Controlli Automatici 2 22/06/05 Compito a

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1 Controlli Automatici 2 22/6/5 Compito a a) Si consideri il diagramma di Bode (modulo e fase) di G(s) in figura 1. Si 5 Bode Diagram Frequency (rad/sec) Figure 1: Diagrammi di Bode risponda alle seguenti domande, giustificando ogni risposta 1 : 1) Si tracci, in maniera approssimata, il diagramma di Nyquist; La funzione parte con modulo infinito e fase π/2, quindi ha un polo nell origine. A ω = 2 il modulo vale circa 4 db, quindi il guadagno statico di sg(s) e unitario. Successivamente la fase cala e la pendenza del modulo cala (l intercetta con l asse a db e infatti prima di ω = 1), ovvero dev essere presente un polo stabile. Successivamente la fase cresce e la pendenza del modulo aumenta, ovvero uno zero stabile. Infine, la fase e la pendenza ritornano a calare (polo stabile). Una (la) f.d.t. associata al sistema in figura, che rispetta le suddette specifiche, e s + 1 P (s) = s(s +.1)(s + ) il diagramam di Nyquist associato e riportato in figura 2: 2) Si riporti la definizione e si calcoli il margine di guadagno del sistema, indicandolo sul grafico se possibile; Il margine di guadagno e definito come l inverso del valore di G(jω B ), essendo ω B la pulsazione per cui G(jω B ) = π. Dal diagramma, tale valore di fase viene assunto asintoticamente ed e nullo, ovvero il margine e infinito. 1 le risposte si /no non verranno considerate 1

2 3) Si riporti la definizione e si calcoli il margine di fase del sistema, indicandolo sul grafico se possibile; Basta valutare la differenza tra la fase di G(jω C ) e π quando G(jω C ) = 1. Dalla figura, vale circa 35 o.6rad e ω C =.3 4) Si dica se il sistema G(s), in retroazione, da luogo ad una f.d.t asintoticamente stabile; Si, perche il margine di guadagno e infinito. 5) Si dica se il sistema G(s), in retroazione, da luogo ad una funzione di trasferimento il cui diagramma di Bode presenta massimi di risonanza; La relazione che lega margine di fase allo smorzamento e riportata nell esercizio c). Utilizzando tale relazione si ha ξ = sin(.3).3. 6) Si dica se il sistema 1 2 G(s)e 3s, in retroazione, da luogo ad una f.d.t. as. stabile; La regola da utilizzare e ω C τ max = φ m. Si noti che la pulsazione di attraversamento e il margine di fase da calcolare sono pero quelli di 1 2G(s). Per calcolarli, occorre abbassare di 6 db il grafico del modulo della G(s). Dalla figura, la pulsazione si portera circa a.2 e il margine restera circa invariato, ovvero τ max =.6/.2 3. Visto il valore molto prossimo a 3, la situazione e critica e andrebbe analizzata in maggiore dettaglio. In ogni caso, qualora fosse stabile, il sistema ad anello chiuso avrebbe un massimo di risonanza abbastanza elevato. 7) Si dica se il sistema G(s)e s, in retroazione, da luogo ad una f.d.t. as. stabile; Alzando di 4 db il grafico la pulsazione si porta circa a e il margine a π/4. Per tali valori, il massimo ritardo ammissibile e τ max.1, quindi il sistema e instabile. 8) Per W (s) = G(s) 1+G(s) si calcoli in maniera approssimata l errore di regime permanente in risposta a un segnale di riferimento a gradino; Alla luce del margine di guadagno infinito e margine di fase positivo, la funzione di trasferimento W (s) e asintoticamente stabile. Dal momento che G(s) contiene un integratore, l errore di regime permanente e nullo; 9) Per W (s) = G(s) 1+G(s), si calcoli in maniera approssimata l ampiezza della sinusoide di uscita quando r(t) = sin(3t). Quando G(jω) 1 si ha che W (jω) G(jω) db ( 5 ). Dunque l uscita di regime permanente all ingresso dato avra ampiezza circa pari a 3. b) Si tracci il luogo (diretto) delle radici di G(s) = (s + ) s(s + 5)(s +.5)(s + 2) e si dica per quali valori del guadagno K > la funzione di sensitivita S(s) = KG(s) risulta stabile. Il luogo delle radici e riportato in figura 3. Dal grafico e immediato verificare che la funzione di sensitivita risulta as. stabile per qualsiasi valore di K >. 2

3 c) Si ricavi la formula approssimata ξ = sin ( φm che lega margine di fase a smorzamento della coppia di poli dominanti ad anello chiuso. Si vedano il libro di testo/le dispense in rete. 2 ) 3

4 Controlli Automatici 2 22/6/5 Compito b a) Si consideri il diagramma di Bode (modulo e fase) di G(s) in figura 4. Si risponda alle seguenti domande, giustificando ogni risposta 2 : 1) Si tracci, in maniera approssimata, il diagramma di Nyquist; Il diagramma parte con pendenza negativa e fase π/2 (polo nell origine). Successivamente la fase aumenta e la pendenza si annulla (zero a parte reale negativa). Dopo lo zero, la fase e la pendenza calano, ovvero sono presenti due poli a parte reale negativa. Una (la) f.d.t. compatibile e la seguente P (s) = s +.1 s(s + 1)(s + ) e il relativo diagramma di Nyquist e riportato in figura 5: 2) Si riporti la definizione e si calcoli il margine di guadagno del sistema, indicandolo sul grafico se possibile; Si veda la risposta dell altro compito. 3) Si riporti la definizione e si calcoli il margine di fase del sistema, indicandolo sul grafico se possibile; Si veda risposta dell altro compito. Il margine vale circa π/2 (anzi, leggermente superiore a π/2) a ω =.1. 4) Si dica se il sistema G(s), in retroazione, da luogo ad una f.d.t asintoticamente stabile; Si, visto il margine infinito. 5) Si dica se il sistema G(s), in retroazione, da luogo ad una funzione di trasferimento il cui diagramma di Bode presenta massimi di risonanza; Utilizzando la formula approssimata (ma il margine e molto elevato e dunque la formula perde di validita ), si avrebbe ξ sin(π/4) = (2)/2 dunque il sistema non dovrebbe avere massimi di risonanza. In realta, per valori superiori a 75 o (si veda il libro di testo) si puo ritenere che il sistema non abbia poli dominanti complessi. 6) Si dica se il sistema 1 2 G(s)e 3s, in retroazione, da luogo ad una f.d.t. as. stabile; La pulsazione di attraversamento di 1/2G(s) e inferiore a 1/ con margine almeno pari a π/2. Il massimo ritardo e almeno pari a τ max = π/2 1/ 3, dunque il sistema e stabile. 7) Si dica se il sistema G(s)e s, in retroazione, da luogo ad una f.d.t. as. stabile; Spostando in alto di 4 db il sistema avra una pulsazione compresa tra 6 e 8 e un margine al piu di π/2. Il massimo ritardo ammissibile sara circa τ max = π/2 6.25, dunque il sistema e instabile. 8) Per W (s) = G(s) 1+G(s) si calcoli in maniera approssimata l errore di regime permanente in risposta a un segnale di riferimento a gradino; Si veda la risposta dell altro compito. 9) Per W (s) = G(s) 1+G(s), si calcoli in maniera approssimata l ampiezza 2 le risposte si /no non verranno considerate 4

5 della sinusoide di uscita quando r(t) = sin(3t). Si veda la riposta dell altro compito. L ampiezza e circa pari a 3 b) Si tracci il luogo (diretto) delle radici di G(s) = (s +.5) (s + )(s + 5)(s + 2) e si dica per quali valori del guadagno K > la funzione di sensitivita S(s) = KG(s) risulta stabile. Il luogo delle radici e riportato in figura 6. Il calcolo esatto del valore critico richiede l utlizzo della tabella di Routh, e dunque l esercizio non viene conteggiato per gli studenti di meccanica. Il valore e K cr = c) Si ricavi la formula approssimata ξ = sin ( φm che lega margine di fase a smorzamento della coppia di poli dominanti ad anello chiuso. Si vedano il libro di testo/le dispense in rete. 2 ) 5

6 Nyquist Diagram db db 2 db Imaginary Axis db 6 db db 4 db 6 db db Real Axis Figure 2: Diagramma di Nyquist 6

7 4.48 Root Locus Imaginary Axis Real Axis Figure 3: Luogo delle radici 7

8 Bode Diagram 5 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figure 4: DIagrammi di Bode 8

9 1.5 Nyquist Diagram 2 db db 2 db 1 4 db 4 db.5 6 db db db 6 db Imaginary Axis 2 db 2 db Real Axis Figure 5: Diagramma di Nyquist 9

10 Root Locus Imaginary Axis Real Axis Figure 6: Luogo delle radici