Controlli Automatici - Parte A

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1 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 9 gennaio Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5.5 su 11), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. La pendenza finale (cioè il valore finale della derivata) della risposta al gradino y(t) del sistema definito 2s 2 8 dalla funzione di trasferimento G(s) = s(s+4)(2s+2) vale: ẏ( ) = ẏ( ) = 1 ẏ( ) = 1 ẏ( ) = 2. Quali dei seguenti sistemi sono semplicemente stabili? s+2 G(s) = s 2 (s+3)(2s+1) s 2 G(s) = (3s+1)(s 2 +4) s+2 G(s) = s(s 2 +1)(s+3) s+2 G(s) = s(3s+1)(s 2 2) 1 3. Dato il sistema massa-molla-smorzatore G(s) = ms 2, con m =.1kg e k = 4 N/m, determinare +bs+k il minimo valore di b tale per cui la risposta al gradino non presenti sovraelongazioni: b = 2 Ns/m b = 4 Ns/m b = 2 Ns/m b = 4 Ns/m 4. Un sistema del secondo ordine a poli complessi coniugati e privo di zeri, ha un picco di risonanza M R maggiore di uno se < δ < 2 < δ < 1 < δ < 1 2 < δ < Se un sistema dinamico produce la risposta al gradino unitario riportata in figura, allora il suo modello a poli dominanti sarà caratterizzato da: un polo reale negativo un polo reale negativo e uno zero reale positivo un polo e uno zero reali negativi una coppia di poli complessi coniugati a parte reale negativa e uno zero reale positivo Amplitude Step Response Time (seconds)

2 6. L equazione differenziale ÿ 2 +2tẏ+3cos(t)y = 2x, dove x è l ingresso, y l uscita e t la variabile tempo, è lineare non lineare stazionaria non stazionaria 7. L evoluzione libera del sistema descritto dall equazione differenziale... y(t)+9ẏ(t) = 9x(t), a partire dalle condizioni iniziali y() = 2, ẏ() = 6, ÿ() =, risulta x l (t) = 2+2sin(3t) x l (t) = 2cos(3t) x l (t) = 2e t cos(3t) x l (t) = 2e 3t cos(9t) 8. Data la rete elettrica di figura composta da resistenze, capacità e induttanze, quale sarà l ordine della funzione di trasferimento tra ingresso v(t) e uscita i(t)? i(t) C v(t) R 1 R C 1 L 9. Il modulo G(jω) della funzione di risposta armonica di un sistema lineare determina completamente la funzione di trasferimento G(s) del sistema sempre mai se il sistema è a fase minima se il sistema è stabile 1. Dato l impianto G(s) = R(s) = 8: 2, posto in retroazione unitaria negativa con un regolatore proporzionale s(s+3) l errore a regime per ingresso a gradino sarà costante ma non nullo l errore a regime per ingresso a gradino sarà nullo l errore a regime per ingresso a rampa sarà costante ma non nullo l errore a regime per ingresso a rampa sarà nullo

3 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 9 gennaio Esercizi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (11 su 22), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x 1 (t) = τ cos(2(t τ))dτ x 2 (t) = 5δ(t+2) 5δ(t 2) b) Data l equazione differenziale ÿ(t)+8ẏ(t)+17y(t) = 3ẍ(t)+19ẋ(t)+17x(t) dove y(t) e x(t) rappresentano rispettivamente il segnale di uscita e quello di ingresso: b.1) Determinare la funzione di trasferimento G(s) = Y(s) corrispondente all equazione differenziale X(s) data; b.2) Calcolare analiticamente la risposta di G(s) al segnale di ingresso x(t) = 2. c) Dato il seguente schema a blocchi: E X(s) A B Y(s) C D F utilizzando la formula di Mason calcolare la funzione di trasferimento G(s) che lega l ingresso X(s) all uscita Y(s). d) Data la funzione di trasferimento G(s) = (2 s)(s 2 +8s+64) (1+s)(1+.5s)(s 2 +2s+125) disegnare l andamento qualitativo della risposta y(t) a un gradino di ampiezza 1, x(t) = 1. Calcolare il valore a regime y dell uscita y(t) del sistema, stimare qualitativamente il tempo di assestamento T a del sistema e il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata.

4 e) Sia dato il seguente sistema retroazionato: d(t) r(t) e(t) K G(s) 16(s.5) s(s 2 +4s+68) y(t) e.1) Determinare per quali valori del parametro K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. e.2) Posto K =.1, calcolare l errore a regime e quando sul sistema retroazionato agiscono contemporaneamente il segnale di riferimento r(t) = 2+2t e il disturbo d(t) = 3sin(5t). e.3) Tracciare (nello schema fornito in allegato) i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s). e.4) Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato per valori positivi del parametro K. Determinare esattamente gli asintoti, il centro degli asintoti, le intersezioni con l asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K. f) Si faccia riferimento al diagramma di Bode delle ampiezze della funzione G(s) mostrato in figura. Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s] f.1) Ricavare l espressione analitica della funzione G(s). f.2) Valutare in maniera approssimata la risposta a regime y (t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = 2+5 sin(.6t).

5 Cognome: Nome: N. Matr.: 8 Diagrammi di Bode 6 4 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s]

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7 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 9 gennaio Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5.5 su 11), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. La pendenza finale (cioè il valore finale della derivata) della risposta al gradino y(t) del sistema definito 2s 2 8 dalla funzione di trasferimento G(s) = s(s+4)(2s+2) vale: ẏ( ) = ẏ( ) = 1 ẏ( ) = 1 ẏ( ) = 2. Quali dei seguenti sistemi sono semplicemente stabili? s+2 G(s) = s 2 (s+3)(2s+1) s 2 G(s) = (3s+1)(s 2 +4) s+2 G(s) = s(s 2 +1)(s+3) s+2 G(s) = s(3s+1)(s 2 2) 1 3. Dato il sistema massa-molla-smorzatore G(s) = ms 2, con m =.1kg e k = 4 N/m, determinare +bs+k il minimo valore di b tale per cui la risposta al gradino non presenti sovraelongazioni: b = 2 Ns/m b = 4 Ns/m b = 2 Ns/m b = 4 Ns/m 4. Un sistema del secondo ordine a poli complessi coniugati e privo di zeri, ha un picco di risonanza M R maggiore di uno se < δ < 2 < δ < 1 < δ < 1 2 < δ < Se un sistema dinamico produce la risposta al gradino unitario riportata in figura, allora il suo modello a poli dominanti sarà caratterizzato da: un polo reale negativo un polo reale negativo e uno zero reale positivo un polo e uno zero reali negativi una coppia di poli complessi coniugati a parte reale negativa e uno zero reale positivo Amplitude Step Response Time (seconds)

8 6. L equazione differenziale ÿ 2 +2tẏ+3cos(t)y = 2x, dove x è l ingresso, y l uscita e t la variabile tempo, è lineare non lineare stazionaria non stazionaria 7. L evoluzione libera del sistema descritto dall equazione differenziale... y(t)+9ẏ(t) = 9x(t), a partire dalle condizioni iniziali y() = 2, ẏ() = 6, ÿ() =, risulta xl (t) = 2+2sin(3t) x l (t) = 2cos(3t) x l (t) = 2e t cos(3t) x l (t) = 2e 3t cos(9t) 8. Data la rete elettrica di figura composta da resistenze, capacità e induttanze, quale sarà l ordine della funzione di trasferimento tra ingresso v(t) e uscita i(t)? i(t) C v(t) R 1 R C 1 L 9. Il modulo G(jω) della funzione di risposta armonica di un sistema lineare determina completamente la funzione di trasferimento G(s) del sistema sempre mai se il sistema è a fase minima se il sistema è stabile 1. Dato l impianto G(s) = R(s) = 8: 2, posto in retroazione unitaria negativa con un regolatore proporzionale s(s+3) l errore a regime per ingresso a gradino sarà costante ma non nullo l errore a regime per ingresso a gradino sarà nullo l errore a regime per ingresso a rampa sarà costante ma non nullo l errore a regime per ingresso a rampa sarà nullo

9 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 9 gennaio Esercizi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (11 su 22), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x 1 (t) = τ cos(2(t τ))dτ x 2 (t) = 5δ(t+2) 5δ(t 2) Essendo x 1 (t) il risultato di un integrale di convoluzione tra la funzione t e la funzione cos(2t), la trasformata risultante è il prodotto delle rispettive trasformate X 1 (s) = 1 s 2 s (s 2 +4) = 1 s(s 2 +4), X 2 (s) = 5e 2s 5e 2s b) Data l equazione differenziale ÿ(t)+8ẏ(t)+17y(t) = 3ẍ(t)+19ẋ(t)+17x(t) dove y(t) e x(t) rappresentano rispettivamente il segnale di uscita e quello di ingresso: b.1) Determinare la funzione di trasferimento G(s) = Y(s) X(s) data; corrispondente all equazione differenziale G(s) = 3s2 +19s+17 s 2 +8s+17 b.2) Calcolare analiticamente la risposta di G(s) al segnale di ingresso x(t) = 2. La trasformata di Laplace della risposta del sistema al segnale x(t) = 2 vale Y(s) = G(s)X(s) = 3s2 +19s+17 s 2 +8s+17 che, scomposta in fratti semplici, può essere riscritta come Pertanto, antitrasformando, risulta Y(s) = 2 s + 2 3j s+4 j + 2+3j s+4+j. y(t) = e 4t cos(t.9828) 2 s = 6s2 +38s+34 s 3 +8s 2 +17s c) Dato il seguente schema a blocchi:

10 E X(s) A B Y(s) C D F utilizzando la formula di Mason calcolare la funzione di trasferimento G(s) che lega l ingresso X(s) all uscita Y(s). G(s) = Y(s) X(s) = AB 1+AC +BD +ABF ABE +ABCD d) Data la funzione di trasferimento G(s) = (2 s)(s 2 +8s+64) (1+s)(1+.5s)(s 2 +2s+125) disegnare l andamento qualitativo della risposta y(t) a un gradino di ampiezza 1, x(t) = 1. Calcolare il valore a regime y dell uscita y(t) del sistema, stimare qualitativamente il tempo di assestamento T a del sistema e il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata. Riscrivendo la funzione nella forma poli-zeri G(s) = 2(s 2)(s2 +8s+64) (1+s)(2+s)(s 2 +2s+125) si evidenzia immediatamente come il polo dominante (reale) si trovi in p = 1 ma sia presente anche uno zero a fase nonminima (cioè positivo) in 2 che determina una sottoeleongazione iniziale. Di conseguenza la risposta al gradino avrà un andamento qualitativo di tipo aperiodico come mostrato in figura.

11 12 1 y 8 6 y(t) 4 2 T a t [s] Il valore a regime dell uscita per un gradino in ingresso di ampiezza A = 1 risulta y = AG() = 12.4, il tempo di assestamento T a è T a = 3 σ = 3 1 = 3 s.

12 e) Sia dato il seguente sistema retroazionato: d(t) r(t) e(t) K G(s) 16(s.5) s(s 2 +4s+68) y(t) e.1) Determinare per quali valori del parametro K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. L equazione caratteristica del sistema retroazionato è 1+K 16(s.5) s(s 2 +4s+68) = s3 +4s 2 +(68 16K)s+8K = La corrispondente tabella di Routh è la seguente K 2 4 8K K K < = K K > Il sistema retroazionato è asintoticamente stabile per: < K <.3777 = K La pulsazione ω corrispondente al valore limite K è: ω = 8K 4 = rad/s e.2) Posto K =.1, calcolare l errore a regime e quando sul sistema retroazionato agiscono contemporaneamente il segnale di riferimento r(t) = 2+2t e il disturbo d(t) = 3sin(5t). Dato che il sistema è lineare e soggetto quindi alla sovrapposizione degli effetti, l errore E(s), espresso mediante la trasformata di Laplace, risulterà: E(s) = E r (s)+e d (s) dove E r (s) è l errore dovuto al riferimento mentre E d (s) è l errore dovuto al disturbo. L errore e r ( ) dovuto al riferimento costante sarà nullo, essendo il sistema considerato di tipo 1, mentre l ingresso a rampa r(t) = 2t produce un errore costante pari a e r ( ) = 2 k v con k v = lim s skg(s) =.1176 e r ( ) = 17 L errore dovuto al disturbo d(t) è dato da: E d (s) = F d (s)d(s) dove D(s) è la trasformata di Laplace di d(t) e F d (s) è la funzione di trasferimento tra D(s) e E d (s) che vale F d (s) = G(s) 1+KG(s) = 16s 8 s 3 +4s 2 +52s+8. Essendo d(t) sinusoidale è possibile sfruttare il concetto di risposta armonica ottenendo e d (t) = 3 F d (j5) sin(t+arg{f d (j5)}) con F d (j5) = e arg{f d (j5)} = o =.4985 rad. In conclusione e = e r +e d = sin(5t.4985)

13 e.3) Tracciare (nello schema fornito in allegato) i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s). Vedi figura in fondo. e.4) Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato per valori positivi del parametro K. Determinare esattamente gli asintoti, il centro degli asintoti, le intersezioni con l asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K. Dal momento che la costante di guadagno del sistema è negativa, per tracciare il luogo delle radici richiesto (K > ) è necessario prendere in considerazione le regole per valori negativi del guadagno. Essendo 2 il grado relativo del sistema, ci saranno due asintoti che sono disposti orizzontalmente lungo l asse reale (σ a = 2.25). Dall analisi svolta mediante il criterio di Routh, risulta che il luogo delle radici attraversa l asse immaginario in corrispondenza di ±j Il luogo delle radici per K > è riportato nella seguente figura. Root Locus Imaginary Axis Real Axis f) Si faccia riferimento al diagramma di Bode delle ampiezze della funzione G(s) mostrato in figura.

14 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s] f.1) Ricavare l espressione analitica della funzione G(s). G(s) = 4(s.1) (s+.1)(s 2 +2s+4) = 1( 1s+1) (1s+1)(.25s 2 +.5s+1) dove il valore µ = 1 si determina dal guadagno statico di G(s), cioè G() = 4 db = 1, assunto col segno negativo tenendo in considerazione la fase iniziale ϕ = 18 o = 18 o. Notare che in corrispondenza di ω =.1 rad/s sono presenti sia un polo (stabile) che uno zero (instabile). In ω = 2rad/s è invece presente una coppia di poli complessi coniugati (quindi con ω n = 2) caratterizzati da un coefficiente di smorzamento δ =.5 (dal momento che il grafico reale interseca quello asintotico in corrispondenza del punto di rottura in 2). f.2) Valutare in maniera approssimata la risposta a regime y (t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = 2+5 sin(.6t). Leggendo il gudagno statico di G(s) e il modulo e argomento di G(jω) in ω =.6 direttamente dai diagrammi di Bode si trova y (t) = µ 2+5 G(j.6) sin(.6t+arg{g(j.6)}) (1) 2+5sin(.6t) (2)

15 Cognome: Nome: N. Matr.: 8 Diagrammi di Bode 6 4 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s]