Sistemi Elementari. Prof. Laura Giarré

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1 Sistemi Elementari Prof. Laura Giarré

2 Rappresentazioni di una funzione di trasferimento Una funzione di trasferimento espressa in forma polinomiale può essere riscritta in forma fattorizzata come costante di trasferimento I termini del secondo ordine rappresentano le coppie di zeri/poli complessi coniugati e sono caratterizzati dai parametri pulsazioni naturali coefficienti di smorzamento Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 2

3 Rappresentazioni di una funzione di trasferimento Parametrizzazione polare di poli/zeri con Valgono pertanto le seguenti relazioni Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 3

4 Rappresentazioni di una funzione di trasferimento Una forma fattorizzata (forma di Bode) alternativa è quella che mette in evidenza le costanti di tempo guadagno dove sono le costanti di tempo associate agli zeri e ai poli Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 4

5 Sistemi elementari Come evidenziato discutendo l antitrasformazione di una generica funzione risposta forzata di un sistema dinamico con fdt arbitrariamente complessa può essere ottenuta sommando le risposte di sistemi elementari del primo e secondo ordine. Ha quindi senso analizzare l andamento temporale di sistemi elementari a fronte di ingressi tipici (gradino) e identificare la relazione esistente tra i parametri della fdt e l andamento temporale della risposta. Sistemi del primo ordine Sistemi del secondo ordine Effetto degli zeri Luoghi a sovraelongazione e tempo di assestamento costante Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 5

6 Sistemi elementari Risposta a gradino: Viene usato come segnale d ingresso u(t) un gradino unitario u(t) 1 U(s) Y(s) t Se il gradino non fosse unitario ma di ampiezza K, la risposta sarebbe la stessa moltiplicata per K (linearità): Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 6

7 Sistemi elementari Primo ordine Un sistema elementare del primo ordine è caratterizzato da una funzione di trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma in cui la costante di tempo costituisce il parametro che caratterizza il comportamento dinamico. 1 La risposta al gradino unitario è data da y(t) Tempo (t/tau) Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 7

8 Sistemi elementari Primo ordine Sistema elementare del primo ordine Per la risposta a gradino, si ha: 1.8 y(t).6 Cioè il valore iniziale è nullo e la pendenza (tangente) vale 1/ : per t = la tangente assume il valore di regime Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 8 Tempo (t/tau)

9 Sistemi elementari Primo ordine Risposta di un sistema del primo ordine y(t) Tempo (t/tau) 2 3 per t = la risposta assume un valore pari al 63,2 % del valore finale di regime, per t = 2 il valore è pari all'86,5% del valore di regime, per t = 3 si raggiunge il 95,% del valore di regime. Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 9

10 Sistemi elementari Primo ordine Tempo di assestamento tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il 5% del valore finale. y(t) Per t = 5 si raggiunge il 99,3% del valore di regime. Per t = 7 si raggiunge il 99,91 % del valore di regime, cioè l'assestamento residuo rimane inferiore all'un per mille Tempo (t/tau) Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 1

11 Sistemi elementari Primo ordine Al variare di varia la velocità di risposta del sistema Se T a polo del sistema in 1.9 j.8 y(t) t Î [1, 1] t= 1 t= 1 x x x x x x -1-1/1 Poli più a sinistra ( piccoli) corrispondono a risposte più veloci Tempo (sec) Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 11

12 Sistemi elementari Primo ordine con zero Se oltre al polo vi è anche uno zero (sistema proprio) La risposta a gradino è data da Essendo = T/ il rapporto tra le costanti di tempo dello zero e del polo (p = z) j o x o < 1 > 1 = = 1.5 =.5 = -1 Valore iniziale = Pendenza iniziale = (1- )/ Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré Tempo (t/t) 12

13 Sistemi elementari Secondo ordine Per le specifiche riguardanti la risposta al gradino (segnale tipico più frequentemente impiegato) si fa riferimento ad un andamento della risposta analogo a quello di un sistema del secondo ordine con poli complessi, cioè di tipo oscillatorio smorzato y(t) Tempo (t) Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 13

14 Sistemi elementari Secondo ordine I parametri più importanti, sui quali si può basare una misura della qualità del transitorio di un sistema del secondo ordine sono: Massima sovraelongazione (o massimo sorpasso) S: differenza fra il valore massimo raggiunto dall'uscita e il valore finale; normalmente si esprime in % del valore finale. Tempo di ritardo T r : tempo per raggiungere il 5% del valore finale S Tempo di salita T s : tempo occorrente perchè l'uscita passi dal 1 al 9% del valore finale. Tempo di assestamento T a : tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il ± 5% del valore finale. Istante di massima sovraelongazione T m : istante al quale si presenta la massima sovraelongazione. y(t) T s T r T m Tempo (t) T a Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 14

15 Sistemi elementari Secondo ordine Per il tipico sistema del secondo ordine, la cui funzione di trasferimento, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma I parametri definiti in precedenza dipendono dalla posizione dei poli nel piano complesso, legata a sua volta ai valori: del coefficiente di smorzamento della pulsazione naturale n. y(t) =.1 = Tempo (w * t) n Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 15

16 Sistemi elementari Secondo ordine La risposta al gradino unitario è data dalla relazione 2 dove: y(t) Tempo (w * t) n Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 16

17 Sistemi elementari Secondo ordine Posizione dei poli della f.d.t. al variare di = cos( ) Im(s) Im(s) p 1 n Re(s) x P 1 = P 2 n Re(s) p 2 Im(s) n Im(s) p 1 P 1 x x P 2 Re(s) Re(s) Poli instabili! p 2 Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 17

18 Sistemi elementari Secondo ordine Caratteristiche della risposta poli della f.d.t. Risposte al gradino Im(s) 1.5 <1 p 1 n 1.5 =1 >1 - n Re(s) n n p 2 veloce transitorio lento instabile Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 18

19 Sistemi elementari Secondo ordine Può interessare la relazione esatta fra il valore del coefficiente di smorzamento e quello della massima sovraelongazione. Per ricavarla, si deriva rispetto al tempo la Si ottiene Ponendo la derivata uguale a zero, si ha da cui Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 19

20 Sistemi elementari Secondo ordine Si ricavano infine i valori dell'uscita in corrispondenza dei vari massimi e minimi y(t) Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 2

21 Sistemi elementari Secondo ordine Anche il valore della massima sovraelongazione S in % si ricava facilmente: In un sistema del secondo ordine la massima sovraelongazione è funzione unicamente del coefficiente di smorzamento ed è uguale al 1 % quando tale 1 coefficiente è nullo S % d Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 21

22 Sistemi elementari Secondo ordine Il coefficiente di smorzamento dipende dalla posizione dei poli complessi coniugati. Se il valore della massima sovraelongazione non deve superare un certo massimo assegnato, i poli del sistema devono essere compresi in settore delimitato dalle rette b e b. Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 22

23 Sistemi elementari Secondo ordine Spesso si specifica anche il valore massimo del tempo di assestamento T a. Un limite superiore per T a si può ricavare da da cui Perché il tempo di assestamento sia non superiore al valore assegnato dovrà essere Il prodotto n è uguale in modulo, con segno opposto, alla parte reale dei poli del sistema: questo vincolo equivale a limitare la posizione dei poli a sinistra di una retta verticale. Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 23

24 Sistemi elementari Secondo ordine Al variare di n si hanno andamenti (risposta al gradino) di questo tipo: 1.4 Risposta al variare di n (.5-5) y(t) Tempo (sec) NB: il coefficiente di smorzamento è costante ( =.5) e quindi il sorpasso percentuale non cambia. Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 24

25 Sistemi elementari Secondo ordine Se i poli complessi coniugati variano come in figura: 2 Risposta ( = /2; T = 4) y(t) Tempo (sec) Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 25

26 Sistemi elementari Secondo ordine Se infine si considerano poli come in figura: 2.5 Risposta ( n = /2) y(t) Tempo (sec) Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 26

27 Sistemi elementari Secondo ordine Sistemi del secondo ordine con >1 Poli reali: Im(s) Coincidenti per = 1 Distinti per > 1 P 1 x x x P 2 Re(s) - n Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 27

28 Sistemi elementari Secondo ordine L'equazione fornisce la risposta per < < 1 (il sistema presenta poli complessi coniugati). Per = 1 (poli reali coincidenti) si ha: e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla relazione 1.8 Per = 1 non si ha alcuna sovraelongazione: y(t) tende asintoticamente al valore finale senza mai superarlo. y(t) Tempo (w * t) n Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 28

29 Sistemi elementari Secondo ordine Per > 1 (poli reali distinti) si ha e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla funzione con 1.8 y(t) Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré Tempo (w n * t) 29

30 Sistemi elementari Secondo ordine Per > 1 (poli reali distinti) la risposta in funzione delle costanti di tempo e risulta ovvero In molti casi di interesse pratico i due poli hanno costanti di tempo molto diverse o Il termine associato al polo con costante di tempo maggiore è caratterizzato da un residuo molto più grande e da un esponenziale molto più lento che tende ad estinguersi La risposta del sistema tende a quella di un sistema del primo ordine governato dal polo dominante Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 3

31 Sistemi elementari Secondo ordine con zero Sia data la funzione Si può scrivere: Da cui Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 31

32 Sistemi elementari Secondo ordine con zero 3 Impulse Response 2.5 T = 1 2 T = Amplitude 1.5 T = -.5 T = Time (sec) Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 32

33 Sistemi elementari Secondo ordine con zero Nel caso di un sistema con 2 poli reali + zero reale da cui antitrasformando si ottiene Proprietà della risposta per L analisi della risposta temporale, e in particolare il valore dei residui associati ai poli, dipende fortemente dalla posizione dello zero. Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 33

34 Sistemi elementari Secondo ordine con zero Caso sistemi a fase non minima: Essendo Si ha che la risposta parte con una sottoelongazione Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 34

35 Sistemi elementari Secondo ordine con zero Caso sistemi a fase minima: Termine > che tende a zero lentamente Termine < che tende a zero velocemente Inoltre: Derivata nel caso non ci sia lo zero Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 35

36 Sistemi elementari Secondo ordine con zero Caso sistemi a fase minima: La risposta presenta una sovraelongazione tanto più marcata quanto più lo zero tende verso l origine Risposta non oscillatoria Risposta molto più brusca dell equivalente sistema privo di zero Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 36

37 Sistemi elementari Secondo ordine con zero Caso sistemi a fase minima con quasi cancellazione: Termine < che tende a zero velocemente Il residuo associato è molto piccolo e > se < se Inoltre l esponenziale tende a zero lentamente L esponenziale lento genera un contributo piccolo che non è evidente nei primi istanti del transitorio (in quanto sovrastato dal contributo dell esponenziale veloce ) ma che appare asintoticamente. Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 37

38 Sistemi elementari Secondo ordine con zero Caso sistemi a fase minima con quasi cancellazione: L andamento di è inizialmente analogo a quello di un sistema del primo ordine (governato dal polo veloce con costante di tempo t2 ). Al passare del tempo emerge un contributo subdolo che si esaurisce lentamente con una velocità che dipende dalla costante di tempo associata allo zero ) Tipica risposta con due dinamiche temporali. Coda di assestamento dovuta alla quasi cancellazione polo/zero. Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 38

39 Sistemi di ordine superiore al secondo Nel caso di un sistema con due poli reali e uno zero, si è visto che se la costante di tempo dello zero è simile a quella di uno dei due poli, la risposta è assimilabile a quella di un sistema del primo ordine (ottenuto eliminando le due singolarità prossime tra loro) Nel caso di sistemi di ordine superiore è possibile ottenere un modello approssimato di ordine ridotto (con una risposta al gradino simile al sistema di partenza) cancellando coppie di poli/zeri vicini tra loro nel piano complesso e con parte reale negativa. Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 39

40 Sistemi di ordine superiore al secondo Una volta cancellati coppie di poli e zeri prossimi tra loro vengono chiamati poli dominanti i poli, reali o complessi, nettamente più vicini rispetto agli altri poli j x x x x x La risposta al gradino di un sistema con poli dominanti può essere approssimata con quella di un sistema la cui funzione di trasferimento possiede soltanto questi poli e un guadagno pari a quello del sistema di partenza. Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 4

41 Sistemi di ordine superiore al secondo Risposta al gradino della funzione e della sua approssimante 12 G Pole-Zero Map G a Im a g in a r y A x is Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 41 Real Axis

42 Sistemi di ordine superiore al secondo Risposta al gradino della funzione e della sua approssimante 6 5 G G a Pole-Zero Map Imaginary Axis Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 42 Real Axis

43 Sistemi di ordine superiore al secondo Risposta al gradino della funzione e della sua approssimante 9 8 G G a Pole-Zero Map Imaginary Axis Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 43 Real Axis

44 Sistemi di ordine superiore al secondo Esercizio: determinare i poli dominanti e il guadagno statico del sistema la cui risposta al gradino unitario è riportata in figura Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 44

45 Sistemi di ordine superiore al secondo Esercizio: determinare i poli dominanti (sapendo che sono 3 con la stessa parte reale) e il guadagno statico del sistema la cui risposta al gradino unitario è riportata in figura Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 45

46 Visualizzazione della risposta con MATLAB Dopo aver definito una funzione di trasferimento >> s = tf( s ) >> G = 12*(s+2)/((s+.1)*(s^2 + 1*s + 425)) Transfer function: 12 s s^ s^ s >> step(g) è possibile ottenere il plot della risposta al gradino con il comando >> impulse(g) MATLAB fornisce anche la risposta all impulso con il comando Sistemi Elementari CA Prof. Laura Giarré 46