Analisi dei sistemi retroazionati

Transcript

1 Parte 9, 1 Parte 9, 2 Introduzione Analisi dei sistemi retroazionati Prestazioni dei sistemi di controllo Stabilità a ciclo chiuso: criterio di Nyquist, margini di guadagno e di fase, criterio di Bode Il luogo delle radici In questa parte del corso affronteremo lo studio dei sistemi LTI retroazionati, introducendo definizioni, proprietà e strumenti che saranno poi utili (ed utilizzati) nella fase di progetto del controllore. L analisi non può essere svolta considerando assieme sistemi a tempo continuo ed a tempo discreto: Gli strumenti che abbiamo a disposizione (ad es. i diagrammi asintotici di Bode della risposta in frequenza [cfr. Parte 8] ) e che vedremo nel seguito sono per la maggior parte adoperabili con profitto solo nel caso di sistemi a tempo continuo. Per questo motivo in ciò che segue consideriamo solamente sistemi LTI a tempo continuo. Sistemi di controllo Parte 9, 3 Sistemi di controllo Parte 9, 4 - Anello aperto controllore attuatore processo Ipotesi: sistemi dinamici lineari 1

2 Prestazioni ideali Parte 9, 5 Limitazioni Parte 9, 6 - cancellazioni polo-zero nel semipiano destro (Re>=0) - non si può stabilizzare in a.a. un sistema instabile Passa-tutto con - C(s) potrebbe avere più zeri che poli (=>non realizzabile) - scarsa robustezza nei confronti di incertezze su G(s) Quindi il controllore perfetto in a.a. deve invertire la dinamica del sistema Esempi Parte 9, 7 Parte 9, 8 Realizzabile Non realizzabile Filtro P.B. con Realizzabile Realizzabile Filtro P.B. con Filtro P.B. con 2

3 Parte 9, 9 Compensazione del disturbo in a.a. Parte 9, 10 Si presuppone quindi la misurabilità del disturbo Prestazione ideale Parte 9, 11 Sistemi di controllo Parte 9, 12 - Anello chiuso Si impone la perfetta compensazione del disturbo Trasduttore Limitazioni: analoghe alle precedenti Ipotesi: - sistemi lineari - azione di controllo basata su 3

4 Parte 9, 13 Parte 9, 14 Prestazioni ideali Parte 9, 15 Soluzione realistica Parte 9, 16 - : Filtro passa-basso con banda passante suff. ampia e guadagno In realtà: - : nella banda di in cui lo spettro di è significativo 4

5 Analisi di sistemi retroazionati Parte 9, 17 Stabilità di sistemi retroazioati Parte 9, 18 - Asintotica stabilità in anello chiuso - Prestazioni in anello chiuso Asintotica stabilità Le radici di hanno Re<0 Diagramma di Nyquist Parte 9, 19 Osservazione: Parte 9, 20 = D.D.N = grafico di per = diagramma polare ( ) + simmetrico rispetto all asse reale 5

6 Parte 9, 21 Criterio di Nyquist Parte 9, 22 Attenzione: Convenzione: chiusura all infinito in senso orario - D.D.N. di - N num. di giri antiorari di intorno al punto -1 - P num. di poli di con Re>0 Asintotica stabilità N ben definito N = P Osservazioni Parte 9, 23 Parte 9, 24 - conteggio di N? N = 0 - N non definito non as. stabilità - N<0 non as. stabilità 6

7 Parte 9, 25 Giustificazione intuitiva Parte 9, 26 As. stabilità N non DEF. P = 0 Parte 9, 27 Stabilità di sistemi retroazionati incerti Parte 9, 28 Modello nominale Modello vero Quindi: instabilità N 0 ( = P ) as. Stabilità N = 0 ( = P ) non as. Stabilità N non definito In generale: Stabilità robusta: garanzia di stabilità anche in presenza di incertezza 7

8 Tipici modelli dell incertezza -, Parte 9, 29 Indicatori di stabilità robusta Parte 9, 30 Sono parametri che misurano: - l ampiezza delle perturbazioni per cui è garantita la stabilità - la distanza del modello nominale dall instabilità -, Ipotesi Parte 9, 31 Un indicatore di robustezza Parte 9, 32 Distanza di dal punto - asintotica stabilità in condizioni nominali - P=0 Asintotica stabilità N = 0 Margine di stabilità vettoriale Difetto: non è ricavabile direttamente dai diagrammi di Bode di 8

9 Margine di guadagno Parte 9, 33 Interpretazione Parte 9, 34 Nominale vero Margine di guadagno As.stabilità: è un indicatore di robustezza rispetto ad incertezze sul guadagno d anello Margine di fase Parte 9, 35 Interpretazione Parte 9, 36 Nominale vero As. stabilità Margine di fase : pulsazione critica : fase critica è un indicatore di robustezza rispetto ad incertezze sul ritardo d anello 9

10 Situazioni anomale A Parte 9, 37 B Parte 9, 38 Però il sistema è poco robusto Affinchè sia affidabile è necessario costruirlo nel caso peggiore Casi particolari Parte 9, 39 Parte 9, 40 A B,, 10

11 Margine di guadagno e di fase Parte 9, 41 Margine di guadagno Parte 9, 42 ; Margine di fase ; Calcolo di e dai diagrammi di Bode Parte 9, 43 Criterio di Bode Parte 9, 44 Condizioni di applicabilità: 1) P = 0 guadagno d anello margine di fase 2) attraversa una volta l asse a 0 db (dall alto verso il basso) Asintotica stabilità 11

12 Perché è necessario? Per escludere casi del tipo: Parte 9, 45 Osservazione Se - è a fase minima (, poli, zeri con ) Parte 9, 46 - attraversa l asse a 0dB una volta sola Allora - P = 0 - Bode applicabile Instabile in a.c. - - diagrammi asintotici pendenza valore Criterio empirico Parte 9, 47 Analisi di sistemi retroazionati Parte 9, 48 * nelle ipotesi di validità * 12

13 F. di sensitività complementare Parte 9, 49 Caso ideale Caso ideale F. di sensitività complementare Parte 9, 50 F. di sensitività F. di sensitività F. di sensitività del controllo F. di sensitività del controllo Analisi di - analisi statica Parte 9, 51 Parte 9, 52 Valore di regime risp. allo scalino se se ( ) se se (caso pessimo) 13

14 Analisi di - poli & zeri Parte 9, 53 Analisi di - risposta in frequenza Parte 9, 54 se - zeri di zeri di se - poli di radici di Situazione tipica Parte 9, 55 Quindi: Parte 9, 56 - è un filtro passa-basso - Banda passante: - Guadagno se se - Poli dominanti di cadono in corrispondenza di - se reale - se complessi 14

15 Smorzamento e margine di fase Parte 9, 57 Legame tra e Parte 9, 58 Poli di Basso smorzamento Scarsa robustezza? Calcolo di Parte 9, 59 Parte 9, 60 con 15

16 Parte 9, 61 Consideriamo un generico sist. del secondo ordine: Parte 9, 62 Regola empirica Parte 9, 63 Riassumendo: Parte 9, 64 In un sistema di controllo in a.c. - la precisione statica dipende da: Poli dominanti complessi con - la precisione dinamica dipende da Polo dominante reale con 16

17 Analisi di - analisi statica Parte 9, 65 Parte 9, 66 - valore di regime, risposta allo scalino: (caso pessimo) Parte 9, 67 Parte 9, 68 - valore di regime, risposta alla rampa: Tabella riassuntiva: Valori di regime in risposta a in risposta a 17

18 Analisi di - poli & zeri Parte 9, 69 Analisi di - risposta in frequenza Parte 9, 70 se - zeri di poli di - poli di radici di se poli di Situazione tipica Parte 9, 71 Attenuazione del disturbo Parte 9, 72 - solo in Banda del sistema di controllo - tanto migliore - quanto maggiore è - quanto più in Filtro passa-alto con 18

19 Effetto di un ritardo Parte 9, 73 - può modificare la stabilità in anello chiuso Parte 9, 74 - analisi statica invariata - analisi dinamica non cambia (diagramma del modulo invariato) diminuisce diminuisce diminuisce (ritardi oscillazioni) Esempio Parte 9, 75 Parte 9, 76 (taglio invariato) (no ritardo) Polo dominante reale con Asintotica stabilità 19

20 Parte 9, 77 Blocchi in anello aperto Parte 9, 78 Poli dominanti complessi con Stabilità Parte 9, 79 Effetto di su Parte 9, 80 Asintoticamente stabile - Analisi statica: (supp. ) Asintotica stabilità Asintoticamente stabile (Nyquist, bode) 20

21 - Analisi dinamica: Parte 9, 81 Disturbi sull attuatore Parte 9, 82 vedi caso precedente Disturbi sul trasduttore (in retroazione) Parte 9, 83 Parte 9, 84 Passa-basso con Disturbi a bassa frequenza vanno a influire su 21

22 Valore a regime risposta allo scalino Parte 9, 85 Riassunto: attenuazione dei disturbi Parte 9, 86 (Hp: sistema as. stabile) Il sistema in anello chiuso è in grado di attenuare: - a bassa frequenza - ad alta frequenza Compensazione del disturbo in catena diretta è in contrasto con la compensazione del disturbo in retroazione Estensione Parte 9, 87 Parte 9, 88 22

23 Esempio Parte 9, 89 Parte 9, 90 Banda in anello chiuso Poli: Problema di progetto del controllore Parte 9, 91 Principali requisiti Parte 9, 92? - Asintotica Stabilità (Bode) - Precisione statica e/o elevato Determinare in modo che il sistema soddisfi alcuni requisiti (specifiche) - Precisione dinamica - velocità di risposta - smorzamento elevata elevato 23

24 Parte 9, 93 Parte 9, 94 - Attenuazione del disturbo in andata elevata elevato per - Stabilità robusta elevati - Attenuazione del disturbo in retroazione non troppo elevata piccolo per - Moderazione controllo piccolo per Parte 9, 95 Parte 9, 96 Introduzione Un po di storia: è una metodologia proposta inizialmente da Il luogo delle radici Definizioni e proprietà Evans (negli anni 50) A che cosa serve? Tecnica grafica di analisi e sintesi di sistemi di controllo per sistemi SISO Può essere estesa al caso di sistemi MIMO (ma non lo vedremo!) 24

25 Parte 9, 97 Parte 9, 98 Introduzione (2) La tecnica del luogo delle radici permette di indagare sull influenza dei parametri di un sistema dinamico lineare sul comportamento dinamico del sistema stesso. Si studia la dipendenza delle radici dell equazione caratteristica dai parametri del sistema. Sistemi a tempo continuo vs sistemi a tempo discreto Le regole di tracciamento dei luoghi sono le medesime sia che si stia analizzando un sistema lineare a tempo continuo che a tempo discreto. Le proprietà dei luoghi e le tecniche di utilizzo sono analoghe nei due casi (tempo continuo tempo discreto). Per semplicità allora le regole di tracciamento e le proprietà dei luoghi verranno descritte ed analizzate soltanto per sistemi dinamici lineari a tempo continuo. Dell utilizzo del luogo delle radici per sistemi a tempo discreto daremo solamente alcuni brevi cenni. Parte 9, 99 Parte 9, 100 Definizione di luogo delle radici Definizione (2) Facciamo riferimento ad un sistema LTI di tipo SISO, a tempo continuo, retroazionato secondo lo schema Vogliamo avere informazioni sulle caratteristiche della dinamica del sistema a ciclo chiuso, a partire da caratteristiche di ciclo aperto del sistema stesso. cioè un sistema di controllo a semplice ciclo di reazione. L evoluzione dinamica di un sistema lineare è governata dalle radici dell equazione caratteristica. 25

26 Parte 9, 101 Parte 9, 102 Definizione (3) Il luogo delle radici mette allora in relazione i poli di ciclo chiuso del sistema con poli e zeri di ciclo aperto del sistema stesso. Vantaggi del metodo Fornisce una rappresentazione grafica sintetica che permette di ricavare la posizione di tutti i poli di ciclo chiuso del sistema (non solo la posizione approssimata dei poli dominanti [cfr. metodi basati su risposta in frequenza Parte 8 e Parte 10] ) Il parametro rispetto al quale si studiano le variazioni dei poli di ciclo chiuso è il guadagno della catena di ciclo aperto. È applicabile anche a sistemi instabili ad anello aperto. Più in generale è applicabile in situazioni in cui il criterio di Bode non è utilizzabile. Svantaggi del metodo Parte 9, 103 Definizione (4) Parte 9, 104 Per il tracciamento del luogo si fa riferimento alla forma È applicabile solamente ai casi in cui la funzione di trasferimento d anello sia razionale. fattorizzata della funzione di trasferimento d anello che mette in evidenza zeri e poli Di conseguenza non è utilizzabile nei casi in cui ci sia la presenza di ritardi di tempo finiti nella funzione di trasferimento d anello. 26

27 Nell espressione di Definizione (5) Parte 9, 105 Definizione (6) Parte 9, 106 sono zeri e poli (eventualmente complessi o nulli), I poli di ciclo chiuso sono le radici dell equazione caratteristica cambiati di segno è la costante di trasferimento, legata al guadagno dalla ovvero relazione Parte 9, 107 Parte 9, 108 Il luogo delle radici: definizione Esempio Luogo delle radici: è il luogo del piano complesso descritto dalle radici dell equazione al variare di, con In particolare per il luogo si dice luogo diretto LD per il luogo si dice luogo inverso LI Al variare di ρ i poli di ciclo chiuso possono essere reali coincidenti, reali distinti oppure complessi coniugati, a parte reale negativa oppure positiva. Al variare di ρ cambiano allora le proprietà di stabilità e dei transitori di risposta del sistema di ciclo chiuso 27

28 Parte 9, 109 Parte 9, 110 Caratterizzazione del luogo Caratterizzazione del luogo (2) La seconda equazione caratterizza completamente il luogo: la utilizzeremo per tracciare geometricamente il luogo cercato. La prima equazione risulta utile invece per tarare il luogo al variare del valore di ρ. Parte 9, 111 Parte 9, 112 Semplice interpretazione geometrica Dalle espressioni di N(s) e D(s) definite in precedenza si ottiene che Semplice interpretazione geometrica (2) Graficamente quindi in definitiva Il punto appartiene al luogo diretto se e solo se la quantità risulta multiplo dispari di, appartiene invece al luogo inverso se e solo se essa risulta multiplo pari di 28

29 Parte 9, 113 Parte 9, 114 Taratura del luogo Dalle espressioni di N(s) e D(s) definite in precedenza si ottiene che Graficamente Taratura del luogo: ancora un interpretazione geometrica (2) quindi in definitiva Determinato un punto del luogo e calcolate le sue distanze da zeri e poli, è possibile determinare il valore di utilizzando la relazione Parte 9, 115 Parte 9, 116 Un semplice esempio Un semplice esempio (2): luogo diretto Si tracci il luogo delle radici di Dovrà valere la relazione La relazione è soddisfatta per tutti i punti del segmento dell asse reale compreso tra i due poli e per tutti i punti dell asse di simmetria di tale segmento (geometricamente lo si verifica in modo agevole). per il luogo diretto e la relazione Le frecce indicano la taratura del luogo al crescere di ρ. per il luogo inverso. 29

30 Parte 9, 117 Parte 9, 118 Un semplice esempio (3): luogo inverso Un semplice esempio (4): verifica Gli unici punti del piano appartenenti al luogo inverso sono quelli delle due semirette uscenti dai poli, sull asse reale (anche in questo caso esiste una facile verifica geometrica). Le frecce indicano la taratura del luogo al crescere di ρ. Partendo dalla si ottiene che ha per soluzioni Al variare di in si ottengono i comportamenti descritti. Il tracciamento di un luogo delle radici in generale non segue questa modalità. Delle semplici regole permettono di tracciare il luogo in maniera qualitativa. Parte 9, 119 Parte 9, 120 Regole di tracciamento Il luogo delle radici Regola 1: il luogo è costituito da 2n rami: n rami costituiscono il luogo diretto, n il luogo inverso [dove n è il grado del polinomio a denominatore in L(s)]. grado m Regole di tracciamento grado n Equazione polinomiale di grado n: ammette n radici, che variano con continuità al variare di ρ. 30

31 Parte 9, 121 Parte 9, 122 Regola 2: Il luogo è simmetrico rispetto all asse reale Regola 3: i rami partono dai poli di L(s) Regola 4: per m rami tendono agli zeri di L(s), gli altri (n-m) rami tendono all infinito L equazione del luogo ha coefficienti reali: le sue radici sono reali oppure complesse coniugate. grado m L equazione degenera: possiede soltanto m radici al finito, coincidenti con gli zeri di L(s). Parte 9, 123 Parte 9, 124 Regola 5: i rami che tendono all infinito lo fanno lungo asintoti che intersecano l asse reale in punti (centroidi) di ascissa Giustificazione della regola (5) Rielaboriamo l equazione caratteristica nel modo seguente: e formano con l asse reale angoli dati da Dividendo i polinomi a numeratore ed a denominatore per quello a numeratore e rielaborando 31

32 Parte 9, 125 Parte 9, 126 Per ρ ed s molto grandi [muovendosi lungo uno degli asintoti] è lecito affermare che i termini di grado inferiore ad (n-m-1) nell espressione appena trovata non influiscano sugli asintoti. L andamento asintotico del luogo sarà allora equivalente a quello descritto dalla che possiede i medesimi coefficienti per i termini e Ascissa del centroide degli asintoti Parte 9, 127 Parte 9, 128 Regole di tracciamento (continua ) Regola 6: tutti i punti dell asse reale, esclusi i punti di singolarità di L(s), appartengono al luogo (dalla Regola 2) Inclinazione degli asintoti rispetto all asse reale Regola 7: appartengono al luogo diretto tutti i punti dell asse reale che lasciano alla loro destra un numero dispari di singolarità di L(s) Regola 8: appartengono al luogo inverso tutti i punti dell asse reale che lasciano alla loro destra un numero pari di singolarità di L(s) 32

33 Giustificazione delle regole 7 ed 8 Parte 9, 129 Una coppia di zeri o poli complessi coniugati fornisce sempre un contributo di fase nullo o multiplo di 360, una singolarità reale dà sempre un contributo di ±180 (zero/polo) se è situata a destra del punto dell asse reale considerato, un contributo nullo altrimenti. Regole di tracciamento (continua ) Regola 9: angoli d uscita dai poli. Parte 9, 130 Poli tutti distinti polo in Parte 9, 131 Parte 9, 132 Regola 9: angoli d uscita dai poli. Poli multipli: polo in con molteplicità Regola 10: angoli d arrivo agli zeri Zeri tutti distinti zero in 33

34 Parte 9, 133 Parte 9, 134 Giustificazione Regola 10: angoli d arrivo agli zeri Zeri multipli: zero in con molteplicità È sufficiente applicare la relazione che definisce il luogo delle radici in un intorno dello zero o polo considerato Parte 9, 135 Esempio: tracciamento qualitativo di un luogo delle radici Parte 9, 136 Asintoti Centroide LUOGO DIRETTO Angoli d uscita dai poli 34

35 Parte 9, 137 Esempio: tracciamento qualitativo di un luogo delle radici Parte 9, 138 Asintoti Centroide LUOGO INVERSO Angoli d uscita dai poli Parte 9, 139 Regole di tracciamento (continua ) Parte 9, 140 Luogo delle radici Osservazione: i diversi rami del luogo possono incrociarsi in punti particolari del piano complesso [si veda l esempio precedente]. I punti d incrocio hanno proprietà caratteristiche per la fdt L(s) [sono punti di stazionarietà sia per il modulo che per la fase] e vengono detti punti critici. punti critici Le proprietà differenziali La derivata logaritmica 35

36 Parte 9, 141 Parte 9, 142 Definizione: si dice punto critico di molteplicità del piano complesso per il quale oltre a valere la un punto In base alla definizione, per determinare i punti critici è necessario risolvere l equazione per un opportuno valore di (quindi è un punto del luogo delle radici) valgono le seguenti Osservazione: un punto critico di molteplicità h può venire definito anche come punto multiplo (radice multipla) del luogo delle radici oggetto di studio, in particolare come radice multipla di molteplicità h+1 per il luogo. Parte 9, 143 Parte 9, 144 Regola 11: un punto critico di molteplicità h corrisponde ad un punto comune a 2(h+1) rami del luogo delle radici. Giustificazione Regola 12: le tangenti ai rami del luogo che si incrociano nel punto critico formano tra loro angoli di ampiezza Sia un punto critico di molteplicità h per il luogo delle radici per un opportuno valore del parametro ρ Orientando i rami nel verso di crescente, essi risultano alternativamente entranti nel punto critico ed uscenti da esso. Si supponga di far variare di poco il valore del parametro ρ nell intorno del valore corrispondente al punto critico, in modo da esplorare il luogo delle radici in un intorno opportuno del punto critico stesso. 36

37 Parte 9, 145 Parte 9, 146 Sia allora L equazione del luogo avrà soluzione in qualche punto non distante dal punto critico con Parte 9, 147 Parte 9,

38 Parte 9, 149 Parte 9, 150 I rami alternativamente entrano ed escono dal punto critico, se li si tara nel verso di ρ crescente Analizziamo il risultato per il luogo diretto LD infatti per ε > 0 ρ cresce, mentre per ε < 0 ρ decresce sul luogo LD ed i rami a ρ crescente si alternano a quelli con ρ decrescente. I rami del luogo formano tra loro angoli pari a Ci sono 2(h+1) rami del luogo che passano per il punto critico A risultati analoghi si arriva analizzando il risultato ottenuto per il luogo inverso LI. Regole di tracciamento (continua ) Parte 9, 151 Osservazione: in corrispondenza di punti critici semplici reali il luogo delle radici presenta il seguente comportamento: Due rami del luogo confluiscono verso il punto critico stando sull asse reale e da esso divergono altri due rami con direzione ortogonale all asse reale, interessando quindi punti complessi del piano. Parte 9, 152 Esempio: tracciamento qualitativo di un luogo delle radici Determinare i punti critici del luogo delle radici di Si tratta di risolvere la La conoscenza dei punti critici è importante, in particolare perchè i punti critici reali individuano i punti in cui il luogo abbandona l asse reale e di conseguenza individuano i valori del parametro ρ che fanno diventare complessi coniugati parte dei poli di ciclo chiuso del sistema. 38

39 Parte 9, 153 Parte 9, 154 Proprietà differenziali punti critici Al momento abbiamo gli strumenti per determinare L inclinazione delle tangenti al luogo in corrispondenza delle singolarità (zeri e poli); I punti critici del luogo; L inclinazione dei rami del luogo in corrispondenza dei punti critici. Inoltre abbiamo gli strumenti per determinare le proprietà asintotiche del luogo, quali l inclinazione degli asintoti e la posizione del centroide. Parte 9, 155 Parte 9, 156 Ma la determinazione dei punti critici può non essere agevole; la determinazione dell inclinazione del luogo in corrispondenza di un punto critico almeno doppio (oppure semplice ma non reale) è ancor più disagevole; Vedremo come poter determinare i punti critici in maniera abbastanza agevole facendo uso di una particolare funzione (la cosiddetta derivata logaritmica ), ma tralasciamo l analisi del secondo problema esposto (anch esso potrebbe essere risolto agevolmente facendo uso della derivata logaritmica comunque). Introduzione alla derivata logaritmica Per poter determinare le proprietà differenziali in un punto qualsiasi del luogo dovremmo affidarci allo sviluppo in serie della fdt F(s) nell intorno del punto scelto. Motivi di convenienza formale suggeriscono di analizzare lo sviluppo in serie del logaritmo naturale di F(s), sfruttando il fatto che 39

40 La derivata logaritmica Parte 9, 157 Applicazione: determinazione dei punti critici Parte 9, 158 Definizione: Definizioni operative: Osservazione: l espressione trovata è molto utile se la T(s) viene espressa in forma fattorizzata, ma se così non è? Parte 9, 159 Parte 9, 160 Esempio Determinare i punti critici del luogo delle radici di 40

41 Parte 9, 161 Parte 9, 162 Richiami: sviluppi in serie di una funzione razionale fratta di variabile complessa Consideriamo una funzione razionale fratta di variabile complessa Appendice Tecniche particolari per il tracciamento di luoghi delle radici Essa risulta infinitamente derivabile e sviluppabile in serie di potenze. Ci interessano lo sviluppo nell intorno di uno zero lo sviluppo nell intorno di un polo lo sviluppo in serie asintotico (nell intorno del punto all infinito ) Parte 9, 163 Parte 9, 164 Sviluppo in serie di Taylor Sviluppo in serie di Laurent Se è un polo di, di molteplicità allora lo Se è un punto in cui la è regolare [quindi anche sviluppo in serie nell intorno di è dato da uno zero di ] parte regolare parte principale 41

42 Sviluppo in serie asintotico Parte 9, 165 Regole di tracciamento: alcune nuove espressioni Parte 9, 166 Regola 5: altra espressione per la determinazione del centroide e dell inclinazione degli asintoti, facendo riferimento alla forma non fattorizzata della L(s) Si ottengono Parte 9, 167 Parte 9, 168 Giustificazione Si considera lo sviluppo asintotico della T(s) Si arresti lo sviluppo asintotico ai primi due termini e si consideri che un punto del luogo lungo l asintoto possa venire espresso come 42

43 Esempio Parte 9, 169 Regole di tracciamento: alcune nuove espressioni (continua ) Parte 9, 170 Regola 9: angoli d uscita dai poli. Poli multipli: polo in con molteplicità ritrovare gli stessi risultati applicando la regola (5) descritta nella slide #123. Parte 9, 171 Parte 9, 172 Esempio Regola 10: angoli d arrivo negli zeri. Zeri multipli: zero in con molteplicità Per il luogo LD E per il luogo LI? 43

44 Parte 9, 173 Parte 9, 174 Parte 9, 175 Un esempio completo Parte 9, rami partono dai poli per Utilizzo del luogo delle radici Un ramo tende allo zero, per Gli altri due rami tendono a 2 zeri all infinito, lungo 2 asintoti. Analisi di prestazioni di sistemi di controllo Il luogo LD contiene il tratto dell asse reale Punti critici: 44

45 Parte 9, 177 Parte 9, 178 Angoli di uscita dai poli Angolo d arrivo allo zero Stabilità asintotica È sufficiente applicare il criterio di Routh - Hurwitz Parte 9, 179 Parte 9, 180 Luoghi delle radici particolari 3 poli 2 poli ed 1 zero 45

46 Parte 9, poli ed 1 zero 46