CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale DIAGRAMMI DI BODE

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1 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale DIAGRAMMI DI BODE Ing. Federica Grossi Tel

2 Phase (deg) Open-Loop Gain (db) Magnitude (db) Imaginary Axis Diagrammi di Bode e polari Metodi di rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica funzioni complesse di variabile reale Im{F( )} Nyquist Diagram 1-1 arg{f( )} Re{F( )} F( ) Tre possibili rappresentazioni! Bode Diagram F( ) Real Axis 8 F( ) 75 Nichols Chart arg{f( )} F( ) ( ) arg{f( )} Frequency (rad/sec) Open-Loop Phase (deg) Introduzione -- 2

3 Diagrammi di Bode La rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica viene effettuata con speciali diagrammi, che costituiscono la base dei procedimenti grafici per la sintesi delle reti correttrici nel dominio delle frequenze. Fra questi sono di largo impiego i diagrammi di Bode o diagrammi logaritmici di risposta armonica. Poiché la funzione di risposta armonica ha valori complessi, si hanno due diversi diagrammi: diagramma delle ampiezze o dei moduli, che riporta il logaritmo del modulo della risposta armonica; diagramma delle fasi o degli argomenti, che riporta l'argomento della risposta armonica. entrambi sono in funzione del logaritmo della pulsazione. Introduzione -- 3

4 Diagrammi di Bode Vedremo che il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezza e fase) potrà essere eseguito sommando i diagrammi dei fattori elementari. Questo è possibile grazie alle proprietà dei numeri complessi e al fatto di graficare i valori delle ampiezze in scala logaritmica Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi Dati quindi (a, b, c, q) complessi e (k,, q) interi si ha che Introduzione -- 4

5 Phase (deg) Magnitude (db) Diagrammi di Bode Esempio: Ampiezza espressa in decibel: Bode Diagram Fase espressa in gradi -45 Frequenze in scala logaritmica Frequency (rad/sec) Introduzione -- 5

6 Diagrammi di Bode I vantaggi che si hanno impiegando la scala logaritmica sono: Possibilità di rappresentare col dovuto dettaglio grandezze che variano in campi notevolmente estesi; Possibilità di sommare i diagrammi relativi a sistemi in cascata, per ottenere il diagramma del sistema complessivo: infatti la risposta armonica complessiva si ottiene eseguendo il prodotto delle singole risposte armoniche, cioè eseguendo il prodotto delle ampiezze (che, impiegando una scala logaritmica, si riconduce ad una somma) e la somma delle fasi; Possibilità di costruire i diagrammi relativi ad una funzione di risposta armonica data in forma fattorizzata come somma di diagrammi elementari, di un numero limitato di tipi fondamentali, corrispondente ciascuno ad un singolo fattore. Introduzione -- 6

7 Diagrammi di Bode Si prenderà in esame ora, in particolare, questo ultimo punto. Sia data o, in forma fattorizzata: Il fattore s h corrisponde ad un eventuale polo nell'origine avente ordine di molteplicità h: se la funzione di trasferimento non presenta poli nell'origine, è h=. Introduzione -- 7

8 Diagrammi di Bode Moltiplicando fra loro i fattori corrispondenti a coppie di zeri e poli complessi coniugati, in modo che i coefficienti risultino tutti reali, e operando opportune posizioni, si ottiene che equivale alla forma con costanti di tempo in cui è Introduzione -- 8

9 Diagrammi di Bode Ponendo s = j, si ottiene la seguente espressione della funzione di risposta armonica La costante K è detta costante di guadagno. Per h =, essa rappresenta il guadagno statico, cioè il valore della funzione di risposta armonica per = Per h = 1, la costante K si chiama anche costante di velocità Per h = 2, la costante K si chiama anche costante di accelerazione Introduzione -- 9

10 Diagrammi di Bode Si è ottenuto Se si tracciano i diagrammi di Bode, delle ampiezze e delle fasi, corrispondenti a funzioni elementari dei tipi: è possibile, sommandoli, ottenere il diagramma di Bode della funzione complessiva. Introduzione -- 1

11 arg(k) K (db) Diagrammi di Bode 1. G(j )=K Diagramma delle ampiezze Diagramma delle fasi k >1 k < Diagrammi di Bode ln( ) [rad/sec] k> k< Introduzione -- 11

12 Diagrammi di Bode 2. G(j )=(j ) -h arg(1/(j )) arg(1/(j 2 )) 1/(j ) 2 (db) Essendo: Ampiezza Fase i diagrammi di Bode hanno l'andamento rappresentato in figura (per h =1, 2). Per un generico valore di h: il diagramma delle ampiezze è una retta passante per l'origine di inclinazione 2 h, il diagramma delle fasi è identicamente uguale a h /2. 1/(j ) (db) Diagrammi di Bode ln( ) [rad/sec] Diagrammi di Bode ln( ) [rad/sec] Introduzione -- 12

13 arg(1/(1+j )) arg(1+j ) 1/(1+j ) (db) (1+j ) (db) Diagrammi di Bode 3. G(j )= (1+j ) 1. Diagrammi di Bode di termini del primo ordine ( >). Nel caso di : Ampiezza I corrispondenti diagrammi di Bode sono i seguenti: Fase Diagrammi di Bode Diagrammi di Bode ln( ) [rad/sec] ln( ) [rad/sec] Introduzione -- 13

14 Diagrammi di Bode Diagrammi approssimati a spezzata E molto utile, per le costruzioni grafiche, impiegare diagrammi di Bode approssimati a forma di spezzata. Sia data: Per il diagramma delle ampiezze si impiega l'approssimazione asintotica (la spezzata costituita dai due asintoti cui tende il diagramma per e per 1), infatti: Per 1/ ( 2 2 1), si ottiene cioè il diagramma viene a coincidere con l'asse delle ascisse. Per À 1/ (1 2 2 ), si ha Il diagramma viene a coincidere con la retta passante per il punto log = log(1/ ) e di inclinazione -2 db/decade (o -1). L'approssimazione asintotica del diagramma delle ampiezze è pertanto costituita dalle due semirette Introduzione -- 14

15 1/(1+j ) (db) Diagrammi di Bode Diagrammi approssimati a spezzata L'errore massimo di questa approssimazione si ha per = 1/ e vale 2 Diagrammi di Bode Introduzione -- 15

16 gradi Diagrammi di Bode Diagrammi approssimati a spezzata Anche il diagramma delle fasi può essere approssimato con la spezzata che si ottiene collegando i due asintoti = e = - /2 con la tangente al diagramma nel punto corrispondente alla pulsazione = 1/, in cui è = /4. 1 fase rad/sec Introduzione -- 16

17 Diagrammi di Bode Diagrammi approssimati a spezzata Da si può scrivere le pulsazioni a e b si determinano, in funzione della pulsazione corrispondente al punto di rottura del diagramma asintotico delle ampiezze, mediante la relazione da cui L'impiego delle approssimazioni asintotiche è vantaggioso perché, nell'eseguire la somma dei diversi diagrammi elementari, basta determinare le ordinate in corrispondenza dei vertici della spezzata, cioè in corrispondenza delle pulsazioni di rottura di ciascuno dei diagrammi elementari. Introduzione -- 17

18 gradi db Diagrammi di Bode Diagrammi approssimati a spezzata Ricapitolando: Per e valori di positivi (poli stabili) 2 Pendenza 1 o -1 ampiezza / fase rad/sec a = / 4.81 b = * 4.81 Pendenza -1 (-2 db/decade) Per sia il diagramma delle ampiezze che quello delle fasi sono ribaltati rispetto all asse delle ascisse -9 o Introduzione -- 18

19 Diagrammi di Bode Diagrammi approssimati a spezzata Si sono visti i casi relativi alle funzioni (per valori > ): Per valori della costante di tempo < in entrambi i casi: il diagramma delle ampiezze risulta immutato, con il punto di rottura per = 1/, il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse. Introduzione -- 19

20 gradi db Diagrammi di Bode - Esempio ampiezza fase rad/sec rad/sec Introduzione -- 2

21 Diagrammi di Bode Diagrammi di Bode del termine del secondo ordine 5 < 1 Se fosse = 1, le radici non sarebbero complesse coniugate e il termine di secondo grado sarebbe il prodotto di due termini di primo grado. Eventualmente < : caso considerato a parte. Analogamente al caso dei termini di primo ordine, si fa riferimento in un primo tempo all'esponente -1: data la natura logaritmica dei diagrammi, se l'esponente valesse +1 basterebbe ribaltare entrambi i diagrammi di Bode attorno all'asse delle ascisse. Per tale valore dell'esponente si può scrivere Introduzione -- 21

22 Diagrammi di Bode Asintoti del diagramma : Per / n 1, Per / n À 1, prevale il termine ( / n ) 4 e pertanto In questo caso il diagramma effettivo può discostarsi sensibilmente da quello asintotico: in particolare, per = e in corrispondenza della pulsazione di rottura n, lo scostamento è infinito. Introduzione -- 22

23 Diagrammi di Bode Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà: Per la curva presenta un massimo; Per la curva interseca l'asse delle ascisse a destra del punto = n ed è pertanto tutta al di sopra della sua approssimazione asintotica; Per la curva interseca l'asse delle ascisse a sinistra del punto = n ; Per la curva non interseca l'asse delle ascisse ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica. Introduzione -- 23

24 Diagrammi di Bode Andamento del diagramma delle ampiezze per diversi valori di =.1 G(j ) 1 = 1 = ln( ) Introduzione -- 24

25 G(j Diagrammi di Bode Picco di risonanza, Pulsazione di risonanza Il picco di risonanza M R è il valore massimo assunto dal diagramma delle ampiezze. La pulsazione di risonanza R è la pulsazione alla quale esso si verifica =.1 picco di risonanza ) = 1 =.5 pulsazione di risonanza ln( ) Introduzione -- 25

26 Diagrammi di Bode Per il calcolo di M R e R conviene, per semplicità, porre u = / n. Il massimo dell'ampiezza corrisponde quindi ad un minimo della funzione Derivando e uguagliando a zero la derivata, si ottiene Introduzione -- 26

27 Diagrammi di Bode Si è ottenuto Noto il valore di R, si calcola il valore dell'ampiezza alla risonanza, cioè del picco di risonanza M R, come il modulo della funzione di risposta armonica per = R. Si ricava: Andamento del picco di risonanza M R in funzione del coefficiente di smorzamento. M R Introduzione -- 27

28 arg[g(j Diagrammi di Bode Diagramma delle fasi Anche il diagramma delle fasi varia in funzione di. =.5 =.1-2 = -4-6 = 1 )] ln( ) Introduzione -- 28

29 Diagrammi di Bode Per quanto riguarda l'approssimazione asintotica, si può ottenere congiungendo gli asintoti = e = - con un segmento inclinato come la tangente al diagramma effettivo in corrispondenza della pulsazione di rottura. Si ottiene una famiglia di diagrammi, ciascuno per un diverso valore di. Per il calcolo dell'approssimazione asintotica, essendo si deduce Introduzione -- 29

30 Diagrammi di Bode Le pulsazioni a e b sono legate alla pulsazione di rottura n dalla relazione dalla quale si ottiene cioè Introduzione -- 3

31 Diagrammi di Bode In pratica, per determinare sulla scala logaritmica la pulsazione omega a (oppure la b ) in rapporto alla n, basta: riportare su una striscia di carta la distanza, presa sulla scala stessa, fra il punto di ascissa 1 e quello di ascissa 4.81 moltiplicare la lunghezza del segmento così ottenuto per (ad esempio, se è =.5, si assume una distanza paria metà del segmento ottenuto). Introduzione -- 31

32 Diagrammi di Bode La pulsazione naturale n, uguale al modulo delle radici complesse coniugate cui corrisponde il termine del secondo ordine, non è mai negativa n > sempre Il coefficiente di smorzamento può essere invece negativo: < In questo caso: il diagramma delle ampiezze è uguale a quello che si avrebbe per uno smorzamento pari a il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse. Introduzione -- 32

33 Diagrammi di Bode Caso con < Diagramma delle ampiezze: non cambia Diagramma delle fasi: ribaltato attorno all asse Introduzione -- 33

34 arg[g(j )] G(j ) 1 1 Diagrammi di Bode Diagrammi di Bode per il termine di secondo ordine ln( ) =.1,.2,.3,.4,.5,.6,.7,.8, 1, 1.2, 1.5, ln( ) Introduzione -- 34

35 arg[g(j )] G(j ) 1 2 Diagrammi di Bode Diagrammi di Bode per il termine di secondo ordine ln( ) Picco di attenuazione Si ribaltano attorno all'asse delle ascisse i diagrammi ottenuti per ln( ) Introduzione -- 35

36 Diagrammi di Bode Ritardo Essendo la funzione di risposta armonica ha modulo identicamente unitario e fase crescente linearmente con la frequenza. Per ricavare i diagrammi di Bode, si scrive dalla quale si deduce che il diagramma delle fasi ha un andamento esponenziale. Introduzione -- 36

37 arg[g(j )] G(j ) Diagrammi di Bode 1 2 Andamento dei diagrammi di Bode del ritardo ln( ) ln( ) t t =.1 sec t =.2 sec t =.5 sec Introduzione -- 37

38 Fase Fase Ampiezza Ampiezza Fase Fase Ampiezza Ampiezza Diagrammi di Bode tabella riassuntiva Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Frequenza (rad/sec) Introduzione -- 38

41 Esempio: Altoparlante magnetico N S N Funzione di trasferimento del sistema (dall ingresso, all uscita ): Induttanza bobina Resistenza bobina Costante di forza bobina Massa del cono Costante elastica sospensione Coefficiente attrito cono nell aria Costante velocità cono/ potenza acustica Mappa poli/zeri: Zero nell origine Poli meccanici Polo elettrico Introduzione -- 41

42 Phase (deg) Magnitude (db) Esempio: Altoparlante magnetico 2 Bode Diagram Frequency (rad/sec) La presenza dello zero nell origine mette in luce che le componenti continue non vengono trasferite (senso fisico) Le frequenze elevate non vengono trasferite (senso fisico) Introduzione -- 42

43 Phase (deg) Magnitude (db) Curva Esempio: Altoparlante magnetico Il sistema esaminato risulta essere un passa banda, ovvero solo le armoniche comprese in un certo intervallo frequenziale vengono trasferite in uscita senza attenuazione in ampiezza (a meno di una costante e con sfasamenti trascurabili) normalizzata Bode Diagram Banda passante: intervallo di frequenze in cui il diagramma di Bode delle ampiezze è compreso tra [-3, 3] db (in generale compreso in una fascia ampia 6 db centrata sul valore massimo) Frequency (rad/sec) banda passante Classificazione sistemi Introduzione -- 43

44 Proprietà filtranti dei sistemi Ogni sistema dinamico agisce sullo spettro delle frequenze in ingresso in modo selettivo. Molti sistemi di interesse fisico possono essere classificati in base la tipo di azione filtrante Passa Basso Passa Alto Banda passante Banda passante Introduzione -- 44

45 Proprietà filtranti dei sistemi Passa Banda Elimina Banda Banda passante Banda passante Introduzione -- 45

46 Spettri di segnali filtrati da sistemi lineari Dalla definizione di funzione di risposta armonica, l uscita a regime di un sistema lineare asintoticamente stabile con funzione di risposta armonica F( ), forzato da un ingresso con spettro frequenziale U F ( ), è un segnale temporale il cui spettro Y F ( ): ha le stesse componenti frequenziali di quello in ingresso (non vengono aggiunte frequenze non presenti nello spettro di ingresso); ha un andamento che è quello dello spettro di ingresso modulato dall andamento della funzione di risposta armonica ( Y F ( i ) = F( i ) U F ( ) ). i regime spettro serie di Fourier spettro serie di Fourier Introduzione -- 46

47 Introduzione -- 47

48 Spettri di segnali filtrati da sistemi lineari In realtà la proprietà dello spettro del segnale di uscita di essere quello del segnale di ingresso modulato dalla funzione di risposta armonica non vale solo per il segnale a regime ma bensì per l andamento completo. Ricordando le definizioni di serie di Fourier (segnale periodico) o trasformata di Fourier (segnale qualsiasi) armoniche peso del modulo della k a armonica sfasamento della k a armonica Introduzione -- 48

49 Time (sec) Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec) Introduzione -- 49

50 Time (sec) Frequency (rad/sec) Introduzione -- 5

51 Time (sec) Frequency (rad/sec) Introduzione -- 51