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1 Controlli Automatici A 22 Giugno 11 - Esercizi Si risolvano i seguenti esercizi. Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec. Altro. a.1) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali temporali x(t): x 1 (t) = e 3t (t 2 2), x 2 (t) = 4+3e 3t sin(7t) Soluzione: X 1 (s) = 2 (s+3) 2 3 (s+3), X 2(s) = 4 s + 21 (s+3) a.2) Calcolare la risposta impulsiva g i (t) delle seguenti funzioni di trasferimento G i (s): G 1 (s) = (s+3)(1+2s) G 2 (s) = 3+ (s+) 3 Soluzione: g 1 (t) = 2 [ e.t e 3t], g 2 (t) = 3δ(t)+t 2 e t. Infatti la G 1 (s) può essere scomposta nel seguente modo: G(s) = (s+.)(s+3) = K 1 (s+.) + K 2 (s+3) = 2 (s+.) 2 (s+3) b) Relativamente allo schema a blocchi di figura, calcolare la funzione di trasferimento G 2 (s) = Y 2 (s) R 2 (s) : G 2 (s) = AC +DC(1+AB) 1+AB +ACE R 2 (s) - - A B E C Y 2 (s) D c) I diagrammi riportati sotto sono relativi a due sistemi a fase minima G 1 (s) e G 2 (s). Per ciascuno dei due sistemi e nei limiti della precisione consentita dai grafici, calcolare: c.1) il margine di ampiezza M a e il margine di fase M ϕ del sistema; c.2) il guadagno K ϕ per cui il sistema K ϕ G(s) ha un margine di fase M ϕ = 4; c.3) il guadagno K a per cui il sistema K a G(s) ha un margine di ampiezza M a = ; 1

2 ts I parametri richiesti hanno il seguente valore: G 1 (jω) 3 2 Diagramma di Nichols G 2 (jω) Diagramma di Nyquist 1/Ma Mag [db] M ϕ 4.7 M α K α 3.9 K ϕ Imag Mϕ K α K ϕ Phase [degrees] Real c.1) M a = 11.2 db =.27 M ϕ = gradi c.2) K ϕ = 2.19 db =. c.3) K a = 2.7 db =.7 d) Sia dato il seguente sistema retroazionato: c.1) M a =.79 M ϕ = gradi c.2) K ϕ =.97 c.3) K a =.118 r(t) e(t) K G(s) ( s)(1+2s) s 2 (s 2 +3s+) d.1) Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. Soluzione. L equazione caratteristica del sistema retroazionato è: 1+ K( s)(1+2s) s 2 (s 2 +3s+) = s4 +3s 3 +( 2K)s 2 +9Ks+K =. La tabella di Routh ha la seguente struttura: 4 1 2K K 3 3 9K 2 1K + 3 1K 1 9K( 1K +3) 4K 1K Dalla riga 2 e dalla riga si ricavano i seguenti vincoli: K < 3 1 Dalla riga 1 si ottiene la seguente disequazione: =, K >. 13K +26 > K < = = K. Quindi il sistema retroazionato è asintoticamente stabile per: < K < K =

3 La pulsazione ω corrispondente al valore limite K è: ω = 3K = 9 = d.2) Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s). Soluzione. I diagrammi di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) sono mostrati in Fig. 1. Le funzioni approssimanti G (s) e G (s) per ω ed ω sono le seguenti: 6 4 be Gs 4 ga Goos Phase (deg) Phi Diagramma delle fasi Phioo Figura 1: Diagrammi di Bode della funzione G(s). G (s) = 1 s 2, G (s) = 2 s 2. Le corrispondenti fasi ϕ e ϕ hanno il seguente valore: ϕ = π, ϕ = 2π. Sul diagramma asintotico delle ampiezze, il guadagno β in corrispondenza della pulsazione ω =. e il guadagno γ in corrispondenza della pulsazione ω = sono: β = 1, γ = 1. d.3) Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist completo della funzione G(s). Calcolare esattamente la posizione σ a di un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ i con l asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω i. Soluzione. Il diagramma di Nyquist della funzione G(s) per ω [, ] è mostrato in Fig. 2. Il sistema é di tipo 2 per cui non esiste nessun asintoto verticale. La fase iniziale del sistema è ϕ = π. Per ω + il diagramma parte in anticipo rispetto a tale fase in quanto la somma delle costanti di tempo del sistema è positiva: τ = >. La variazione di fase ϕ = π che il sistema subisce per ω ], [ indica che il vettore G(jω) ruota di π in senso orario per raggiungere la fase finale ϕ = 2π. Esiste quindi un unica intersezione σ 1 con il semiasse reale positivo. Tale intersezione si determina nel modo seguente: σ 1 = 1 K σ 1 =.8. 3

4 .1 Diagramma di Nyquist Imag Real Figura 2: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) per ω [, ]. Il corrispondente valore di ω 1 è: ω 1 = Essendo p = > per ω il diagramma arriva a zero in anticipo rispetto alla fase finale ϕ = 2π. d.4) Calcolare, in funzione di K, l errore a regime e (t) per ingresso a parabola r(t) = 2t 2. Soluzione: Il sistema G(s) è tipo 2 per cui segnale di ingresso r(t) = 2t 2 t = R 2 2 inseguito solo con errore a regime non nullo: e (t) = R K a = 4 K 4 = 8 K. e) Si faccia riferimento ad un sistema G(s) i cui diagrammi di Bode sono mostrati in figura. può essere 3 Nei limiti della precisione consentita dal grafico si risponda alle seguenti domande ricavare l espressione analitica della funzione di trasferimento G(s). Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ. G(s) 277.8(s 3) 2 (s+.1)(s 2 +s+) Phase (deg) Diagramma delle fasi Dal grafico è evidente che la funzione G(s) ha un polo stabile in ω =.1, due zeri instabili in ω = 3 e una coppia di poli complessi coniugati stabili in ω =. La funzione di trasferimento 4

5 del sistema è quindi la seguente: G(s) = 277.8(s 3) 2 (s+.1)(s 2 +s+) = (1.333s) 2 (1+s)(1+.8s+.4s 2 ). Dal grafico risulta che il picco di risonanza è M R = 2. per cui si ha che δ =.2. f) In figura è mostrata la risposta al gradino x(t) = X = di un sistema dinamico G(s) caratterizzato solamente da 2 poli stabili. Nei limiti della precisione del grafico determinare: T ω Risposta al gradino y 1) Il guadagno statico del sistema: G = y X =.8 2) La posizione dei poli dominanti del sistema p 1,2 : σ = 3 T a 3 1., ω = 2π T ω , p 1,2 = σ ±jω = 2±j7.7. 3) La pulsazione naturale ω n : T a Time [s] ω n = σ 2 +ω 2 8.

6 Controlli Automatici A 22 Giugno 11 - Domande Si risponda alle seguenti domande. 1. Scrivere le funzioni di trasferimento G(s) = Y(s) X(s) corrispondente alla seguente equazione differenziale nelle variabili x(t) e :... y +4ÿ +3ẏ +y = 6ẋ+2x G(s) = Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec. Altro. 2. L antitrasformata di Laplace della funzione F(s) è definita come segue: f(t) := 1 2πj f(t) := 1 2πj σ +j σ j F(s)e st dt σ +j σ j F(s)e st ds σ +j 6s+2 s 3 +4s 2 +3s+1 f(t) := 1 2πj σ j F(s)est dt f(t) := 1 σ +j 2πj σ j F(s)est ds 3. Si faccia riferimento al diagramma di Bode dei moduli di un sistema G(s) a fase minima. Utilizzando la formula di Bode, calcolare in modo approssimato la fase ϕ del sistema G(s) in corrispondenza delle seguenti pulsazioni ω: 1 ω 1 =.1 ϕ 1 π 2 ω 2 =.1 ϕ 2 π 4 ω 3 = ϕ 3 ω 4 = ϕ 4 π In figura è mostrato il diagramma di Bode dei moduli di un sistema lineare G(s) a fase minima. a) Determinare la posizione dei poli dominanti: p 1,2 ±8.66j; b) Calcolare il guadagno statico del sistema: G() = db = ; c) Calcolare la larghezza di banda ω f del sistema G(s) posto in retroazione unitaria negativa: ω f Dato il seguente diagramma di Nyquist di una funzione G(s) con 2 poli nell origine e tutti gli altri a parte reale negativa, disegnate il diagramma polare completo. Utilizzando il criterio di Nyquist è possibile affermare che il sistema retroazionato K G(s) è stabile per i seguenti valori di K: (K >, K << 1); (K >, K >> 1); (K <, K >> 1); (K <, K << 1); -1 Im ω = + Re 6

7 6. Calcolare il valore iniziale y = lim t + e il valore finale y = lim del segnale t corrispondente alla seguente trasformata di Laplace Y(s): Y(s) = (2s 3)(s+1) s(s+2)(3s+) y = 3, y =.1 7. Scrivere la funzione di trasferimento G(s) di un sistema del secondo ordine caratterizzato da un guadagno statico G() =, da una pulsazione naturale ω n = e da un coefficiente di smorzamento δ =.: G(s) = s 2 +s+. 8. Calcolare l errore a regime e( ) per i seguenti sistemi retroazionati: r(t) = 2 e(t) 8 (s+2) 2 r(t) = 3t e(t) s(s+3) r(t) = 2t 2 e(t) s+3 s 2 (s+) e( ) = 2 3 e( ) = 9 e( ) = 3 9. Se i coefficienti dell equazione caratteristica di un sistema retroazionato sono tutti positivi, allora è possibile affermare che il sistema retroazionato è stabile può essere instabile può essere stabile è instabile. Disegnare l andamento qualitativo y 1 (t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema: G(s) = 3(2+.1s)(s2 +s+16) (2s+)(1s+3)(s 2 +s+4) Calcolare inoltre: a) il valore a regime y della risposta al gradino per t ; b) il tempo di assestamento T a della risposta al gradino y 1 (t); c) il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y 1 (t): Risposta al gradino y.2 y =.8, T a 1s, T ω s..1 T a Time [s] 11. Calcolare la posizione σ a dell asintoto verticale del diagramma di Nyquist della funzione G(s): G(s) = (2+6s)(s2 6s+3) σ s(s 3 +9s 2 a = 3 ( ) +2s+8) 4 4. Scrivere il modulo M(ω) = G(jω) e la fase ϕ(ω) = argg(jω) della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s) supponendo t > : G(s) = (1 s)2 s 2 (s+3) e 2t s M(ω) = 1+2ω2 ω 2 ω 2 +9 ϕ(ω) = π 2t ω arctan ω 3 2arctanω 7