Risposta a segnali dotati di serie o trasformata di Fourier. Identificazione della risposta in frequenza

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1 RISPOSTA IN FREQUENZA Risposta esponenziale Risposta sinusoidale Risposta a segnali dotati di serie o trasformata di Fourier Identificazione della risposta in frequenza Diagrammi di Bode Diagrammi polari Azione filtrante dei sistemi dinamici Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 1

2 RISPOSTA ESPONENZIALE Esistenza di un uscita esponenziale Sistema SISO di ordine funzione di trasferimento! " $#&%'( *),+-. Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 2

3 Ingresso esponenziale movimento forzato dell uscita: combinazione lineare dei modi propri e di un contributo esponenziale associato alla trasformata dell ingresso % movimento libero dell uscita: un particolare potrebbe annullare completamente i contributi dovuti ai modi ( ) #%'( *),+* #%'( *),+- " #%'( *),+-. sistema asintoticamente stabile! #" % $ Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 3

4 RISPOSTA SINUSOIDALE Esistenza di un uscita sinusoidale Ingresso sinusoidale $ ( non ha autovalori in ) #% ( *),+- #&% ( *),+- Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 4

5 Risposta sinusoidale ( ingresso! non ha autovalori in ) : uscita sistema asintoticamente stabile! #" % $ conoscenza di modulo e fase di al variare di determinazione del comportamento (asintotico) del sistema nei riguardi di ingressi sinusoidali di diversa pulsazione Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 5

6 % Esempio: circuito elettrico movimenti ( $,,, ) $ ) % ) % ) % % ) $ ) ) % % Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 6

7 in maniera alternativa! % attenuazione di sinusoidi a bassa pulsazione (bloccaggio a $ ) passaggio praticamente inalterato di sinusoidi a pulsazione elevata (, per ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 7

8 Risposta in frequenza: definizione e proprietà Risposta in frequenza ( ) " #% ( ),+. restrizione di! ai punti del semiasse immaginario positivo (escluso eventuali poli di! sull asse immaginario) % ritardo di tempo ) % Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 8

9 RISPOSTA A SEGNALI DOTATI DI SERIE O TRASFORMATA DI FOURIER Effetto della singola armonica (principio di sovrapposizione degli effetti per sistemi lineari e stazionari) Segnali sviluppabili in serie di Fourier Ingresso periodico,, " ) " : contributo dell armonica Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 9

10 : uscita periodica (! senza poli in ) " ) " sistema asintoticamente stabile! #" % $ particolarmente utile se % la -esima armonica all ingresso subisce un amplificazione pari a e uno sfasamento angolare pari ad Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 10

11 Esempio: circuito elettrico % % % armoniche % % spettro dell uscita (periodica: ) $ % % Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 11

12 spettro dell ingresso (in grigio) e dell uscita (in nero) per,, Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 12

13 andamento dell ingresso e dell uscita Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 13

14 Segnali dotati di trasformata di Fourier Ingresso dotato di trasformata ) " " infinità non numerabile di armoniche, ognuna moltiplicata per il coefficiente proprietà di linearità : uscita periodica (! senza poli in ) " ) " sistema asintoticamente stabile! #" % $ particolarmente utile se % (trasformata di Fourier della componente forzata dell uscita) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 14

15 Esempio: sistema massa-molla! ingresso ( ) altrove ) spettro dell uscita % &% ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 15

16 spettro dell ingresso (in grigio) e dell uscita (in nero) per ",,, : fenomeno di risonanza Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 16

17 andamento dell ingresso e dell uscita Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 17

18 IDENTIFICAZIONE DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA Determinazione a partire dalla rilevazione di misure sperimentali sistemi SISO lineari, stazionari e asintoticamente stabili Esperimento ingresso attesa tempo sino a regime misura fase e ampiezza sinusoide in uscita modulo = rapporto tra ampiezze, fase = differenza tra fasi ingressi a diverse pulsazioni tecniche di interpolazione Segnali di ingresso ricchi di armoniche armoniche di uscita uso di filtri sulle Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 18

19 DIAGRAMMI DI BODE Strumento efficace per la rappresentazione grafica della risposta in frequenza (sistemi SISO) diagramma del modulo diagramma della fase uso di scala logaritmica in base dieci per l ascissa ( ) decade = intervallo tra due pulsazioni tra loro in rapporto pari a dieci Forma fattorizzata della funzione di trasferimento!!! risposta in frequenza % % Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 19

20 + Diagramma del modulo Ordinata: valore del modulo espresso in decibel, in scala lineare!% % % % % somma dei vari termini (contributi dei fattori corrispondenti agli zeri = contributi dei poli cambiati di segno) Termini fondamentali!!!! diagrammi asintotici (andamento qualitativo) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 20

21 Diagramma del modulo di retta parallela all asse delle, con ordinata positiva ( ), negativa ( ) o nulla ( ) Diagramma del modulo di % Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 21

22 Diagramma del modulo di % diagramma asintotico (in grigio) % % Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 22

23 diagramma dell errore Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 23

24 Diagramma del modulo di % % % Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 24

25 in corrispondenza della pulsazione di risonanza % picco di risonanza (infinito per &$ ) % $ Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 25

26 % diagramma asintotico % diagramma dell errore Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 26

27 Tracciamento del diagramma asintotico del modulo somma dei diagrammi associati ai singoli fattori tracciamento diretto si parte dai fattori e (pendenza % e in il prolungamento assume il valore ) alle pulsazioni o la pendenza aumenta o diminuisce di un numero di unità pari alla molteplicità dello zero o del polo alle pulsazioni naturali o la pendenza aumenta o diminuisce di un numero di unità pari al doppio della molteplicità dello zero o del polo diagramma esatto ottenuto apportando le correzioni poli o zeri vicini in frequenza pendenza del diagramma asintotico per = grado relativo col segno cambiato della funzione di trasferimento (negativa per sistemi strettamente propri, nulla per sistemi propri) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 27

28 Esempio! %!! Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 28

29 Diagramma della fase Ordinata: valore della fase espressa in gradi o radianti % % % % % somma dei vari termini fondamentali (convenzione di considerare valori in modulo non superiori a ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 29

30 % Diagramma della fase di retta parallela all asse delle, con ordinata o % Diagramma della fase di % retta parallela all asse delle, con ordinata ritardo di fase, zero: anticipo di fase) % (polo: Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 30

31 Diagramma della fase di % % diagramma asintotico (in grigio) % % % Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 31

32 Diagramma della fase di % % % % &$ % diagramma asintotico (in grigio) % % % $ % Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 32

33 Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 33

34 Tracciamento del diagramma asintotico della fase somma dei diagrammi associati ai singoli fattori tracciamento diretto si parte dai fattori e (ordinata % ) alle pulsazioni o l ordinata aumenta ( e ) o diminuisce ( e ) di alle pulsazioni naturali o l ordinata aumenta ( e ) o diminuisce ( e ) di Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 34

35 Esempio (precedente) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 35

36 Ritardo di tempo! ) % diagramma della fase Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 36

37 Sistemi a sfasamento minimo! a fase minima: tutti i poli e gli zeri hanno parte reale negativa o nulla, e non sono presenti ritardi di tempo diagramma di Bode della fase dedotto dalla conoscenza del diagramma di Bode del modulo: cambio di pendenza in diminuzione (in aumento) contributo angolare di ritardo (anticipo) dovuto a poli (zeri) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 37

38 DIAGRAMMI POLARI Rappresentazione grafica alternativa della risposta in frequenza nel piano complesso immagine attraverso! del semiasse immaginario non negativo tracciamento per punti, a partire dai diagrammi di Bode o con l ausilio di un mezzo di calcolo Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 38

39 Esempio! diagramma polare per + +, + e diagramma polare per diverse combinazioni di segno di e Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 39

40 Esempio: integratore!! con poli sull asse immaginario diagramma polare connesso: immagine dei punti %, infinitesimo, Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 40

41 Esempio! diagramma polare per e Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 41

42 diagramma polare per e & Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 42

43 Esempio: ritardo di tempo! ) diagramma polare: circonferenza di raggio unitario percorsa un numero infinito di volte in senso orario a partire dal semiasse reale positivo Esempio! ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 43

44 AZIONE FILTRANTE DEI SISTEMI DINAMICI Segnale di ingresso, dotato di serie o trasformata di Fourier sistema amplifica (attenua) e sfasa le armoniche presenti nel segnale (comportamento da filtro) classificazione in relazione alle caratteristiche filtranti Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 44

45 Filtri passa-basso lasciano passare inalterate (filtri ideali), o al più amplificate di un valore costante, unicamente le armoniche con pulsazione inferiore o uguale a un dato valore ed eliminano le armoniche con pulsazione maggiore di Filtro reale passa-basso banda passante Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 45

46 Esempio! filtro passa-basso con banda passante risposta allo scalino tanto più veloce quanto più piccolo è, alias quanto più grande è la banda passante (ampiezza banda velocità del sistema) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 46

47 Altri tipi di filtro Filtri passa-alto lasciano passare inalterate (filtri ideali), o al più amplificate di un valore costante, unicamente le armoniche con pulsazione maggiore o uguale a un dato valore ed eliminano le armoniche con pulsazione minore di Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 47

48 Filtro reale passa-alto banda passante Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 48

49 Esempio! filtro passa-alto con banda passante Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 49

50 Filtri passa-banda lasciano passare unicamente le armoniche con pulsazione compresa in un intervallo + (banda passante) Filtri arresta-banda bloccano unicamente le armoniche con pulsazione compresa in un intervallo + (banda passante: + ) Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 50

51 Filtri a spillo (notch filters) filtri arresta-banda con banda passante % esempio! Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 51