Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a Prof. Silvia Strada 16 Luglio 2014

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1 Politecnico di Milano Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a Prof. Silvia Strada 16 Luglio 2014 Nome e Cognome: Matricola Firma Durata della prova: 2.30 h. Numero di esercizi: 5 Punteggio: il numero di punti è indicato a fianco di ciascun esercizio Consegna: esclusivamente il presente fascicolo, senza fogli di brutta Utilizzare esclusivamente i fogli di brutta/carta semilogaritmica forniti dal docente Unico ausilio permesso: una calcolatrice non programmabile - tutti gli altri dispositivi elettronici vanno messi, spenti, sul banco - non è ovviamente consentito consultare libri,appunti,dispense - Non è consentito scrivere a matita

2 ESERCIZIO 1 punti: 8 Si consideri il sistema dinamico non lineare invariante descritto dalle seguenti equazioni ẋ 1 (t) = x 3 1 (t) + 27u(t) ẋ 2 (t) = x 2 1 (t) x 2(t) + u(t) y(t) = x 1 (t) + x 2 (t) 1. Si determinino gli stati e le uscite di equilibrio associati all ingresso costante u(t) = u = 1, t Si linearizzi il sistema e si studi la stabilità dei punti di equilibrio trovati. 2

3 3. Si calcoli l espressione del movimento dell uscita del sistema non lineare di partenza con condizione iniziale x 1 (0) = 3 e x 2 (0) = 0 e stesso valore dell ingresso costante, u(t) = u = 1, t 0, in corrispondenza del quale si sono calcolati gli equilibri al punto 2. 3

4 ESERCIZIO 2 punti: 7 Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode del modulo e della fase della risposta in frequenza di un sistema lineare di ordine 3 con funzione di trasferimento G(s). 40 Diagramma di Bode Modulo 20 0 db Diagramma di Bode Fase Si determinino guadagno, tipo, poli e zeri e si scriva l espressione della funzione di trasferimento G(s). 4

5 2. Si disegni il diagramma di Nyquist di G(s). 3. Si dica, giustificando la risposta, per quali valori del parametro k, k > 0 il sistema retroazionato della figura è asintoticamente stabile. w - + e k G(s) y 5

6 ESERCIZIO 3 punti: 9 Si consideri il sistema lineare del terzo ordine descritto dalla funzione di trasferimento G(s) = 10(1 + s) (1 + 10s) 2 ( s) 1. Si determini un approssimazione a poli dominanti del primo ordine per il sistema dato. 2. Sulla base dell approssimazione trovata, si tracci l andamento qualitativo della risposta forzata del sistema all ingresso u(t) = 4sca(t), precisandone in particolare il valore di regime e il tempo di assestamento. 6

7 3. Si scrivano i comandi Matlab per tracciare, senza approssimazioni, la risposta allo scalino u(t) = 4sca(t) della funzione originaria G(s). 4. Si scriva l espressione della risposta forzata di regime del sistema, y (t), quando l ingresso sia u(t) = 4 + sen(0.001t), t Il sistema con funzione di trasferimento G(s) viene inserito nello schema di figura. Si determinino sia la funzione di trasferimento da u a y che la funzione di trasferimento da η a y. + G(s) 7

8 6. Si dica, giustificando adeguatamente la risposta, se la seguente affermazione è vera o falsa: Se i tre sottosistemi con funzioni di trasferimento G(s), G 1 (s), G 2 (s) sono asintoticamente stabili allora l intero sistema è asintoticamente stabile. 8

9 ESERCIZIO 4 punti: 6 Un sistema lineare a tempo discreto, è descritto dalla funzione di trasferimento W (z) = 1. Si determini l equazione alle differenze associata. 1 (3z 1) 2. Si dica se il sistema è asintoticamente stabile 3. Si scriva il valore del guadagno di W (z) 9

10 ESERCIZIO 5 punti max: 2.5 Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false (barrare la relativa casella) -0.25=risposta errata, 0=risposta non data, +0.5=risposta corretta i) La connessione in serie di due sistemi lineari invarianti SISO asintoticamente stabile può essere instabile. V ERO F ALSO ii) Si assuma che una funzione di trasferimento G(s) sia asintoticamente stabile e che verifichi G(j2) = 2e jπ. Allora, per t, la risposta a u(t) = sen(2t + π 2 ), t 0 converge alla funzione y (t) = 2sen(2t + 3π 2 ), t 0 V ERO F ALSO iii) Si consideri un sistema di controllo con retroazione unitaria negativa e funzione di trasferimento d anello L(s). Se L(jω) < 0.8 ω 0 allora il sistema di controllo è asintoticamente stabile. V ERO F ALSO (s + 3) 2 iv) Sia dato il sistema G(s) = s 2 (s 2 posto in retroazione unitaria negativa (della quale si ipotizzi di avere già verificato la stabilità). Allora l errore a regime con riferimento o disturbo a rampa + 4s + 25) risulta nullo. V ERO F ALSO v) Il margine di fase del sistema di controllo a retroazione unitaria negativa e funzione d anello L(s) = 10 s 2 è nullo. V ERO F ALSO 10