MATEMATICA. a.a. 2014/15. 1a. Funzioni (II parte):

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1 MATEMATICA a.a. 014/15 1a. Funzioni (II parte): Funzioni iniettive, suriettive, bigettive. Funzioni reali. Campo di esistenza. Funzioni pari e dispari

2 Funzione iniettiva y=f() 1 3 X 4 y 6 Y y y 1 y 3 y 5 f( 1 )=y 6 f( )=y 1 f( 3 )=y 5 f( 4 )=y 3 f( 5 )=y 4 5 y 4 La funzione f è iniettiva poiché i punti del codominio sono raggiunti al più da una freccia ma non è suriettiva poiché y non è raggiunto da nessuna freccia.

3 Funzione iniettiva Stabilire se le seguenti funzioni con dominio R sono iniettive. Perché? y= 3+ y= 6 3

4 Funzione iniettiva y= 3+ y= 6 3

5 Funzione iniettiva y 1 - Dominio= R, Immagine= [0,+ ) La funzione non è iniettiva.

6 Funzione surgettiva y=f() 1 3 X 4 y Y y 1 y 4 y 3 f( 1 )=y f( )=y 1 f( 3 )=y f( 4 )=y 3 f( 5 )=y 4 5 La funzione f è surgettiva (suriettiva) poiché ogni punto del codominio è raggiunto da almeno una freccia ma non è iniettiva poiché y è raggiunto da più di una freccia.

7 Funzione biiettiva (biunivoca) y=f() 1 3 X 4 y Y y 1 y 4 y 3 y 5 f( 1 )=y f( )=y 1 f( 3 )=y 3 f( 4 )=y 5 f( 5 )=y 4 5 La funzione f è sia suriettiva sia iniettiva; quindi f è bigettiva, quindi invertibile. Se la funzione f : X Y è biiettiva, si viene ad individuare una nuova funzione g : Y X tale che: g(y) = f () = y La funzione g si chiama funzione inversa e si indica f 1, per cui f 1 : Y X

8 Funzione inversa f 1 : Y X 1 3 X 4 y Y y 1 y 4 y 3 y 5 f 1 (y 1 )= f 1 (y )= 1 f 1 (y 3 )= 3 f 1 (y 4 )= 5 f 1 (y 5 )= 4 5 Per determinare il grafico della funzione inversa è sufficiente invertire le frecce dall insieme Y all insieme X.

9 Funzione biiettiva (biunivoca) Una funzione f : D C è BIUNIVOCA (bigettiva) se ogni y C è immagine di uno ed un solo elemento D. ESEMPI: 1. D = C =R, y = +1 è biunivoca: y R è immagine di. D = C = R +, y= è biunivoca: y R + è immagine di 1 = y ( 1) = y

10 Funzione biiettiva (biunivoca) y= 1. D = R -, C = R +, y= è biunivoca: y R + è immagine di. D = R +, C = R, y= iniettiva ma non suriettiva: y<0 non è immagine di alcun y= = y 3. D = R, C = R +, suriettiva ma non iniettiva: y = 4 è immagine di = ±.

11 Funzioni reali C R Di particolare interesse sono le funzioni f : D Cdove D R e. Si tratta di funzioni in cui il dominio D sarà l insieme R dei numeri reali (o un suo sottoinsieme), di solito un intervallo (limitato o illimitato) o l unione di un numero finito di intervalli, e analogamente il codominio C sarà l insieme R dei numeri reali o di un suo sottoinsieme. Esse sono dette funzioni di una variabile reale e a valori y anch essi reali - su cui ci soffermeremo nello studio - ed in cui per convenzione viene detta variabile indipendente, mentre y viene detta variabile dipendente. Il grafico di queste funzioni con dominio e codominio contenuti nella retta reale - si può rappresentare su un piano cartesiano (in R R = R ) I polinomi sono funzioni reali di variabile reale; lo sono anche le funzioni razionali, le funzioni trigonometriche seno e coseno, come pure l esponenziale e il logaritmo. Tuttavia, mentre i polinomi, seno e coseno ed esponenziale sono definiti su tutto l asse reale (ossia hanno dominio uguale a R), le funzioni razionali e il logaritmo in generale non lo sono.

12 Funzioni reali Il dominio di una funzione razionale non può contenere gli zeri del denominatore. Allo stesso modo il logaritmo è definito solo quando l argomento è strettamente positivo. La seguente funzione è una funzione reale di una variabile reale? f ( ) = + 1 1

13 Funzioni Campo di esistenza Definizione - Data una legge f su R chiamiamo campo di esistenza il più grande insieme di R per cui tale legge è ben definita e lo indichiamo con CE(f ). Ci si riferisce quindi al massimo insieme di punti sul quale la funzione è definita e si può anche dire che tale insieme è il dominio più grande possibile su cui si può considerare tale legge. ESEMPIO 1. Determinare il campo di esistenza della funzione ESEMPIO. Determinare il campo di esistenza della funzione ESEMPIO 3. Determinare il campo di esistenza della funzione y= y= + 7 y= + ESEMPIO 4. Determinare il campo di esistenza della funzione y ( ) = log 3+

14 Funzioni Campo di esistenza ESEMPIO 1. Determinare il campo di esistenza della funzione y= 6+ 4 Soluzione: le funzioni polinomiali sono definite per ogni ESEMPIO Determinare il campo di esistenza della funzione Soluzione: R\ { 7} R y 1 = + 7 ESEMPIO 3. Determinare il campo di esistenza della funzione y= + Soluzione: affinché le due radici abbiano significato, i radicandi devono essere entrambi non negativi: 0 e 0 e tali condizioni si verificano per e 0. Segue che la funzione non è definita per alcun valore di. ESEMPIO 4. Determinare il campo di esistenza della funzione y ( ) = log 3+ Soluzione: La funzione log t è definita per valori positivi dell argomento t>0 quindi y= log 3+ è definito per 3+>0, cioè per >-3. Scriveremo C.E.: (-3;+ ) ( )

15 Funzioni FUNZIONE PARI O DISPARI Una funzione f : R Rsi dice: PARI: se R f( ) = f() In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all asse y DISPARI: se R f( ) = f() In questo caso il grafico della funzione è simmetrico rispetto all origine O ESEMPI: f( ) f( ) = f = = ( ) f( ) 1 = sono funzioni pari sono funzioni dispari

16 Funzioni FUNZIONE PARI O DISPARI Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari (o né pari né dispari): Funzione pari: f( ) = f() Funzione dispari: f( ) = -f() f ( ) = + ( ) 1 f = + f ( ) 3 = 3 f ( ) =

17 FUNZIONE PARI FUNZIONE DISPARI ( ) f = il grafico della funzione è simmetrico rispetto all asse y f ( ) = 1 il grafico della funzione è simmetrico rispetto all origine O