Cenni sull'insiemistica

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1 Cenni sull'insiemistica

2 Indice Concetto di Insieme Operazioni con gli Insiemi Prodotto Cartesiano Relazione Binaria R

3 Concetto di Insieme Esiste un insieme se riusciamo ad identificare un criterio di comunanza fra gli elementi che lo compongono: gli oggetti che compongono un insieme hanno necessariamente un minimo comune denominatore, una regola, un criterio appunto che li accomuna fra loro. Ad esempio, l'insieme degli scolari del primo anno di una scuola elementare (1 A), ha come caratteristica necessaria e sufficiente la comune appartenenza dei singoli alunni ad una medesima classe nel medesimo istituto.

4 Generalmente gli insiemi sono indicati con le lettere maiuscole A, B, C mentre gli elementi che li compongono sono indicati con le lettere minuscole a, b, c Per indicare l'appartenenza o meno di un elemento a ad un insieme A si usano i simboli seguenti: a A l' elemento a appartiene all' insieme A a A l' elemento a non appartiene all' insieme A

5 A ={a, b, c, d, e, f, } definizione estensiva A ={x / x = regola} definizione intensiva Diagramma di Eulero Wenn A a b d f c e

6 Tipi di Insiemi Insieme vuoto. Si definisce un insieme vuoto (e si rappresenta con ) quell'insieme che non contiene nessun elemento al suo interno. Insiemi uguali. Due insiemi si dicono uguali quando tutti gli elementi facenti parte di uno sono presenti anche nell'altro e viceversa, tale relazione è valida se entrambi gli insiemi sono formati soltanto da elementi comuni: A = {a, b, c, d} e B ={a, b, c, d} A = B

7 Sottoinsiemi. Dato un insieme B ed un insieme A, si afferma che B è un sottoinsieme di A se ogni elemento di B appartiene anche ad A (B A sottoinsieme improprio). Se esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A si parla di sottoinsieme proprio (B A)

8 L'insieme vuoto è sempre un sottoinsieme di qualunque altro insieme; ogni insieme dato è sempre sotto insieme improprio, ma non proprio, di se stesso ( A A) se A è sottoinsieme improprio di B e B è sotto insieme di A allora ne consegue che A e B sono uguali, ossia: A B e B A A = B se A è sottoinsieme proprio di B allora non è possibile che B sia sottoinsieme proprio di A A B B A

9 Insieme Universo. Si definisce insieme universo quell'insieme che contiene tutti gli insiemi presi in considerazione; se prendiamo, per esempio, gli alunni della città di Firenze, allora l'insieme degli alunni della 1 A (di una Scuola fiorentina) appartiene all'insieme universo predeterminato. Famiglia di sottoinsiemi. Sia preso in considerazione un insieme qualsiasi (in questo caso continueremo a far riferimento all'insieme degli alunni della 1 A) in esso possono essere individuati tanti sottoinsiemi: ad esempio l'insieme dei maschi e quello delle femmine, l'insieme degli alunni con i capelli castani e quelli con i capelli biondi

10 Operazioni con gli Insiemi Unione di Insiemi () Intersezione fra Insiemi () Partizione di un Insieme Differenza fra Insiemi Insieme Complemento

11 Unione di Insiemi () Siano dati due insiemi A e B, si definisce insieme unione (o anche insieme somma) quell'insieme composto da tutti gli elementi appartenenti sia ad A sia a B, ossia: siano A = { a,b,c,d} e B = { e, f,g,h} o anche A A B B = = { a,b,c,d,e, f,g,h} { x / x A oppure x B}

12 Volendo rappresentare graficamente l'operazione dell'unione avremmo: U = a, b, c, d e, f, g, h a, b, c, d e, f, g, h

13 Insieme unito con se stesso. Un insieme unito con se stesso da come risultato lo stesso insieme, ossia, A A = A Insieme A unito all'insieme vuoto. Un insieme A unito all'insieme vuoto da come risultato l'insieme A: A = A Proprietà commutativa. L'unione fra l'insieme A e l'insieme B è uguale all'unione fra l'insieme B e l'insieme A, ovvero. A B = B A

14 Proprietà associativa. L'unione fra l'insieme A e B successivamente uniti con l'insieme C, è uguale all'unione fra l'insieme B con C e successivamente con l'insieme A, ovvero (A B) C = A (B C) Proprietà disgiuntiva. L'unione fra l'insieme A e l'insieme composto BC è uguale all'intersezione (concetto che vedremo successivamente) fra l'unione di A con B e A con C, ovvero A (B C) = (A B) (A C)

15 Intersezione fra Insiemi () Siano dati due insiemi A e B, si dice intersezione di A con B quell'insieme che è formato da tutti gli elementi che appartengono contemporaneamente sia ad A sia a B, in altre parole: sia A = { a,b,c,d,e, f } sia B = { e, f,g,h,i} o A B = anche A B = { e, f } { x / x A e x B}

16 Se l'intersezione fra l'insieme A e l'insieme B dovesse generare un insieme vuoto, allora si potrebbe pensare che A e B non hanno elementi in comune. In questo caso si parla anche di insiemi disgiunti. Graficamente l'intersezione è così rappresentata: a, b, c, d, e, f e, f e, f, g, h, i =

17 L'intersezione di insiemi disgiunti da come risultato l'insieme vuoto Proprietà commutativa. L'intersezione fra l'insieme A e l'insieme B è uguale all'intersezione fra l'insieme B con l'insieme A, ovvero A B = B A Proprietà associativa. Tutta l'intersezione fra l'insieme A e l'insieme B intersecata con l'insieme C è uguale a tutta l'intersezione fra B e C intersecata ancora con A, ovvero (A B) C = A (B C) Proprietà distributiva. L'unione degli insiemi B e C intersecata con l'insieme A, è uguale all'unione fra l'intersezione di A con B e di A con C, ovvero A (B C) = (A B) (A C)

18 Partizione di un Insieme Sia dato un insieme A, l'operazione di partizione consente di suddividere tale insieme in tanti sotto insiemi impropri di A. Sia dato quindi un insieme S definito come l'insieme di studenti di una Scuola Media Superiore, tramite l'operazione di partizione si possono individuare altri sottoinsiemi impropri all'interno di S. S={x / studenti di Scuola Media Superiore} suddivisi in calssi

19 Graficamente, quindi, questa operazione si rappresenta come: classe La partizione di un insieme deve necessariamente generare insiemi pieni e non vuoti. I sottoinsiemi ricavati devono essere disgiunti. L'unione di tutti i sottoinsiemi deve dare l'insieme generatore.

20 Differenza fra Insiemi Siano dati due insiemi A e B, è detto insieme differenza fra A e B, quell'insieme composto dagli elementi di A ma non di B, ossia: sia A= { a,b,c,d,e } siab= { d,e, f,g,h} AB= { a,b,c } oppurea B= { x/ xa exb}

21 L'insieme A sottratto per se stesso genera l'insieme vuoto: A - A = L'insieme A sottratto dell'insieme B non è uguale all'insieme B sottratto dell'insieme A. ossia: A - B B - A

22 Insieme Complemento Sia dato l'insieme B, tale che B deve essere un sottoinsieme dell'insieme A, si dice insieme complemento di B in A (e si chiama B') quell'insieme composto da tutti gli elementi di A che non compaiono in B, in altre parole: sia A = { a,b,c,d,e, f,g,h} sia B = { a,b,c,d,e} oppure B' B' = = { f,g,h} { x / x A ed x B}

23 Questa operazione quindi è possibile quando B è un sottoinsieme improprio di A (B A). Volendo rappresentare con dei diagrammi B' a, b, c, d, e, f, g, h a, b, c, d, e a, b, c, d Unendo l'insieme B con B' si ha l'insieme A: B B' = A L'intersezione fra l'insieme B e l'insieme complemento B' genera l'insieme vuoto: B B' =

24 Prodotto Cartesiano Siano dati due insiemi A e B, si definisce insieme prodotto cartesiano di A e B quell'insieme formato da tutte le coppie ordinate di elementi, col primo elemento appartenente all'insieme A ed il secondo elemento appartenente all'insieme B, ossia: sia A = { a, b} e B = { c, d} AB = {( a, c),( a, d ),( b, c),( b, d )} oppure AB = {( x, y} / x A e y B

25 Si noti che il prodotto cartesiano fra l'insieme A e l'insieme vuoto da come risultato l'insieme vuoto: A X = Se in oltre l'insieme A è diverso dall'insieme B, allora ne consegue che il prodotto cartesiano fra A e B è diverso dal prodotto cartesiano fra B ed A: A B A X B B X A

26 Tipi di Prodotto Cartesiano Prodotto cartesiano tra due insiemi A X B. Contiene tutte le coppie ordinate formate da ogni elemento di A associato ad ogni elemento di B: sia dato l'insieme A={x/4 scolari} o anche A={a, b, c, d} e sia anche dato l'insieme B={y/3 domande} o anche B={e, f, g},

27 la relazione che si vuole individuare è che gli scolari (insieme A, elementi x) debbano rispondere a delle domande (insieme B, elementi y) A X B={(a, e),(a, f),(a, g),(b, e),(b, f),(b, g),(c, e),(c, f),(c, g),(d, e),(d, f),(d, g)} è formata da coppie ordinate perché A X B B X A quindi anche (a, e) (e, a) e così rappresentabili:

28 g f e a b c d

29 Prodotto cartesiano tra tre insiemi A X B X C. Contiene tutte le n-tuple formate dagli elementi degli insiemi dati. Sia dato l'insieme A = {x/2 scolari} o anche A = {a, b}, sia anche dato l'insieme B = {y/3 materia} o anche B={m, p, f} e sia dato infine l'insieme C = {z/2 modalità d'esame} o anche C = {s, o}, potremmo avere due relazioni grafiche:

30 Coppie ordinate A X B p f m a b

31 Triple ordinate (AXB) X C S O (a,m) (a,f) (a,p) (b,m) (b,f) (b,p)

32 Prodotto cartesiano A X A = A 2 Sia l'insieme A = {a, b, c}, sia data anche la relazione binaria R = stessa età, si avrà che: A 2 = {(a, a), (a, b), (a, c),, (c, c)} A livello grafico questo tipo di prodotto si rappresenta nella seguente maniera:

33 c b a a b c

34 Relazione Binaria R E' definita relazione binaria R tra due insiemi A e B un insieme qualsiasi composto da coppie ordinate di elementi appartenenti ad entrambi gli insiemi dati (questo tipo di relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano) R A X B R = {( x, y ) / x A y B}

35 L'insieme formato da tutte le x costituisce il dominio D di R, mentre l'insieme formato da tutte le y costituisce l'insieme codominio C di R; da ciò se ne inferisce che: D A e che C B.

36 Esempio 1 Sia dato l'insieme A={a, b, c} oppure anche A={x/x sono tre studenti} Sia dato l'insieme B={e, d} oppure anche B={y/y due esami} La relazione binaria R è del tipo "x sceglie y" e potrà essere rappresentata sugli assi cartesiani...

37 e d a b c

38 Se noi andassimo a considerare soltanto alcune coppie del prodotto cartesiano si avrebbe: R={(a, d)(a,e)(b,d)(c,e)} Dal momento che sono state individuate dall'insieme R si può affermare che queste sono le coppie soddisfano R. Nel caso invece l'insieme A coincide con l'insieme B abbiamo una relazione binaria con questa rappresentazione: A: R A 2

39 Esempio 2 Sia dato l'insieme: A = {a,b,c,d} Sia data la relazione binaria R = x creativo come y, allora il grafico cartesiano sarebbe strutturato come segue:

40 d c b a a b c d La relazione binaria del grafico è così strutturata: R = {(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)}

41 Esempio 3 Sia dato un insieme A = {triangolo, pentagono, quadrato}, sia dato ancora l'insieme B = {giallo, rosso, verde}, una relazione binaria possibile potrebbe essere: R = {figure con meno di 5 lati e di colore giallo o rosso} ossia: R = {triangolo giallo, triangolo rosso, quadrato giallo, quadrato rosso} Questo criterio ci consentirà di discriminare un Dominio ed un Codominio espressi nella maniera seguente: D = {triangolo, quadrato} C = {giallo, rosso}

42 Proprietà delle Relazioni Binarie Proprietà riflessiva. Per ogni elemento x che appartiene all'insieme A, l'elemento x è in relazione con se stesso. x A, Proprietà simmetrica. Dati due elementi (x e y) appartenenti all'insieme A, possiamo sostenere che l'elemento x ha le stesse caratteristiche dell'elemento y (x veloce come y). xrx x, y A, xry yrx

43 Proprietà asimmetrica. Dati due elementi (x e y) appartenenti all'insieme A, può valere la proprietà dell'asimmetria (x luminoso come y e non il contrario). x, y A, xry yrx Proprietà antisimmetrica. Se a R b e b R a a = b, a, b A Proprietà transitiva. Siano dati tre elementi (x, y, z) appartenenti all'insieme A, se a è in relazione binaria con y e y è in relazione binaria con z allora anche x può essere in relazione binaria con z (se Marco è alto come Luca e Luca è alto come Franco, allora anche Franco è alto come Luca). x, y,z A, xry yrz xrz

44 Proprietà della connessione. Siano dati due elementi (x, y) appartenenti all'insieme A, dove però sono distinti e diversi, si deve avere una precisa relazione: o x anticipa y oppure l'inverso, ma non contemporaneamente (o Marco è più abile di Valerio oppure il contrario). x, y A, vel Proprietà della connessione forte. Dati due elementi (x, y) appartenenti all'insieme A, per ogni valore, non necessariamente distinti e separati, si possono avere relazioni di parità o disuguaglianza (o Luca è più alto o della stessa altezza di Andrea oppure il contrario). xry vel yrx x, y A, aut xry aut yrx

45 Tipi di Relazioni Binarie in A Le relazioni binarie in A sono caratterizzate da: Relazioni di equivalenza in A: x ~ y Una relazione binaria in un insieme è detta relazione di equivalenza se gode delle tre proprietà seguenti: Proprietà riflessiva. Se con qualsiasi x preso a caso ed appartenente a R, si ha anche che la coppia (x, x) appartiene a R, ossia x R (x, x) R

46 Proprietà simmetrica. Se con qualsiasi coppia (x, y) appartenenti a R, anche la coppia (y, x) dovrà appartenere a R, ossia (x, y) R (y, x) R Proprietà transitiva. Se data la coppia (x, y) appartenente a R e la coppia (y, z) appartenete a R, allora anche la coppia (x, z) dovrà appartenere a R. data (x, y) R e(y, z) R (x, z) R

47 Relazioni di ordine stretto totale in A: x < y (x precede y) Si può avere una relazione di ordine stretto totale in A, dove l'elemento x precede l'elemento y, se sono garantite le seguenti proprietà: Proprietà di connessione. Si ha nel caso in cui x è diverso da y (con x y). In questo caso la relazione è monodirezionale (o x < y oppure y > x). Ad esempio: Luca è meno attivo di Vincenzo. Proprietà asimmetrica. Si ha nel caso di una diversità di proprietà degli elementi (se x è meno attivo di y non può essere che y sia meno attiva di x). Proprietà transitiva. Se x è attivo meno di y e y è attivo meno di z, allora anche x è attivo meno di z.

48 Sistemi Relazionali Sia dato un insieme A e tutte le relazioni R definite in esso, si chiama insieme relazionale quell'insieme composto da A e dalle relazioni R.. A tal riguardo si deve precisare che l'insieme dominio D dell'insieme relazionale è lo stesso insieme A, generalmente si indica con l'equazione...:

49 A = A, R1, R 2 A: dominio o sostegno della relazione R: relazioni definite in A Due sistemi relazionali sono simili quando hanno lo stesso numero di relazioni in comune e queste relazioni sono dello stesso grado. Un sistema relazionale può essere definito: empirico (se l'insieme A-dominio è composto da elementi non numerici), numerico (se l'insieme A è composto da elementi numerici).

50 Esempio Sia dato l'insieme A = {x/5 persone} A = A, R 1, R 2 R 1 = x è più anziano di y R 2 = x coetaneo di y Sia dato ancora l'insieme N = {x / un sottoinsieme dei reali}

51 quindi è un sistema relazionale numerico N = N, S 1, S 2 S 1 = x > y S 2 = x = y Si può affermare che il sistema relazionale A e n sono simili perché hanno entrambi due relazioni e a coppie le relazioni sono dello stesso grado. Ad esempio: essere più anziano e x > y sono relazioni lineari con due elementi.