Teoria degli Insiemi

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1 Teoria degli Insiemi Docente: Francesca Benanti Ottobre Teoria degli Insiemi La Teoria degli Insiemi è una branca della matematica creata alla fine del diciannovesimo secolo principalmente dal matematico tedesco Georg Cantor ( ). Inizialmente controversa, è arrivata ad avere il ruolo di teoria fondamentale nella matematica moderna. I concetti di questa teoria, quali per esempio quelli di funzione e di relazione, sono presenti in ogni suo settore. Un insieme è una collezione di oggetti determinati e distinti della nostra percezione o del nostro pensiero concepiti come un tutto unico. Tali oggetti si dicono gli elementi dell insieme. (G. Cantor) 2 Insiemi Insieme: concetto primitivo, nel senso che non può essere definito in termini di altre nozioni più elementari, sinonimo di collezione, raccolta di elementi. Insiemi Numerici: N = {0, 1, 2, 3, 4...} = l insieme dei numeri naturali, 1

2 Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = l insieme dei numeri interi, Q = {..., 2.7,..., 3,..., 0,..., 1..., 4.8(2),...} = l insieme dei numeri 4 7 razionali, R = {..., 5,..., 4 5,..., 0,..., 2..., 7,...} = l insieme dei numeri reali. Osservazione: I simboli N, Z, Q, R indicano gli insiemi numerici N, Z, Q, R privati dell elemento zero. I simboli Z +, Q +, R + indicano gli interi, i razionali, i reali positivi, rispettivamente. I simboli Z, Q, R indicano gli interi, i razionali, i reali negativi, rispettivamente. 3 Definire un insieme Modi per definire un insieme: Modo esplicito: si elencano tutti gli elementi dell insieme Esempio: A = { 2, 1, 0, 1, 2} Modo implicito: si elencano le proprietà che caratterizzano gli elementi dell insieme Esempio: A = {x intero, 2 x 2} Rappresentazione grafica: Diagrammi di Eulero-Venn Esempio: A =

3 Per indicare che a è un elemento dell insieme A si scrive a A e si legge a appartiene all insieme A. Per indicare che b non è un elemento dell insieme A si scrive b A e si legge b non appartiene all insieme A. Esempi: A = { 2, 1, 0, 1, 2} 1 A, 3 A A = {x N x = 2n, x 2 > 11} 5 A, 4 A A = 3 A, 1 A. 4 Inclusione Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A è un sottoinsieme di B (o che A è incluso in B) e si scrive A B se ogni elemento di A è un elemento di B, ossia è vera l implicazione x A x B Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A non è un sottoinsieme di B (o che A non è incluso in B) e si scrive A B se esiste qualche elemento di A che non appartiene a B, ossia è vera la proposizione x A x B

4 Esempi: A = { 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} B = { 1, 4, 5} C = { 2, 3, 4, 7} Allora, si ha B A, C A A = {x Z x < 5, } B = {x N x 2 < 20, } C = {x N x 2 < 30, } Allora, si ha B A, C A Consideriamo i seguenti insiemi Allora, si ha B A, C A. 5 Sottoinsiemi Propri e Impropri Definizione: Si definisce insieme vuoto l insieme privo di elementi e si indica

5 Esempio: A = {x N x 2 = 1} = Osservazione: Dato un generico insieme A per convenzione si pone A A, A Definizione: Dato un insieme A si definiscono sottoinsiemi impropri di A l insieme vuoto e A stesso. Definizione: Dati due insiemi A e B, si dice che A è un sottoinsieme proprio di B e si scrive A B se A è un sottoinsieme di B diverso dall insieme vuoto e da B stesso, ossia Esempio: A, x B x A sottoinsiemi impropri di A: sottoinsiemi propri di A: A = {a, b, 1}, A {a}, {b}, {1}, {a, b}, {a, 1}, {b, 1} Definizione: Dato un insieme A si definisce insieme delle parti di A l insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A, e si indica P(A) Esempio: A = {a, b, 1}

6 P(A) = {A,, {a}, {b}, {1}, {a, b}, {a, 1}, {b, 1}}. Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A è uguale a B, e si scrive A = B se ogni elemento di A è un elemento di B e viceversa, ovvero A B, B A Esempio: Allora A = {x N x 2 < 11} B = {0, 1, 2, 3} A = B 6 Operazioni tra Insiemi Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce unione di A e di B, e si indica A B, l insieme di tutti gli elementi che stanno in almeno uno dei due insiemi Esempio: A B = {x x A x B} Allora A = {1, 2, 3}, B = {4, 3} A B = {1, 2, 3, 4}

7 Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce intersezione di A e di B, e si indica A B, l insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B Esempio: A B = {x x A x B} Allora A = {1, 2, 3}, B = {4, 3} A B = {3} Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce differenza di A e B, e si indica A\B, l insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A e non a B A\B = {x x A x B} (Analogamente B\A = {x x B x A}, detta la differenza di B e A) Esempio:

8 Allora A = {1, 2, 3}, B = {4, 3} A\B = {1, 2} B\A = {4} Osservazione: Se A B allora B\A è detto complementare di A in B. Esempio: Allora A = {0, 1}, B = { 1, 0, 1, 4, 3} A B, B\A = { 1, 3, 4} (Analogamente se B A allora A\B è detto complementare di B in A) Sia U un fissato universo, ossia un insieme che contiene tutti gli oggetti che ci possono interessare. Definizione: Dato un insieme A, si definisce complementare di A, e si indica C A, l insieme di tutti gli elementi che non appartengono ad A C A = {x U x A} = {x x A} Esempio:

9 Allora A = {x x < 2} C A = {x x 2} 7 Proprietà delle Operazioni tra Insiemi 1. Idempotenza: A A = A, A A = A; 2. Associativa: (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C); 3. Commutativa: A B = B A, A B = B A; 4. Distributiva: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C); 5. Legge dei neutri: A = A, A U = U, A =, A U = A; 6. Complemento: A C A = U, A C A =, C ( C A) = A, C = U, C U = ; 7. Leggi di De Morgan : C (A B) = C A C B, C (A B) = C A C B.

10 8 Prodotto Cartesiano Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce prodotto cartesiano di A e B, e si indica A B, l insieme formato dalle coppie ordinate (a, b) in cui a A e b B A B = {(a, b) a A, b B} Esempio: Allora A = {x, y, z}, B = {1, 2} A B = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)} Osservazione: (x, y) (y, x) X Y Y X (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ) x 1 = x 2, y 1 = y 2 Rappresentazioni del Prodotto Cartesiano: 1. (Tavola Pitagorica)

11 2. (Piano Cartesiano) 3. (Diagramma di Eulero - Venn)

12 Esercizi: 1. Dimostrare le proprietà delle operazioni tra insiemi; 2. Siano e A = {x Z x 4 13x = 0} B = {x Z x 18}. Determinare A B, A B, A\B e B\A. 3. Siano A = {a, b}, B = {2, 3} e C = {4, 3} Determinare A (B C), (A B) (A C), A (B C) e (A B) (A C). Proprietà Distributiva, A (B C) = (A B) (A C): Verifichiamo A (B C) (A B) (A C): x A (B C) x A x (B C) (x A) (x B x C) (x A x B) (x A x C) (x A B) (x A C) x (A B) (A C) (A B) (A C) A (B C): x (A B) (A C) x (A B) x (A C) (x A x B) (x A x C) (x A) (x B x C) x A (x B C) x A (B C).

13 9 Corrispondenze Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce corrispondenza o relazione R da A in B una legge che associa elementi di A ad elementi di B. N.B. A è detto dominio della corrispondenza, B è detto codominio della corrispondenza. Esempio: A = {1, 4, 5} B = {0, 1, 2, 2, 3} consideriamo la corrispondenza R definita nel modo seguente: dove a A e b B. Allora si ha: arb, se b 2 = a 1 R 1, 4 R 2, 4 R 2 Osservazione: In una corrispondenza da A in B ad un elemento del dominio può essere associato più di un elemento o nessun elemento del codominio. Esempio: A = {1, 4, 5} B = {0, 1, 2, 2, 3} arb, se b 2 = a 1 R 1 4 R 2, 4 R 2 b B 5 R b Osservazione: Una corrispondenza da A in B può essere vista come un sottoinsieme del prodotto cartesiano A B, ossia

14 A R B = {(a, b) a A, b B, a R b} A B Esempio: A = {1, 4, 5} B = {0, 1, 2, 2, 3} arb, se b 2 = a 1 R 1, 4 R 2, 4 R 2 A R B = {(1, 1), (4, 2), (4, 2)} A B

15 10 Relazioni Definizione: Dato un insieme A si definisce relazione binaria o semplicemente relazione su A una corrispondenza R da A in se stesso. Osservazione: Una relazione su A individua un sottoinsieme del prodotto cartesiano A A. Esempio: Sia A = {0, 1,..., 9} consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: a R a, se a = 2a dove a, a A. Allora A R A = {(a, a) a, a A, a = 2a} = = {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}.

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17 Osservazione: Una relazione su A può essere rappresentata anche mediante un grafo in cui i nodi sono gli elementi di A e gli archi le relazioni tra gli elementi di A. Esempio: A = {0, 1,..., 9} A R A = {(a, a) a, a A, a = 2a} 11 Proprietà delle Relazioni Proprietà Riflessiva: Una relazione R definita su un insieme A è riflessiva se ogni elemento di A è in relazione con sè stesso: x A, xrx. Proprietà Simmetrica: Una relazione R definita su un insieme A è simmetrica se, comunque presi x e y in A, se x è in relazione con y allora y è in relazione con x: x, y A, xry yrx.

18 Proprietà Antisimmetrica: Una relazione R definita su un insieme A è antisimmetrica se, comunque presi x e y in A con x y, se x è in relazione con y allora y non è in relazione con x: x, y A, x y, xry y Rx. o, equivalentemente, se x è in relazione con y e y è in relazione con x allora x = y x, y A, xry, yrx x = y. Proprietà Transitiva: Una relazione R definita su un insieme A è transitiva se, comunque presi tre elementi in A, x, y, z, se x è in relazione con y e y con z, allora x è in relazione con z: 12 Relazioni d ordine x, y, z A, xry, yrz xrz. Definizione: Una relazione R su un insieme A per la quale valgono le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva è detta relazione d ordine parziale. A è detto parzialmente ordinato. Definizione: Una relazione d ordine R su un insieme A è detta relazione d ordine totale se comunque presi due elementi a e b in A si ha arb o bra, ossia a e b si possono sempre confrontare. A è detto totalmente ordinato. Esempio: Sia A = {1, 2, 3, 6, 12}, consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: xry x y, x, y A. R è una relazione d ordine parziale su A, infatti R è riflessiva: R è antisimmetrica: x A, x x R è transitiva: x, y A, xry, yrx x y, y x x = y x, y, z A, xry, yrz x y, y z x z xrz

19 Graficamente: N.B. La relazione d ordine non è totale, infatti 2 3 e 3 2, dunque 2 R3 e 3 R2. Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: xry x y, x, y A. R è una relazione d ordine totale su A, infatti R è riflessiva: R è antisimmetrica: R è transitiva: e inoltre x A, x x x, y A, xry, yrx x y, y x x = y x, y, z A, xry, yrz x y, y z x z xrz x, y A, x y, oppure y x.

20 13 Relazioni d equivalenza Definizione: Una relazione R su un insieme A per la quale valgono le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva è detta relazione d equivalenza. Esempi: 1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: xry x = y, x, y A. Banalmente si verifica che R è una relazione d equivalenza su A. 2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: arb a b = 2n, n Z, a, b A. R è una relazione d equivalenza su A, infatti: R è riflessiva: a Z, a a = 0 = 2 0 ara; R è simmetrica: a, b Z, arb a b = 2 n, n Z b a = (a b) = (2 n) = 2 ( n) = 2 n, n Z bra; R è transitiva: a, b, c Z, arb e brc a b = 2 n, b c = 2 n, n, n Z a c = (a b) + (b c) = 2 n + 2 n = 2 (n + n ) = 2 m, m Z arc. 3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: arb ab 0, a, b A. R non è una relazione d equivalenza su A, infatti:

21 R è riflessiva: R è simmetrica: a Z, aa = a 2 0 ara; R non è transitiva: a, b Z, arb ab 0 ba 0 bra; 3R0, 0R( 5) ma 3 R( 5). 4. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: arb ab > 0, a, b A. R è una relazione d equivalenza su A, infatti: R è riflessiva: R è simmetrica: a Z, aa = a 2 > 0 ara; a, b Z, arb ab > 0 ba > 0 bra; R è transitiva: a, b, c Z, arb, brc ab > 0, bc > 0 (ab)(bc) > 0 ab 2 c > 0 ac > 0 arc. Definizione: Sia dato un insieme A e sia R una relazione di equivalenza definita in A. Sia a A, si chiama classe di equivalenza di a il sottoinsieme di A formato da tutti gli elementi b di A che sono in relazione con a [a] = {b A arb}. Osservazione: [a], infatti a [a]. Esempi:

22 1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: xry x = y, x, y A. Sia a A, allora [a] = {b A arb} = {b A a = b} = {a}. 2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: arb a b = 2n, n Z, a, b A. Determiniamo [3]: [3] = {x Z 3Rx} = {x Z 3 x = 2n, n Z} = {x Z x = 3 2n = 3 + 2n = 2n + 1, n Z} = {x Z x = 2n + 1, n Z} = {tutti gli interi dispari} 3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: arb ab > 0, a, b A. Determiniamo [ 5] e [ 2]: [ 5] = {x Z ( 5)Rx} = {x Z ( 5)x > 0} = {x Z x < 0} = Z Analogamente [ 2] = {x Z ( 2)Rx} = {x Z ( 2)x > 0} = {x Z x < 0} = Z = [ 5].

23 Domanda: Quando due classi di equivalenza coincidono? Criterio: Sia R una relazione di equivalenza definita su un insieme A. a, b A, [a] = [b] arb. Dimostrazione: ( ): brb b [b] = [a] b [a] arb. ( ): Dimostriamo dapprima che [a] [b]. c [a] arc. Ma per ipotesi arb. Dunque, per la proprietà simmetrica, si ha che bra. Allora bra e arc. Per la transitività di R, si ha brc. Dunque c [b]. In modo analogo si dimostra che [b] [a]. In conclusione si ha [a] = [b]. Definizione: Sia dato un insieme A e sia R = una relazione di equivalenza definita in A. Si definisce insieme quoziente di A modulo l insieme di tutte le classi di equivalenza A/ = {[a] a A}. Esempi: 1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione definita nel modo seguente: x y x = y, x, y A. Sia a A, allora [a] = {a}. Dunque A/ = {[a] a A} = {{a} a A}. 2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione definita nel modo seguente: a b a b = 2n, n Z, a, b A. Determiniamo [0]: [0] = {x Z 0 x} = {x Z 0 x = 2n, n Z} = {x Z x = 2n = 2n, n Z} = {x Z x = 2n, n Z} = {tutti gli interi pari}

24 Determiniamo [1]: [1] = {x Z 1 x} = {x Z 1 x = 2n, n Z} = {x Z x = 1 2n = 1 + 2n, n Z} = {x Z x = 2n + 1, n Z} = {tutti gli interi dispari} Dunque Z/ = {[0], [1]}. 3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione definita nel modo seguente: arb ab > 0, a, b A. Determiniamo [1]: Determiniamo [ 1]: Dunque [1] = {x Z 1 x} = {x Z 1x > 0} = {x Z x > 0} = Z + [ 1] = {x Z ( 1) x} = {x Z ( 1)x > 0} = {x Z x < 0} = Z Z/ = {Z +, Z }. Risultato: Sia dato un insieme A e sia una relazione di equivalenza definita in A. Allora l insieme quoziente A/ è una partizione di A, ossia è una famiglia di sottoinsiemi di A non vuoti, a due a due disgiunti e la cui unione è tutto A. 14 Funzioni Definizione: Dati due insiemi A e B si chiama applicazione o funzione da A in B una corrispondenza che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Si scrive: f : A B a b dove a A. Si scrive anche f(a) = b. N.B. A è detto dominio della funzione, B è detto codominio della funzione.

25 Esempio: Dati gli insiemi A = { 2, 1, 0, 1, 2} e B = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} si consideri la corrispondenza definita da f : A B f(x) = x 2, x A. f è un applicazione, infatti ad ogni elemento di A corrisponde uno ed un solo elemento di B f( 2) = 4 B, f( 1) = 1 B, f(0) = 0 B, f(1) = 1 B, f(2) = 4 B. Graficamente:

26 Criterio: Per verificare che una corrispondenza f : A B è un applicazione bisogna verificare x A, f(x) B; x A,!f(x) (è unico): x = y f(x) = f(y) Esempi: 1. Consideriamo la corrispondenza f : Z Z definita da f(x) = 2x, x Z. f è un applicazione, infatti x Z, 2x Z f(x) = 2x Z. Siano x, y Z. Se x = y 2x = 2y f(x) = f(y)

27 2. Consideriamo la corrispondenza f : Q Q definita da f( a b ) = 5a b, a b Q. f è un applicazione, infatti a b Q, 5 a b Q f(a b ) Q. Siano a b, c d Q. Se a b = c d 5 a b = 5 c d f(a b ) = f( c d ) 3. Consideriamo la corrispondenza f : R R definita da f(x) = 5, x R. 2 x f non è un applicazione, infatti f(2) R 4. Consideriamo la corrispondenza f : Q Q definita da f( a b ) = 2b, a b Q. f non è un applicazione, infatti a b Q, 2b Q f(a b ) Q. 1 2 = 3 6 ma f(1 2 ) = 4 f(3 6 ) = 12

28 Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A B un applicazione. Si dice che f è iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte nel codominio, ossia x, y A, x y f(x) f(y). Esempi: INIETTIVA NON INIETTIVA Criterio: f : A B è iniettiva se, x, y A, f(x) = f(y) x = y Esempi: 1. Consideriamo l applicazione f : Z Z definita da f(x) = 3x + 1, x Z. f è iniettiva, infatti Siano x, y Z. Se

29 f(x) = f(y) 3x + 1 = 3y + 1 3x = 3y x = y 2. Consideriamo l applicazione f : Z Z definita da f(x) = x 2, x Z. f non è iniettiva, infatti 1 1 ma f(1) = 1 = f( 1) Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A B un applicazione. Si dice che f è surgettiva o suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di qualche elemento del dominio, ossia b B, a A t.c. f(a) = b. Esempi: SURGETTIVA NON SURGETTIVA

30 Criterio: f : A B è surgettiva se, b B x A, tale che l equazione f(x) = b ha soluzione. Esempi: 1. Consideriamo l applicazione f : Z Z definita da f(x) = x + 6, x Z. f è surgettiva? b Z x Z t.c. x + 6 = b? Risolviamo x + 6 = b si ottiene x = b 6 Z dunque b Z x = b 6 Z t.c. f(b 6) = b f è surgettiva.

31 2. Consideriamo l applicazione f : Z Z definita da f(x) = 3x + 1, x Z. f è surgettiva? b Z x Z t.c. 3x + 1 = b? Risolviamo 3x + 1 = b si ottiene x = b 1 3 Z dunque f non è surgettiva, infatti per b = 5 si ha x = 4 3 Z

32 Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A B un applicazione. Si dice che f è biunivoca se è iniettiva e surgettiva. Esempi: Consideriamo l applicazione f : Z Z definita da f(x) = x + 6, x Z. f è biunivoca

33 Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A B un applicazione biunivoca. Si definisce funzione inversa di f, e si indica f 1, l applicazione f 1 : B A che associa ad ogni elemento di B, b B, quell unico elemento a A di cui è immagine tramite la f, ossia f(a) = b. b B, f 1 (b) = a, dove a A e f(a) = b Esempio: f f 1 Esempio: Consideriamo l applicazione f : Z Z definita da f(x) = x + 6, x Z. Abbiamo visto che f è biunivoca La funzione inversa è definita da f 1 : Z Z f(x) = x 6, x Z.

34 Definizione: Siano f : A B e g : B C due applicazioni. Allora l applicazione g f : A C definita da è detta applicazione composta. g f(x) = g(f(x)), x A Esempio: Consideriamo f : Z N f(x) = x 2, x Z g : N Q g(x) = 3x+5 2, x N g f : Z Q g f(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = 3x

35 Esercizi: 1. Delle seguenti relazioni su N verificare quali tra le proprietà riflessiva, simmetrica, anti-simmetrica e transitiva sono valide: a) xry x y; b) xry hanno lo stesso numero di cifre; c) xry x y = 3n per qualche naturale n; d) xry hanno un divisore comune diverso da Su Z si definisca la seguente relazione: xry λx 3y = 1 con λ Z. Dire per quale valore di λ la relazione R è simmetrica: a) λ = 0; b) λ = 1 2 ; c) λ = 3; d) λ = Delle seguenti funzioni dire quali sono iniettive e quali surgettive: a) f : R R, definita da f(x) = 4x + 1; b) g : R R, definita da g(x) = 2 x ; c) h : Z R, definita da h(x) = 1 x 2 +1 ; 4. Siano f : R R e g : R R due funzioni definite da f(x) = (x 1) 2 e g(x) = x + 1. Determinare le funzioni composte f g, g f, f f e g g.