Appunti: Rappresentazione delle funzioni razionali fratte

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1 Appunti: Rappresentazione delle funzioni razionali fratte Giulio Cazzoli v1.0 (AA ) 1 Rappresentazione di una funzione razionale Forma polinomiale Forma fattorializzata Forma fattorializzata generalizzata Forma fattorializzata generalizzata a costanti di tempo Esempio Rappresentazione di numeri complessi in forma Gaussiana 7 1

2 Rappresentazione funz. razionali FunRaz t-2 1 Rappresentazione di una funzione razionale Consideriamo una funzione razionale reale fratta F (s) = N m(s) D n (s) costruita come rapporto tra due funzioni polinomiali in s a coefficienti reali. Il polinomio al numeratore sia di grado m, il polinomio al denominatore sia di grado n La funzione razionale fratta si dice: funzione impropria se il grado del numeratore è superiore a quello del denominatore m > n funzione propria se il grado del numeratore è uguale a quello del denominatore m = n funzione strettamente propria se il grado del numeratore è inferiore a quello del denominatore m < n Se la funzione F (s) è razionale impropria (m > n), la funzione nel dominio del tempo f(t) si dice non causale (anticipativa o non realizzabile) Un sistema non causale, è un sistema dinamico tale per cui l uscita ad un certo tempo dipende dai valori dell ingresso nel dato istante, quelli assunti in precedenza e quelli che assumerà nel futuro. Ovviamente un sistema del genere non può essere rappresentato in natura. Considereremo esclusivamente sistemi causali (sistemi fisici) descritti, quindi, da una funzione di trasferimento razionale fratta strettamente propria, rappresentabile come rapporto tra due polinomi N m (s) e D n (s) di grado m n Numeratore e denominatore ammettono un numero di radici pari al rispettivo grado: Le radici possono essere reali, complesse, e in questo caso saranno sempre complesse coniugate o nulle; Nel caso di radice nulla, la radice si dirà radice nell origine; Le radici del numeratore si dicono zeri in quanto F (s) s=zi = 0; Le radici del denominatore si dicono poli in quanto F (s) s=pi Poli e zeri di una funzione razionale possono essere riportati sul piano di Gauss della variabile s ottenendo la mappa di zeri e poli (o spettro) della funzione. Dare zeri e poli di una funzione nel piano s equivale a dare la funzione F (s) stessa. Per tradizione si indicano con una x i poli e con o gli zeri. Per esempio data: s + 3 F (s) = s 3 + 6s 2 + 8s caratterizzata da uno zero (s z = 3) tre poli (s p = {0, 2, 4}) sarà rappresentabile con la mappa di zeri e poli: Im Re

3 Rappresentazione funz. razionali FunRaz t Forma polinomiale I polinomi al numeratore e denominatore possono esser rappresentati mediante polinomi ordinati ridotti a forma normale: G(s) = b ms m + b m 1 s m b 1 s 1 m + b 0 a n s n + a n 1 s n a 1 s 1 = i=0 b is i + a n 0 i=0 a is i dove: i coefficienti direttori, coefficienti a n e b m del termine di grado massimo, sono numeri reali non nulli. i coefficienti a i e b i sono numeri reali, anche nulli Si è poi soliti raccogliere i coefficienti direttori: con: G(s) = K sm + b m 1s m b 1s 1 + b 0 s n + a n 1 sn a 1 s1 + a 0 K = b m /a n (costante di guadagno), b i = b i/b m, = K sm + m 1 i=0 b i si s n + n 1 i=0 a i si a i = a i/a n Un generico polinomio si dice si dice monico se il coefficiente del termine di grado massimo è unitario. La forma razionale si dice monica se il denominatore è un polinomio monico. 1.2 Forma fattorializzata Data la forma polinomiale il numeratore avrà p i (i = 1 n) radici, il numeratore z i (i = 1 m). Noti poli e zeri, la forma polinomiale monica può essere scritta in forma fattorializzata: G(s) = K (s z m 1) (s z m ) (s p 1 ) (s p n ) = K (s z i) n (s p i) Supponendo le molteplicità dei poli (r i ) e degli zeri (q i ) anche maggiori di uno, la funzione può essere espressa in forma fattorializzata: con k q i = m e l r i = n G(s) = K (s z 1) q1 (s z k ) q k k (s p 1 ) r1 (s p l ) r = K (s z i) qi l l (s p i) ri 1.3 Forma fattorializzata generalizzata Per eliminare i termini complessi, la forma fattorializzata viene riscritta nella forma fattorializzata generalizzata. La forma generalizzata si ottiene dalla forma fattorializzata: Raccogliendo le radici nulle (in numero h z e h p per numeratore e denominatore, rispettivamente), Sostituendo le forme fattoriali complesse coniugate (in numero m c e n c per numeratore e denominatore, rispettivamente) con il loro prodotto: (s r) (s r) = s 2 s (r + r) + r r = s 2 2 Re [r] s + Re [r] 2 + Im [r] 2 = s 2 + 2ξω n s + ω 2 n

4 Rappresentazione funz. razionali FunRaz t-4 in cui sono stati messi in evidenza smorzamento ξ = Re [r] / r pulsazione naturale ω n = r = Re [r] 2 + Im [r] 2. Affinché le radici siano complesse coniugate, dovrà essere ξ < 1 La forma fattorializzata generalizzata si scrive: s hz m s (s z i) ) m c (s 2 + 2ξ z,i ω nz,i s + ω 2 nz,i G(s) = K s hp ns (s p i) ) n c (s 2 + 2ξ p,i ω np,i s + ω 2 np,i Ovviamente sarà: n n m > m = h p + n s + 2n c = h z + m s + 2m c 1.4 Forma fattorializzata generalizzata a costanti di tempo In accordo con il comportamento dei sistemi del primo e secondo ordine è utile riscrivere la forma fattorializzata nella forma a costanti di tempo. Il passaggio dalla forma fattorializzata generalizzata a quella a costanti di tempo si ottiene: Definendo la costante di tempo (τ) per le radici semplici non nulle: s a = a ( s ) a + 1 = a (1 + τs) τ = 1 a Raccogliendo la pulsazione naturale dei termini complessi coniugati: ( s s 2 + 2ξω n s + ωn 2 = ωn ξ ) s + 1 ω n Raccogliendo i termini non dipendenti da s in una nuova costante di guadagno (K 1 ) K 1 = K ms ω 2 n ( z i) m c ω2 n z,i ns ( p i) n c ω2 n p,i La forma fattorializzata generalizzata a costanti di tempo si scrive: ms (1 + τ z,is) ( m c + 2 ξz,i G(s) = K 1 s hz s hp ns (1 + τ p,is) n c ( s 2 ω 2 n z,i ) ω nz,i s + 1 ) s 2 ω + 2 ξp,i n 2 ω np,i s + 1 p,i

5 Rappresentazione funz. razionali FunRaz t Esempio Consideriamo la funzione di trasferimento: G(s) = N 3(s) D 4 (s) caratterizzata da un polinomio di quarto ordine al denominatore (n = 4) e di terzo al numeratore (m = 3). La funzione di trasferimento in forma polinomiale sia: G(s) = che può essere riscritta in forma polinomiale monica: in cui la costante di guadagno vale K = 0.4 Calcolando le radici del numeratore (zeri): 4s s s s s s s G(s) = 4 10 s 3 + 6s s + 6 s 4 + 6s s s z i = { 3, 2, 1} e del denominatore (poli): p i = { 4, 1 + j 3, 1 j } 3, 0 si ottiene la forma fattorializzata: G(s) = 0.4 (s + 3) (s + 2) (s + 1) (s + 4) ( s + 1 j 3 ) ( s j 3 ) (s + 0) Al denominatore è presente una radice nulla e una coppia complessa coniugata, quindi: h p = 1 n s = 1 n c = 1 h z = 0 m s = 3 m c = 0 La coppia complessa coniugata si riscrive, ricordando le definizioni di pulsazione naturale e smorzamento: ( ) 2 ω n = = 2 ξ = 2 in forma polinomiale. Sostituendo e riordinando, si ottiene la forma fattorializzata generalizzata: G(s) = 0.4 (s + 3) (s + 2) (s + 1) s (s + 4) (s 2 + 2s + 4) Raccogliendo zeri e poli semplici e le pulsazioni naturali, la costante di guadagno diviene: K 1 = = = 2.4 e ricordando la definizione di costante di tempo per i termini di prim ordine al numeratore: { } 1 τ z = 3, 1 2, 1 = {0.33 3, 0.5, 1} 1 e al denominatore: τ p = { } 1 = {0.25} 4

6 Rappresentazione funz. razionali FunRaz t-6 si ottiene la forma fattorializzata nella forma a costanti di tempo: G(s) = 2.4 ( s) ( s) (1 + s) s ( s) ( s s 2 + 1)

7 Rappresentazione funz. razionali FunRaz t-7 2 Rappresentazione di numeri complessi in forma Gaussiana Un generico numero complesso può essere rappresentato nella forma cartesiana: o nella forma polare: Z = Re [Z] + j Im [Z] Z = Z e j arg[z] = Z e jϕ Il modulo del numero complesso, come noto vale: Z = Re [Z] 2 + Im [Z] 2 e la fase: ϕ = arg [Z] = arctan ( ) Re [Z] Im [Z] Dati quattro numeri complessi Z i (e per semplice estensione un numero qualsiasi) è immediato scrivere Z = Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 = Z 1 e jϕ1 Z 2 e jϕ2 Z 3 e jϕ3 Z 4 e jϕ4 = Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 ej(ϕ1+ϕ2 ϕ3 ϕ4) Calcolando il logaritmo in una qualunque base del modulo, ricordando le proprietà dei logaritmi, si ha: ( ) Z1 Z 2 log Z = log Z 3 Z 4 La fase è data dalla semplice somma delle fasi: = log Z 1 + log Z 2 log Z 3 log Z 4 ϕ = ϕ 1 + ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 Pertanto se un generico numero complesso è rappresentabile come prodotto di numeri complessi: Z = Z e jϕ = M Z ki i = M ( Zi e jϕi) k i per il logaritmo del modulo varrà: e la fase: M log Z = (k i log Z i ) M ϕ = (k i ϕ i )