Controlli Automatici T. Analisi del sistema in retro e Funzioni di sensitività. Parte 8 Aggiornamento: Settembre Prof. L.

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1 Parte 8 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 8, 1 Analisi del sistema in retro e Funzioni di sensitività Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel lmarconi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi

2 Schema a blocchi reale Parte 8, 2 disturbo di attuazione disturbo sull uscita regolatore attuatore sistema Replica dinamica sensore disturbo di misura dinamica sensore Nota: il riferimento viene filtrato da una replica della dinamica del sensore per ottenere un riferimento compatibile con la dinamica dell uscita retroazionata

3 Elaborazione schema a blocchi reale Parte 8, 3

4 . Elaborazione schema a blocchi reale Parte 8, 4 Anche partendo da uno schema in retroazione più aderente alla realtà (presenza di dinamiche di sensore/attuatore) possiamo ricondurci al seguente schema ideale: Disturbo di misura Disturbo uscita + attuatore Dinamica equivalente regolatore Funzione ad anello aperto Dinamica equivalente plant

5 Disaccoppiamento in frequenza degli ingressi Parte 8, 5 Nella grande maggioranza delle applicazioni di interesse ingegneristico si ha che le bande dei segnali di riferimento e dei disturbi di uscita sono spettralmente disgiunte rispetto alla banda che caratterizza disturbi di misura problemi termici nei componenti elettronici accoppiamenti con campi e.m. in aria (telefonini, radio TV,..) accoppiamento campo e.m a 50Hz (314 rad/s) dovuto alle correnti che scorrono sulla rete di alimentazione Segnali di riferimento e disturbi sull uscita normalmente confinati a frequenze basse Disturbi di misura normalmente confinati a frequenze elevate

6 Funzioni di sensitività Parte 8, 6 Uscite di interesse: Ingressi significativi: Errore di inseguimento Uscita controllata Sforzo di controllo Riferimento (set point) Disturbi sull uscita (ingresso) Disturbi di misura Le funzioni di sensitività rappresentano le funzioni di trasferimento tra gli ingressi significativi e le uscite di interesse

7 .Funzioni di sensitività Parte 8, 7 Funzione di sensitività Funzione di sensitività complementare Funzione di sensitività del controllo

8 Alcune considerazioni Parte 8, 8 Le funzioni dipendono congiuntamente da e (funzione di anello) tranne la funzione di sensitività del controllo in cui la fdt del regolatore entra singolarmente Il denominatore (e in particolare i poli) di tutte le funzioni di sensitività e lo stesso. Si può quindi parlare di stabilità del sistema in retroazione indipendentemente dal particolare ingresso Poli del sistema retroazionato radici dell equazione caratteristica Sistema in retro asintoticamente stabile caratteristica a parte reale minore di zero. Sistema in retro asintoticamente stabile limitati (stabilità BIBO) tutte le radici dell equazione uscite limitate a fronte di ingressi

9 ..Alcune considerazioni Parte 8, 9 Notare che strutturalmente. In pratica questo significa che non e possibile imporre, attraverso il progetto del regolatore, specifiche arbitrarie. Esempio: Cancellazione del disturbo sull uscita Cancellazione del disturbo sull uscita Esempio: Inseguimento del riferimento con Cancellazione del disturbo sull uscita No! No!

10 Studio di stabilità del sistema in retro Parte 8, 10 Obiettivo: dedurre conclusioni sulla stabilità robusta del sistema in retro dallo studio nel dominio della frequenza della funzione ad anello aperto Importanza del risultato: Criterio di Bode (caso particolare del criterio di Nyquist) 1. Dalla lettura di un solo punto del diagramma di Bode di si deduce la stabilità o meno del sistema chiuso in retro 2. Possibilità di ottenere misure sulla robustezza della stabilità del sistema in retro a fronte di incertezze sul diagramma dei moduli e delle fasi di

11 Margine di Fase e di Ampiezza Parte 8, 11 Margine di fase: dove Margine di ampiezza: dove

12 Margine di Fase e di Ampiezza: casi patologici Parte 8, 12 Intersezioni multiple Patologia: Presenza di una coppia di poli cc poco smorzati (alto picco di risonanza) che Intervengono ad una frequenza successiva a quella di un poli (in questo caso nell origine)

13 . Margine di fase e di ampiezza: casi patologici Parte 8, 13 Assenza di intersezioni Patologia: guadagno statico <1 e alternanza poli-zeri in modo che non ci sia mai una amplificazione delle ampiezza tale da compensare il guadagno basso

14 . Margine di fase e di ampiezza: casi patologici Parte 8, 14 Margine e Patologia: presenza di zeri a fase non minima (amplificazione + sfasamento negativo) che intervengono a frequenze più basse rispetto ai poli zeri a fase non minima che governano nell intorno della pulsazione negativo zoom positivo

15 . Margine di fase e di ampiezza: casi patologici Parte 8, 15 Margine e Patologia: Analogo al caso precedente ma con guadagno statico più basso positivo zoom negativo Usualmente (ovvero a parte i casi patologici) è lecito aspettarsi che e (segni concordi)

16 Criterio di Bode Parte 8, 16 Ipotesi: Stabilità asintotica di (ipotesi restrittiva, ma non troppo.) Guadagno statico di positivo ( ) Tesi: Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema in retro sia asintoticamente stabile (radici di tutte a parte reale <0) è che il margine di fase di sia positivo Motivazione intuitiva: Frequenza critica: (se l ingresso ha una componente frequenziale Allora questa componente viene sfasata dal sistema di e quindi entra in fase con ) Condizione di Bode (suff.): se (e quindi anche, tralasciando i casi patologici) allora la componente a frequenza viene smorzata dal sistema Condizione di Bode (necc.): se (e quindi anche, tralasciando i casi patologici) allora la componente a frequenza viene amplificata dal sistema

17 Importanza del criterio per la stabilità robusta Parte 8, 17 Incertezze sulla fdt che si riflettono in incertezze sul diagramma delle ampiezze (per esempio incertezze sul guadagno statico) Dalla definizione il margine di ampiezza rappresenta la massima incertezza tollerabile sul guadagno statico che non pregiudica la stabilità

18 Importanza del criterio per la stabilità robusta Parte 8, 18 Incertezze sulla fdt che si riflettono in incertezze sul diagramma delle fasi (per esempio incertezze sull entità del ritardo) Dalla definizione il margine di fase è legato alla massima incertezza tollerabile sul ritardo che non pregiudica la stabilità. Infatti

19 Importanza del criterio per la stabilità robusta Ricordando che il diagramma di Bode di un ritardo : Parte 8, 19 È costante a 0 db nelle ampiezze Sfasa di nelle fasi Si ha che: La pulsazione rimane invariata al variare del ritardo Lo sfasamento negativo introdotto dal ritardo di entità alla frequenza risulta E quindi, essendo il margine di fase del sistema, il massimo ritardo tollerabile è: Esempio precedente:

20 Importanza del criterio per la stabilità robusta Parte 8, 20 I due margini sono quindi indicatori di robustezza della stabilità del sistema in retroazione (il margine di fase è indice di robustezza rispetto ad incertezze sul diagramma delle fasi, il margine di ampiezza rispetto ad incertezze sul diagramma delle ampiezze) Più elevati sono i margini più la stabilità del sistema in retro è garantita anche in presenza di grosse incertezze (sia di fase che di ampiezza). I due margini valutati separatamente potrebbero non essere indicatori affidabili di robustezza. Esempio significativo: Coppia poli cc poco smorzata Nonostante il margine di fase sia molto elevato la stabilità del sistema in retro non è robusta a causa del basso margine di ampiezza.

21 Studio delle caratteristiche statiche e dinamiche del sistema in retro Parte 8, 21 Obiettivo: dedurre conclusioni sulle proprietà statiche e dinamiche del sistema in retro dallo studio della funzione ad anello aperto Importanza dello studio: Studio delle funzioni di sensitività in relazione a 1. Individuare proprietà che la deve avere in modo che le funzioni di sensitività del sistema chiuso in retro abbiano certe caratteristiche Studio utile in vista della sintesi del regolatore

22 Studio della funzione di sensitività complementare Parte 8, 22 Dinamica tra disturbo di misura ed errore di inseguimento/uscita. Dinamica tra riferimento ed uscita. Obiettivi contrastanti: 1. idealmente uguale a 1 al fine di avere replica esatta del segnale di riferimento sull uscita 2. idealmente uguale a 0 al fine di compensare in modo esatto il disturbo di misura sull uscita (errore)

23 .Studio della funzione di sensitività complementare Parte 8, 23 Analisi poli/zeri Gli zeri di I poli di zeri di coincidono con gli zeri di dipendono in maniera complessa dai poli e dagli (vedi luogo delle radici) Osservazione: non si possono assegnare arbitrariamente gli zeri di attraverso il progetto del regolatore. Infatti gli zeri della funzione di trasferimento tra riferimento e uscita sono l unione di quelli del sistema (fissati) e quelli del regolatore (assegnabili)

24 .Studio della funzione di sensitività complementare Parte 8, 24 Analisi in frequenza Per soddisfare le specifiche statiche a fronte di disturbi di tipo e del riferimento, l obiettivo sarà quello di progettare il regolatore al fine di avere 1. piccolo (ovvero piccolo) nel campo di frequenze dove sono confinate le componenti del disturbo di misura (frequenze elevate) 2. unitaria (ovvero grande) nel campo di frequenze dove sono confinate le componenti del riferimento (frequenze basse) Assumeremo quindi che la funzione di risposta armonica di anello abbia le caratteristiche di un passa basso: Frequenze basse Frequenze elevate

25 .Studio della funzione di sensitività complementare Parte 8, 25 Andamento approx. di : se se Filtro passa-basso con pulsazione di taglio L andamento approssimato di mette in evidenza che Segnali di riferimento (e disturbi) a frequenze sotto la pulsazione (pulsazione di attraversamento di ) vengono fedelmente riprodotti in uscita a regime Disturbi di misura (e riferimenti) a frequenze sopra la pulsazione vengono fortemente attenuati in uscita

26 .Studio della funzione di sensitività complementare Parte 8, 26 Numero negativo (attenuazione alla frequenza ) Nota: affinché un disturbo di misura ad alta frequenza venga esattamente compensato a regime (no effetto sull uscita) occorre che sia nulla, ovvero che la funzione ad anello presenti una coppia di zeri cc con pulsazione naturale e smorzamento nullo.

27 .Studio della funzione di sensitività complementare Parte 8, 27 Esempio Presenza di poli cc zoom

28 .Studio della funzione di sensitività complementare Parte 8, 28 L andamento approx di mette in evidenza come si possa pensare che la funzione di sensitività complementare abbia una coppia di poli c.c. che intervengono alla pulsazione (punto di rottura del diagramma di Bode delle ampiezze) E di interesse cercare di capire la natura di questi poli (ovvero lo smorzamento associato identificando il coefficiente di smorzamento) cercando di studiarne la relazione (approx) con proprietà di con Margine di fase di

29 .Studio della funzione di sensitività complementare Parte 8, 29 Ovvero, dalla relazione tra e, Dall ipotesi che abbia una coppia di poli cc con pulsazione di risonanza e coefficiente di smorzamento si ha che Se piccolo Espresso in gradi Regola empirica: se il margine di fase del sistema ad anello è < 75 allora il sistema chiuso in retro avrà una coppia di poli cc

30 .Studio della funzione di sensitività complementare Parte 8, 30 Esempio Margine di fase e pulsazione di attraversamento di pari a Ci aspettiamo quindi che il sistema in retro abbia una coppia cc dominante con Dal calcolo della si scopre in effetti che i poli dominanti sono caratterizzati da Approx buona in questo caso + polo reale in

31 .Studio della funzione di sensitività complementare Parte 8, 31 Attenzione: nella parte 5 abbiamo visto che più lo smorzamento di una coppia cc è piccolo più la banda della funzione associata è grande rispetto alla pulsazione naturale: In questo contesto ci dobbiamo quindi aspettare che più il margine di fase di è basso più la pulsazione di attraversamento sia una stima per difetto della banda di

32 Studio della funzione di sensitività Parte 8, 32 Dinamica tra segnale di riferimento e disturbo sull uscita ed errore di inseguimento. L obiettivo progettuale sarà quindi tenere prossima a zero al fine di avere errori di inseguimento bassi a fronte di certi riferimenti e disturbi sull uscita Essendo tenere anche di misura tale obiettivo si scontra con l esigenza di prossima a zero al fine di attenuare il disturbo

33 ..Studio della funzione di sensitività Parte 8, 33 Questo tradeoff si risolverà grazie al disaccoppiamento in frequenza tra riferimenti e disturbi sull uscita (i cui spettri sono assunti confinati alle frequenze basse) e disturbi di misura (i cui spettri sono assunti confinati alle frequenze alte) Assumeremo quindi, in analogia allo studio della funzione, che la funzione di r.a. di anello abbia le caratteristiche di un passa basso: Frequenze basse Frequenze elevate Errore statico piccolo a fronte di riferimenti e disturbi di uscita con spettri a frequenze basse Errore statico piccolo a fronte di disturbi di misura con spettri a frequenze elevate

34 ..Studio della funzione di sensitività Parte 8, 34 Andamento approx. di : se se Filtro passa-alto con pulsazione di taglio Le componenti del riferimento e del disturbo sull uscita a frequenze basse (sotto la pulsazione di attraversamento di ) vengono attenuate sull errore di una fattore pari a. Le frequenze superiori non vengono invece alterate.

35 ..Studio della funzione di sensitività Esempi Parte 8, 35

36 ..Studio della funzione di sensitività Parte 8, 36 Un segnale di riferimento (disturbo sull uscita) con una componente frequenziale viene inseguito (attenuato) in uscita con una precisione pari all inverso del guadagno della funzione di r.a. di anello alla frequenza Specifiche statiche potranno essere imposte agendo sul guadagno della a certe frequenze

37 ..Studio della funzione di sensitività Nel caso si volesse inseguire esattamente il riferimento (ovvero compensare esattamente il disturbo di misura) a regime: Parte 8, 37 Presenza in di una coppia di poli cc sull asse immaginario con Nota: affinché un riferimento (disturbo di misura) alla frequenza venga esattamente inseguito (compensato) a regime occorre che (ovvero che ). Questo si ha se presenta una coppia di poli cc a smorzamento nullo e pulsazione naturale

38 ..Studio della funzione di sensitività Parte 8, 38 Principio del modello interno Affinché un segnale di riferimento (disturbo di misura) con una componente spettrale alla frequenza sia inseguito (neutralizzato) a regime perfettamente in uscita e necessario e sufficiente che 1. il sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabile 3. la funzione ad anello aperto abbia una coppia di poli cc sull asse immaginario con pulsazione naturale pari a

39 ..Studio della funzione di sensitività Parte 8, 39 Caso particolare di interesse pratico: segnali di riferimento e disturbi sull uscita costanti, caratterizzati quindi da una componente spettrale a frequenza zero. In base al principio del modello interno si ha quindi che condizione necessaria e sufficiente affinché un riferimento (disturbo sull uscita) costante sia inseguito (compensato) esattamente a regime in uscita e che il sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabile e che la funzione ad anello abbia almeno un polo nell origine.

40 ..Studio della funzione di sensitività Parte 8, 40 Interpretazione del principio del modello interno in termini di proprietà bloccante degli zeri Analisi poli/zeri di Gli zeri di I poli di zeri di Supponiamo ora che coincidono con i poli di dipendono in maniera complessa dai poli e dagli (vedi luogo delle radici)

41 ..Studio della funzione di sensitività Parte 8, 41 Dalle regole di antitrasformazione delle trasformate di Laplace si deduce che affinché sia un segnale che tenda a zero esponenzialmente allora, necessariamente, 1. (cancellazione modi sull asse immaginario) 2. Radici di tutte a parte reale negativa (stabilità asintotica del sistema in retro) Principio del modello interno Nota: il valore dell ampiezza e della fase del segnale da inseguire o da compensare non sono conoscenze essenziali (non influenzano ne il modello interno ne il problema di stabilizzazione)!!!

42 ..Studio della funzione di sensitività Parte 8, 42 L interpretazione del principio del modello interno data in termini di proprietà bloccante degli zeri, permette anche l analisi di casi significativi come l inseguimento (abbattimento) di riferimenti (disturbi) instabili quali segnali a rampa e a parabola. Affinché sia un segnale che tende esponenzialmente a zero, occorre ci siano almeno due zeri di nell origine (ovvero almeno due poli nell origine di ). Principio del modello interno con radici a parte Re<0

43 ..Studio della funzione di sensitività Parte 8, 43 Caso generale: gradino rampa parabola Teorema del valore finale Principio del modello interno Valore dell errore a regime a fronte di riferimenti a gradino-rampa-parabola al variare del tipo del sistema assumendo che il sistema in retro sia asintoticamente stabile

44 Studio della funzione di sensitività del controllo Parte 8, 44 Rappresenta il legame dinamico tra tutti gli ingressi di interesse e l uscita controllo Essendo uno dei requisiti del sistema di controllo quello di tenere lo sforzo di controllo piccolo, sarebbe auspicabile avere una piccola. Seguendo un approccio frequenziale, sarà auspicabile avere piccola sia a frequenze basse (al fine di avere moderazione a fronte di riferimenti e disturbi sull uscita) che a frequenze elevate (al fine di avere moderazione del controllo a fronte di disturbi di misura)

45 Studio della funzione di sensitività del controllo Parte 8, 45 Andamento approx. di : se se Pulsazione di attraversamento di (frequenza alla (quale interseca ) Le componenti a frequenze basse (minori della pulsazione di att. di ) sono filtrate dall inversa di Il fattore di attenuazione a frequenze basse non è condizionabile attraverso il progetto del controllo

46 Studio della funzione di sensitività del controllo Parte 8, 46 Le componenti a frequenze elevate (maggiori della pulsazione di att. di ) sono filtrate da Il fattore di attenuazione a frequenze elevate è condizionabile attraverso il progetto del regolatore Una buona regola da seguire, al fine di moderare lo sforzo di controllo, e quindi evitare l uso di regolatori che amplificano a frequenze elevate, ovvero evitare di imporre frequenze di attraversamento di molto più alte rispetto a quella del sistema