Scomposizione in fratti semplici

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1 0.0.. a gradoni Scomposizione in fratti semplici La determinazione dell evoluzione libera e dell evoluzione forzata di un sistema lineare stazionario richiede l antitrasformazione di una funzione razionale fratta di questo tipo: N(s) D(s) := b ms m +b m s m +...+b s+b 0 s n +a n s n +...+a s+a 0 La differenza r = n m fra i gradi del denominatore e del numeratore prende il nome di grado relativo della funzione razionale Y(s). La funzione Y(s) può essere scomposta in fratti semplici solo se è strettamente propria, cioè se presenta un grado relativo r. Se la funzione Y(s) ha grado relativo r = 0 può essere scomposta nel seguente modo: y 0 +Y (s) dove la costante y 0 e la funzione Y (s), con grado relativo r, sono: y 0 = lim s Y(s), Y (s) = Y(s) y 0. La funzione Y(s) può sempre essere espressa anche in forma fattorizzata: K (s z )(s z )...(s z m ) (s p )(s p )...(s p n ) Le costanti complesse z,...,z m e p,...,p n vengono dette, rispettivamente, zeri e poli della funzione Y(s). Valutazione grafica della funzione Y(s):

2 .. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. Ad ogni polo reale p i della funzione Y(s) viene associata una costante di tempo τ i così definita: Im τ i = p i p i = τ i Re La costante di tempo τ i è positiva solo se il polo reale p i è negativo. In modo analogo, per gli zeri reali z j vale la relazione: τ j = /z j. Nel caso di poli complessi coniugati, p, = σ ± jω, ( σ è la parte reale e ω è la parte immaginaria del polo) si utilizza anche la seguente parametrizzazione di tipo polare : p, = σ ±jω = δω n ±jω n δ = ω n cosϕ±jω n sinϕ p Im ω dove ω n è detta pulsazione naturale: ϕ ω n ω n = p = p = σ +ω e δ è detto coefficiente di smorzamento: δ = cosϕ = σ σ +ω σ p Re Valgono le relazioni seguenti: σ = δω n, ω = ω n δ In relazione all antitrasformazione si distinguono due casi: i) tutti i poli della funzione Y(s) sono semplici; ii) la funzione Y(s) ha anche poli multipli.

3 .. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. 3 Antitrasformazione nel caso di poli semplici Nel caso di poli semplici la funzione può essere scomposta come segue: N(s) n (s p )(s p )...(s p n ) = i= K i s p i Le costanti K i (dette residui) sono reali in corrispondenza dei poli reali e complesse coniugate in corrispondenza delle coppie di poli complessi coniugati. Le costanti K i si ricavano utilizzando la seguente formula: K i = (s p i )Y(s) s=pi Una volta che la funzione Y(s) è stata scomposta in fratti semplici, è immediato antitrasformarla: y(t) = n K i e p it i= Esempio. Sia Y(s) := I residui si calcolano nel modo seguente: per cui si può scrivere e quindi 5s+3 (s+)(s+)(s+3) = K s+ + K s+ + K 3 s+3 K = K = K 3 = 5( )+3 ( +)( +3) = 5( )+3 ( +)( +3) = 7 5( 3)+3 ( 3+)( 3+) = 6 s+ + 7 s+ 6 s+3 y(t) = e t +7e t 6e 3t

4 .. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. 4 Quando si hanno coppie di poli complessi coniugati p = σ +jω, p = σ jω anche i residui sono complessi coniugati p ϕ Im ω n ω K = u +jv, K = u jv La somma di fratti semplici ad essi relativa è σ Re Posto u +jv s σ jω + u jv s σ +jω M := K = u +v, ϕ := argk = arg(u +jv ), p si può scrivere ( M e jϕ e jϕ ) + s σ jω s σ +jω da cui, antitrasformando, si ottiene M ( e σ t+j(ω t+ϕ ) +e ) σ t j(ω t+ϕ ), funzione che può essere posta nella forma, Esempio. Sia: M e σ t cos(ω t+ϕ ) oppure M e σ t sen(ω t+ϕ +π/) Y(s) := 7s 8s+5 s 3 +s +5s = K s + K s+ j + K 3 s++j I residui sono i seguenti: K = (0+ j)(0++j) = e pertanto K = 7( +j) 8( +j)+5 ( +j)( +j++j) = 3+j4 K 3 = 7( j) 8( j)+5 ( j)( j+ j) = 3 j4 s + 3+j4 s+ j + 3 j4 s++j, da cui, antitrasformando, y(t) = +0e t cos(t+ϕ), dove 0 = K = 3 +4 e ϕ=arctan(4/3)=53.3.

5 .. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. 5 Antitrasformazione nel caso di poli multipli Si suppone che la funzione razionale Y(s) abbia h poli distinti p i (i =,...,h), ciascuno caratterizzato da un ordine di molteplicità r i : N(s) h (s p ) r (s p ) r...(s ph ) = r h Le costanti K il si ricavano mediante la formula K il = (l )! i= r i l= d l [ (s p ds l i ) r i Y(s)] s=p i K il (s p i ) r i l+ dove (i =,...,h;l =,...,r i ). Antitrasformando la Y(s) si ottiene: y(t) = h i= r i l= K il (r i l)! tr i l e p it I coefficienti K il sono complessi coniugati in corrispondenza di poli complessi coniugati. I termini complessi coniugati corrispondono a prodotti di esponenziali reali e funzioni trigonometriche, e si ottengono con un procedimento del tutto analogo a quello seguito nel caso di poli distinti. Esempio: dove (s+)(s+) = K s+ + K s+ + K (s+) K = [(s+)y(s)] s= = K = d [ (s+) Y(s) ] = d ds s= ds [ s+] s= = K = [ (s+) Y(s) ] s= = Antitrasformando si ottiene: y(t) = e t e t +te t

6 .. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. 6 Sviluppi in somme di fratti semplici Si consideri il rapporto di polinomi Valgono le seguenti proprietà: b ms m +b m s m +...+b s+b 0 a n s n +a n s n +...+a s+a 0 i) se è n=m+, la somma dei residui di Y(s) è b m an ; ii) se è n>m+, la somma dei residui di Y(s) è zero. Si ricorda che, nello sviluppo in fratti, i residui di Y(s) sono i coefficienti dei termini con polinomio a denominatore di primo grado. Esempio : s z (s p )(s p )(s p 3 ) = A + B + C s p s p s p 3 Calcolati A e B, il calcolo del residuo C è immediato: C = (A+B). Esempio : (s p ) (s p ) = A (s p ) + B + C s p s p Il coefficiente A e il residuo C si possono calcolare immediatamente: A = p p, C = Applicando la proprietà ii si deduce: B= C. Esempio 3: (p p ) s z (s p ) 3 (s p ) = A (s p ) + B 3 (s p ) + C + D s p s p Il coefficiente A e il residuo D si calcolano immediatamente. Applicando la proprietà ii si deduce: C = D. Moltiplicando ambo i membri dello sviluppo per (s p ) si ottiene: s z A = (s p ) (s p ) (s p ) + B +C +D s p s p s p A = (s p ) + B + E s p s p da cui si calcola E = p z (p p ) Applicando la proprietà ii al nuovo sviluppo, si ottiene B= E.

7 .. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. 7 Approccio diretto all antitrasformazione: poli semplici Nel caso in cui la funzione Y(s) sia posta nella seguente forma: N(s) (s+a )...(s+a p )[(s+σ ) +ω ]...[(s+σ q) +ωq] caratterizzatadappolirealisempliciinp i = a i edaqpolicomplessiconiugati semplici in p j = σ j ±jω j, la funzione antitrasformata y(t) = L - [Y(s)] può essere calcolata anche nel seguente modo: y(t)= p K i e ait + i= q j= H j ω j e σ jt sin ( ω j t+arg H j ) dove i coefficienti K i e H j si calcolano utilizzando le seguenti formule: K i = (s+a i )Y(s) s= ai H j = [(s+σ j ) +ω j ]Y(s) s= σj +jω j Esempio. Si calcoli la risposta al gradino unitario del seguente sistema: G(s) = s +δω n s+ωn Occorre antitrasformare la seguente funzione di uscita: G(s)X(s) = ω n ω n s(s +δω n s+ω n) La funzione Y(s) ha poli semplici in 0 e in δω n ±jω dove ω = ω n δ. I coefficienti K e H hanno il seguente valore: K = sy(s) ω n = s=0 (s +δω n s+ωn) = s=0 H = (s +δω n s+ωn)y(s) ωn = s= δωn +jω δω n +jω = ω ne j( π+ϕ) dove ϕ = arctan δ δ = arccosδ. Il calcolo di y(t) è ora immediato: y(t) = + ω n ω e δω nt sin(ωt π +ϕ) = e δω nt δ sin(ωt+ϕ)

8 .. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. 8 Modi della risposta temporale L unica difficoltà nell antitrasformazione di funzioni razionali fratte Y(s) è la fattorizzazione del polinomio a denominatore. Il comportamento temporale della funzione antitrasformata y(t) è essenzialmente legato alla posizione dei poli p i della funzione Y(s). Ai poli semplici s i = σ e ai poli complessi coniugati s j = σ ± jω sono associati termini temporali y i (t) e y j (t), detti modi, del seguente tipo: (s+σ) (s+σ) +ω y i (t) = Ke σt y j (t) = M e σt sen(ωt+ϕ) Nel caso di poli multipli con grado molteplicitá r si hanno i seguenti modi: (s+σ) r y i (t) = r n=0 K nt n e σt [(s+σ) +ω ] r y j (t) = r n=0 M nt n e σt sen(ωt+ϕ) Nelcasodipoli semplici,imodiy i (t)ey j (t)tendonoazeroperttendente all infinito se la parte reale del polo è negativa ( σ < 0), restano limitati se essa è nulla (σ = 0) e divergono se essa è positiva ( σ > 0). Nel caso di poli multipli, i modi tendono a zero se la parte reale del polo è negativa ( σ < 0) e divergono se essa è positiva o nulla ( σ 0). L antitrasformata y(t) di una funzione razionale fratta Y(s) rimane limitata se e solo se la funzione Y(s) non presenta alcun polo a parte reale positiva e gli eventuali poli a parte reale nulla sono semplici. In caso contrario la funzione y(t) diverge. Ipolichecaratterizzanolarisposta G(s)X(s)diunlinearesistema G(s) ad un segnale in ingresso X(s) (come l impulso di Dirac, il gradino, la sinusoide) sono quelli della funzione di trasferimento G(s) più quelli relativi al segnale di ingresso X(s). Un sistema G(s) è asintoticamente stabile se tutti i suoi poli sono a parte reale negativa: in questo caso tutti i modi y i (t) e y j (t) associati ai poli della funzione G(s)tenderanno sicuramente a zero quando t tendente all infinito.

9 .. SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI. 9 Modi della risposta nel caso di poli distinti (r = ): delle radici Modi della risposta nel caso di poli multipli (r = ):