I diagrammi di Bode. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica. Controlli Automatici L. Diagrammi di Bode
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1 Diagrammi di Bode - 1 Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica I diagrammi di Bode DEIS-Università di Bologna Tel crossi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi Diagrammi di Bode Diagrammi di Bode - 2 Funzione di trasferimento in forma fattorizzata (costanti di tempo) Funzione di risposta armonica associata 4 fattori elementari: Guadagno statico Poli/zeri origine Poli/zeri reali Poli/zeri complessi coniugati 1
2 Diagrammi di Bode - 3 Vedremo che il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezze e fasi) potrà esre eguito sommando i diagrammi dei fattori elementari. Questo e possibile grazie alle proprietà dei numeri complessi e al fatto di graficare il valore dell ampiezza in scala logaritmica. Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi Dati quindi complessi e interi si ha che Diagrammi di Bode - 4 fattori elementari fattori elementari 2
3 Fattori elementari Diagrammi di Bode - 5 Ampiezza Fa guadagno statico zero origine zero reale zeri c.c. I contributi dei poli si ottengono da quelli degli zeri mplicemente cambiando gno (ribaltamento attorno all as delle ascis) I contributi di poli/zeri multipli si ottengono mplicemente da quelli a molteplicità singola moltiplicando per la molteplicità Ampiezza espressa in decibel: Diagrammi di Bode - 6 Ampiezza (db) Diagramma logaritmico Fa (gradi) Pha Frequenze (rad/c) Diagramma mi-logaritmico Scala logaritmica (possibilità di rapprentare con il dovuto dettaglio grandezze che variano in campi molto estesi) 3
4 Guadagno statico Ampiezza Diagrammi di Bode - 7 Fa Pha Zero (polo) nell origine Ampiezza Diagrammi di Bode - 8 Fa 4 pendenza Pha
5 Diagrammi di Bode - 9 Polo nell origine : Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene mplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all as delle ascis 4 pendenza Pha Zero (polo) reale Ampiezza Diagrammi di Bode - 1 Fa NB: andamento indipendente dal gno di 4 3 pendenza (valore assoluto dello zero)
6 ..fa: caso Diagrammi di Bode Pha Diagram Tangente al punto di flesso Semiretta a 1 8 Punto di flesso Pha (degree) diagr. approx diagr. reale..fa: caso Diagrammi di Bode - 12 NB: il diagramma delle fasi è speculare rispetto all as Pha Diagram 2 Punto di flesso -2 Pha (degree) diagr. approx diagr. reale 6
7 Polo reale: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene mplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all as delle ascis Diagrammi di Bode Pha Zeri (poli) c.c. Diagrammi di Bode - 14 Ampiezza 8 Magnitude Diagram 7 6 Pendenza Il comportamento per frequenze prossime a può discostarsi molto dal diagramma asintotico dipendentemente dal valore di )
8 ampiezza Calcoliamo la frequenza del minimo della funzione Diagrammi di Bode - 15 Il valore del minimo è alla frequenza e vale Magnitude Diagram Al calare di la frequenza di picco tende verso e il valore del picco tende a Il diagramma non dipende dal gno di Fa: caso Diagrammi di Bode Pha Diagram 2 Tangente al punto di flesso Pha Diagram Pha (degree) Pha (degree) Frequancy (rad/c) Diagramma approssimato 8
9 Fa: caso Diagrammi di Bode - 17 Pha Diagram Pha Diagram -2-4 Pha (degree) Pha (degree) Diagrammi di Bode - 18 Poli c.c.: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene mplicemente ribaltando gli andamenti appena calcolati attorno all as delle ascis 6 Il valore del massimo è alla frequenza e vale Tracciamento dei diagrammi asintotici analogo al caso precedente Pha
10 Caso poli cc instabili: stesso andamento per il diagramma delle ampiezze e ribaltamento rispetto l as delle frequenze per il diagramma delle fasi Diagrammi di Bode Pha Il valore di picco alla 6 Diagrammi di Bode frequenza PICCO DI RISONANZA viene detto Pha Fisicamente rapprenta il fattore di amplificazione massima della coppia di poli a fronte di sollecitazioni alla FREQUENZA DI RISONANZA
11 Il valore di minimo alla 6 4 Diagrammi di Bode - 21 frequenza viene detto 2-2 PICCO DI ATTENUAZIONE Pha Fisicamente rapprenta il fattore di attenuazione massima della coppia di zeri a fronte di sollecitazioni alla FREQUENZA DI RISONANZA Tabella riassuntiva Diagrammi di Bode (rad/c) (rad/c) (rad/c) (rad/c) 11
12 .Tabella riassuntiva Diagrammi di Bode (rad/c) (rad/c) (rad/c) (rad/c).tabella riassuntiva Diagrammi di Bode (rad/c) (rad/c) (rad/c) (rad/c) 12
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