tempo: A(t) = q 0 ω V 0 2L t. 25

26 Essa, per t +, tende all infinito (in modulo), in perfetto accordo con quanto studiato nel caso della risonanza del circuito LC quando 0. Otteniamo cioè il classico fenomeno della risonanza in cui l ampiezza delle oscillazioni diventa sempre più grande per tendere all infinito. Osserviamo inoltre che, superato il transitorio τ = 2L, si ha che A(τ) V 0 2L 2L = V 0 avendo trascurato il termine q 0 ω che per tempi sufficientemente grandi non è influente. Vediamo così che A(τ) è esattamente l ampiezza massima di oscillazione dell intensità di corrente che si aveva nel caso in cui 0, in condizioni di risonanza. 26

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante Circuiti Elettrici Schema riassuntivo Leggi fondamentali dei circuiti elettrici lineari Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante La conseguenza

Dettagli

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Capitolo 2 Equazioni differenziali ordinarie 2.1 Formulazione del problema In questa sezione formuleremo matematicamente il problema delle equazioni differenziali ordinarie e faremo alcune osservazioni

Dettagli

Curve di risonanza di un circuito

Curve di risonanza di un circuito Zuccarello Francesco Laboratorio di Fisica II Curve di risonanza di un circuito I [ma] 9 8 7 6 5 4 3 0 C = 00 nf 0 5 0 5 w [KHz] RLC - Serie A.A.003-004 Indice Introduzione pag. 3 Presupposti Teorici 5

Dettagli

La funzione di risposta armonica

La funzione di risposta armonica 0.0. 3.1 1 La funzione di risposta armonica Se ad un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile si applica in ingresso un segnale sinusoidale x(t) = sen ωt di pulsazione ω: x(t) = sin ωt (s) =

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA 1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA Un conduttore ideale all equilibrio elettrostatico ha un campo elettrico nullo al suo interno. Cosa succede se viene generato un campo elettrico diverso da zero al suo

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine

Dettagli

Analisi in regime sinusoidale (parte V)

Analisi in regime sinusoidale (parte V) Appunti di Elettrotecnica Analisi in regime sinusoidale (parte ) Teorema sul massimo trasferimento di potenza attiva... alore della massima potenza attiva assorbita: rendimento del circuito3 Esempio...3

Dettagli

I.T.I. A. MALIGNANI UDINE CLASSI 3 e ELT MATERIA: ELETTROTECNICA PROGRAMMA PREVENTIVO

I.T.I. A. MALIGNANI UDINE CLASSI 3 e ELT MATERIA: ELETTROTECNICA PROGRAMMA PREVENTIVO CORRENTE CONTINUA: FENOMENI FISICI E PRINCIPI FONDAMENTALI - Richiami sulle unità di misura e sui sistemi di unità di misura. - Cenni sulla struttura e sulle proprietà elettriche della materia. - Le cariche

Dettagli

Circuiti Elettrici. Elementi di circuito: resistori, generatori di differenza di potenziale

Circuiti Elettrici. Elementi di circuito: resistori, generatori di differenza di potenziale Circuiti Elettrici Corrente elettrica Legge di Ohm Elementi di circuito: resistori, generatori di differenza di potenziale Leggi di Kirchhoff Elementi di circuito: voltmetri, amperometri, condensatori

Dettagli

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Cenni Storici (Wikipedia) Jean Baptiste Joseph Fourier ( nato a Auxerre il 21 marzo 1768 e morto a Parigi il 16 maggio 1830 ) è stato un matematico e fisico, ma è conosciuto

Dettagli

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06 Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o

Dettagli

Sistemi e modelli matematici

Sistemi e modelli matematici 0.0.. Sistemi e modelli matematici L automazione è un complesso di tecniche volte a sostituire l intervento umano, o a migliorarne l efficienza, nell esercizio di dispositivi e impianti. Un importante

Dettagli

nica Cagliari ) m Viene detto (1) Dal sistema dell energia Un possibile

nica Cagliari ) m Viene detto (1) Dal sistema dell energia Un possibile Viene detto sistema polifase un sistema costituito da più tensioni o da più correnti sinusoidali, sfasate l una rispetto all altra. Un sistema polifase è simmetrico quando le grandezze sinusoidali hanno

Dettagli

GRANDEZZE SINUSOIDALI

GRANDEZZE SINUSOIDALI GRANDEE SINUSOIDALI INDICE -Grandezze variabili. -Grandezze periodiche. 3-Parametri delle grandezze periodiche. 4-Grandezze alternate. 5-Grandezze sinusoidali. 6-Parametri delle grandezze sinusoidali.

Dettagli

Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino

Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino 1 Funzione di trasferimento La funzione di trasferimento di un sistema lineare è il rapporto di due polinomi della variabile complessa s. Essa

Dettagli

LABORATORIO I-A. Cenni sui circuiti elettrici in corrente continua

LABORATORIO I-A. Cenni sui circuiti elettrici in corrente continua 1 UNIVERSITÀ DIGENOVA FACOLTÀDISCIENZEM.F.N. LABORATORIO IA Cenni sui circuiti elettrici in corrente continua Anno Accademico 2001 2002 2 Capitolo 1 Richiami sui fenomeni elettrici Esperienze elementari

Dettagli

Correnti e circuiti a corrente continua. La corrente elettrica

Correnti e circuiti a corrente continua. La corrente elettrica Correnti e circuiti a corrente continua La corrente elettrica Corrente elettrica: carica che fluisce attraverso la sezione di un conduttore in una unità di tempo Q t Q lim t 0 t ntensità di corrente media

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Problema 1 Due carrelli A e B, di massa m A = 104 kg e m B = 128 kg, collegati da una molla di costante elastica k = 3100

Dettagli

Forma d onda rettangolare non alternativa.

Forma d onda rettangolare non alternativa. Forma d onda rettangolare non alternativa. Lo studio della forma d onda rettangolare è utile, perché consente di conoscere il contenuto armonico di un segnale digitale. FIGURA 33 Forma d onda rettangolare.

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas.8.6.. - -.5.5 -. In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre

Dettagli

Formule trigonometriche

Formule trigonometriche Formule trigonometriche C. Enrico F. Bonaldi 1 Formule trigonometriche In trigonometria esistono delle formule fondamentali che permettono di calcolare le funzioni goniometriche della somma di due angoli

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Laboratorio di Elettrotecnica

Laboratorio di Elettrotecnica 1 Laboratorio di Elettrotecnica Rappresentazione armonica dei Segnali Prof. Pietro Burrascano - Università degli Studi di Perugia Polo Scientifico Didattico di Terni 2 SEGNALI: ANDAMENTI ( NEL TEMPO, NELLO

Dettagli

Risposta temporale: esercizi

Risposta temporale: esercizi ...4 Risposta temporale: esercizi Esercizio. Calcolare la risposta al gradino del seguente sistema: G(s) X(s) = s (s+)(s+) Y(s) Per ottenere la risposta al gradino occorre antitrasformare la seguente funzione:

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

FILTRI PASSIVI. Un filtro elettronico seleziona i segnali in ingresso in base alla frequenza.

FILTRI PASSIVI. Un filtro elettronico seleziona i segnali in ingresso in base alla frequenza. FILTRI PASSIVI Un filtro è un sistema dotato di ingresso e uscita in grado di operare una trasmissione selezionata di ciò che viene ad esso applicato. Un filtro elettronico seleziona i segnali in ingresso

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

In base alla definizione di limite, la definizione di continuità può essere data come segue:

In base alla definizione di limite, la definizione di continuità può essere data come segue: Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo I (itato o ilitato) e sia un punto interno all intervallo I. Si dice che f è continua nel punto se: ( )= ( ) Una funzione f è continua in

Dettagli

Dinamica e Misura delle Vibrazioni

Dinamica e Misura delle Vibrazioni Dinamica e Misura delle Vibrazioni Prof. Giovanni Moschioni Politecnico di Milano, Dipartimento di Meccanica Sezione di Misure e Tecniche Sperimentali giovanni.moschioni@polimi.it VibrazionI 2 Il termine

Dettagli

Strumenti Elettronici Analogici/Numerici

Strumenti Elettronici Analogici/Numerici Facoltà di Ingegneria Università degli Studi di Firenze Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Strumenti Elettronici Analogici/Numerici Ing. Andrea Zanobini Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni

Dettagli

Progetto di un alimentatore con Vo = +5 V e Io = 1 A

Progetto di un alimentatore con Vo = +5 V e Io = 1 A Progetto di un alimentatore con o +5 e Io A U LM7805/TO IN OUT S F T 5 4 8 - ~ ~ + + C GND + C + C3 3 R D LED Si presuppongono noti i contenuti dei documenti Ponte di Graetz Circuito raddrizzatore duale

Dettagli

LA FUNZIONE INTEGRALE

LA FUNZIONE INTEGRALE LA FUNZIONE INTEGRALE MAGLIOCURIOSO & CAMILLO magliocurioso@hotmail.it Sommario. In questa breve dispensa ho semplicementrascritto in L A TEX il contenuto di questa discussione: http://www.matematicamente.it/forum/

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

Corrente elettrica (regime stazionario)

Corrente elettrica (regime stazionario) Corrente elettrica (regime stazionario) Metalli Corrente elettrica Legge di Ohm Resistori Collegamento di resistori Generatori di forza elettromotrice Metalli Struttura cristallina: ripetizione di unita`

Dettagli

FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE. a cura di G. SIMONELLI

FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE. a cura di G. SIMONELLI FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE a cura di G. SIMONELLI Nel motore a corrente continua si distinguono un sistema di eccitazione o sistema induttore che è fisicamente

Dettagli

Le misure di energia elettrica

Le misure di energia elettrica Le misure di energia elettrica Ing. Marco Laracca Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell Informazione Università degli Studi di Cassino e del Lazio Meridionale Misure di energia elettrica La misura

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

Introduzione all elettronica

Introduzione all elettronica Introduzione all elettronica L elettronica nacque agli inizi del 1900 con l invenzione del primo componente elettronico, il diodo (1904) seguito poi dal triodo (1906) i cosiddetti tubi a vuoto. Questa

Dettagli

Dispensa sulle funzioni trigonometriche

Dispensa sulle funzioni trigonometriche Sapienza Universita di Roma Dipartimento di Scienze di Base e Applicate per l Ingegneria Sezione di Matematica Dispensa sulle funzioni trigonometriche Paola Loreti e Cristina Pocci A. A. 00-0 Dispensa

Dettagli

Elettronica Circuiti nel dominio del tempo

Elettronica Circuiti nel dominio del tempo Elettronica Circuiti nel dominio del tempo Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it Elettronica Circuiti nel dominio del tempo 14 aprile 211

Dettagli

GRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI

GRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI GRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI 1 Nel campo elettrotecnico-elettronico, per indicare una qualsiasi grandezza elettrica si usa molto spesso il termine di segnale. L insieme dei valori istantanei assunti

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

Statiche se la trasformazione dell energia avviene senza organi in movimento (es. Trasformatori.)

Statiche se la trasformazione dell energia avviene senza organi in movimento (es. Trasformatori.) Macchine elettriche parte Macchine elettriche Generalità Definizioni Molto spesso le forme di energia in natura non sono direttamente utilizzabili, ma occorre fare delle conversioni. Un qualunque sistema

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Lo studio di unzione Ing. Alessandro Pochì Appunti di analisi Matematica per la Classe VD (a.s. 011/01) Schema generale per lo studio di una unzione Premessa Per Studio unzione si intende, generalmente,

Dettagli

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc.

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. Classi Numeriche 1 1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. In questo breve capitolo richiamiamo le definizioni delle classi numeriche fondamentali, già note al lettore,

Dettagli

Dipendenza dai dati iniziali

Dipendenza dai dati iniziali Dipendenza dai dati iniziali Dopo aver studiato il problema dell esistenza e unicità delle soluzioni dei problemi di Cauchy, il passo successivo è vedere come le traiettorie di queste ultime dipendono

Dettagli

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA Prerequisiti - Impiego di Multipli e Sottomultipli nelle equazioni - Equazioni lineari di primo grado e capacità di ricavare le formule inverse - nozioni base di fisica

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Elementi di analisi delle reti elettriche. Sommario

Elementi di analisi delle reti elettriche. Sommario I.T.I.S. "Antonio Meucci" di Roma Elementi di analisi delle reti elettriche a cura del Prof. Mauro Perotti Anno Scolastico 2009-2010 Sommario 1. Note sulla simbologia...4 2. Il generatore (e l utilizzatore)

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

Analisi Matematica di circuiti elettrici

Analisi Matematica di circuiti elettrici Analisi Matematica di circuiti elettrici Eserciziario A cura del Prof. Marco Chirizzi 2011/2012 Cap.5 Numeri complessi 5.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso un numero scritto

Dettagli

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA DEFINIZIONE: Dato un numero reale a che sia a > 0 e a si definisce funzione esponenziale f(x) = a x la relazione che ad ogni valore di x associa uno e un solo

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

TEORIA PERTURBATIVA DIPENDENTE DAL TEMPO

TEORIA PERTURBATIVA DIPENDENTE DAL TEMPO Capitolo 14 EORIA PERURBAIVA DIPENDENE DAL EMPO Nel Cap.11 abbiamo trattato metodi di risoluzione dell equazione di Schrödinger in presenza di perturbazioni indipendenti dal tempo; in questo capitolo trattiamo

Dettagli

SISTEMI VINCOLATI. 1. Punto fisso: il vincolo impedisce ogni spostamento del punto.

SISTEMI VINCOLATI. 1. Punto fisso: il vincolo impedisce ogni spostamento del punto. SISTEMI VINCOLATI Definizione 1 Si dice vincolo una qualunque condizione imposta ad un sistema materiale che impedisce di assumere una generica posizione e/o atto di moto. La presenza di un vincolo di

Dettagli

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Marco Robutti October 13, 2014 Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione è uno strumento matematico davvero molto utile, e viene spesso utilizzato in

Dettagli

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t;

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t; CAPITOLO CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA Definizioni Dato un conduttore filiforme ed una sua sezione normale S si definisce: Corrente elettrica i Q = (1) t dove Q è la carica che attraversa la sezione S

Dettagli

LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it

LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it L INTENSITÀ DELLA CORRENTE ELETTRICA Consideriamo una lampadina inserita in un circuito elettrico costituito da fili metallici ed un interruttore.

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Risposte canoniche e sistemi elementari Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione

Dettagli

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni

Dettagli

TERMODINAMICA DI UNA REAZIONE DI CELLA

TERMODINAMICA DI UNA REAZIONE DI CELLA TERMODINAMICA DI UNA REAZIONE DI CELLA INTRODUZIONE Lo scopo dell esperienza è ricavare le grandezze termodinamiche per la reazione che avviene in una cella galvanica, attraverso misure di f.e.m. effettuate

Dettagli

Istituto Istruzione Superiore Liceo Scientifico Ghilarza Anno Scolastico 2013/2014 PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA

Istituto Istruzione Superiore Liceo Scientifico Ghilarza Anno Scolastico 2013/2014 PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA PROGRAMMA DI MATEMATICA E FISICA Classe VA scientifico MATEMATICA MODULO 1 ESPONENZIALI E LOGARITMI 1. Potenze con esponente reale; 2. La funzione esponenziale: proprietà e grafico; 3. Definizione di logaritmo;

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli

MACCHINA SINCRONA TRIFASE

MACCHINA SINCRONA TRIFASE MACCHIA SICROA TRIFASE + + + + + + + + + + + + + + + + + + L avvolgimento di eccitazione, percorso dalla corrente continua i e, crea una f.m.m. al traferro e quindi un campo magnetico in modo tale che

Dettagli

Moto sul piano inclinato (senza attrito)

Moto sul piano inclinato (senza attrito) Moto sul piano inclinato (senza attrito) Per studiare il moto di un oggetto (assimilabile a punto materiale) lungo un piano inclinato bisogna innanzitutto analizzare le forze che agiscono sull oggetto

Dettagli

1 n. Intero frazionato. Frazione

1 n. Intero frazionato. Frazione Consideriamo un intero, prendiamo un rettangolo e dividiamolo in sei parti uguali, ciascuna di queste parti rappresenta un sesto del rettangolo, cioè una sola delle sei parti uguali in cui è stato diviso.

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

CAPITOLO I CORRENTE ELETTRICA. Copyright ISHTAR - Ottobre 2003 1

CAPITOLO I CORRENTE ELETTRICA. Copyright ISHTAR - Ottobre 2003 1 CAPITOLO I CORRENTE ELETTRICA Copyright ISHTAR - Ottobre 2003 1 INDICE CORRENTE ELETTRICA...3 INTENSITÀ DI CORRENTE...4 Carica elettrica...4 LE CORRENTI CONTINUE O STAZIONARIE...5 CARICA ELETTRICA ELEMENTARE...6

Dettagli

Limiti e forme indeterminate

Limiti e forme indeterminate Limiti e forme indeterminate Edizioni H ALPHA LORENZO ROI c Edizioni H ALPHA. Ottobre 04. H L immagine frattale di copertina rappresenta un particolare dell insieme di Mandelbrot centrato nel punto.5378303507,

Dettagli

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Figura 1: Foto dell apparato sperimentale. 1 Premessa 1.1 Velocità delle onde trasversali in una corda E esperienza comune che quando

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

1. Determinazione del valore di una resistenza mediante misura voltamperometrica

1. Determinazione del valore di una resistenza mediante misura voltamperometrica 1. Determinazione del valore di una resistenza mediante misura voltamperometrica in corrente continua Si hanno a disposizione : 1 alimentatore di potenza in corrente continua PS 2 multimetri digitali 1

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica - www.cedima.it - Tel. 0229408552

Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica - www.cedima.it - Tel. 0229408552 Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica - www.cedima.it - Tel. 0940855 La funzione: y = cos x DEFINIZIONE Si dice funzione coseno di un angolo nel cerchio trigonometrico, la

Dettagli

Macchine rotanti. Premessa

Macchine rotanti. Premessa Macchine rotanti Premessa Sincrono, asincrono, a corrente continua, brushless sono parecchi i tipi di motori elettrici. Per ognuno teoria e formule diverse. Eppure la loro matrice fisica è comune. Unificare

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

Numeri Complessi R 2. P = (x P,y P ) x P. z = (x,y) y P (0,0)

Numeri Complessi R 2. P = (x P,y P ) x P. z = (x,y) y P (0,0) Numeri Complessi Un numero complesso z può essere definito come una coppia ordinata (x,y) di numeri reali x e y. L insieme dei numeri complessi è denotato con C e può essere identificato con il piano cartesiano

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

Corso di Matematica finanziaria

Corso di Matematica finanziaria Corso di Matematica finanziaria modulo "Fondamenti della valutazione finanziaria" Eserciziario di Matematica finanziaria Università degli studi Roma Tre 2 Esercizi dal corso di Matematica finanziaria,

Dettagli

Il luogo delle radici (ver. 1.0)

Il luogo delle radici (ver. 1.0) Il luogo delle radici (ver. 1.0) 1 Sia dato il sistema in retroazione riportato in Fig. 1.1. Il luogo delle radici è uno strumento mediante il quale è possibile valutare la posizione dei poli della funzione

Dettagli

1. Diodi. figura 1. figura 2

1. Diodi. figura 1. figura 2 1. Diodi 1.1. Funzionamento 1.1.1. Drogaggio 1.1.2. Campo elettrico di buil-in 1.1.3. Larghezza della zona di svuotamento 1.1.4. Curve caratteristiche Polarizzazione Polarizzazione diretta Polarizzazione

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Le Armoniche INTRODUZIONE RIFASAMENTO DEI TRASFORMATORI - MT / BT

Le Armoniche INTRODUZIONE RIFASAMENTO DEI TRASFORMATORI - MT / BT Le Armoniche INTRODUZIONE Data una grandezza sinusoidale (fondamentale) si definisce armonica una grandezza sinusoidale di frequenza multipla. L ordine dell armonica è il rapporto tra la sua frequenza

Dettagli