Teoria degli Insiemi

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1 Teoria degli Insiemi Angelica Malaspina Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia Università degli Studi della Basilicata, Italy

2 Generalità Il concetto di insieme è assunto come primitivo, ovvero non si definisce. Considereremo quindi la nozione di insieme dal punto di vista intuitivo. Un insieme è un agglomerato di oggetti di qualsiasi natura (numeri, piante, elementi chimici...) Tali oggetti sono detti elementi dell insieme.

3 Esempi Il mazzo di 52 carte da poker è un insieme, i suoi elementi sono le singole carte; una popolazione di insetti, una foresta di abeti, un gregge di pecore sono insiemi. I loro elementi sono, rispettivamente, gli insetti, gli abeti, le pecore; i numeri interi da 1 a 10 sono un insieme; gli elementi di questo insieme sono i singoli numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; la totalità dei numeri pari; i possibili risultati del lancio di un dado sono un insieme; i suoi elementi sono i numeri da 1 a 6.

4 Notazioni Usualmente, gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell alfabeto A, B, C,... Useremo le lettere minuscole dell alfabeto: a, b, c, x, y,... per indicare gli elementi di un insieme:

5 Rappresentazione tabulare Se l insieme è composto da pochi elementi è possibile descrivere completamente l insieme elencando tutti gli elementi che lo compongono. In tal caso si racchiudono tra parentesi graffe gli elementi. Per esempio: I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} è l insieme dei numeri da 1 a 10. Invece è l insieme dei cinque sensi. S = {vista, udito, olfatto, gusto, tatto}

6 Rappresentazione mediante grafici grafici di Eulero-Venn E possibile rappresentare graficamente un insieme racchiudendo gli elementi entro una linea chiusa continua e non intrecciata come dalla figura che rappresenta l insieme A composto dalle vocali: {a, e, i, o, u}. a e i o u A

7 Simbolo di appartenenza Per esprimere che un oggetto appartiene ad un insieme si usa il simbolo che si legge appartiene a Ad esempio, per dire che il senso dell olfatto è un elemento dell insieme S dei cinque sensi scriveremo olfatto S Invece, per dire che un elemento non fa parte di un insieme si usa il simbolo / che si legge Ad esempio non appartiene a intelligenza / S

8 Rappresentazione caratteristica Talvolta è sconveniete o impossibile elencare tutti gli elementi di un insieme. In questi casi, gli insiemi vengono definiti enunciando la proprietà che tiene assieme gli oggetti. Ad esempio l insieme di tutti i numeri positivi si rappresenta in questo modo P = {x tali che x > 0} Si usa, poi, il simbolo invece della scrittura tali che. : oppure /

9 Singleton e vuoto L insieme costituito da un solo elemento si chiama singleton. Consideriamo l insieme M = { mesi dell anno formati da 33 giorni} Tale insieme non ha alcun elemento, perchè non vi sono mesi dell anno con 33 giorni. Nasce l esigenza di definire l insieme privo di elementi, che si indica con e chiamato insieme vuoto. oppure {}

10 Implicazione Il simbolo si usa per esprimere in forma abbreviata che se succede P allora capita anche Q e scriveremo che si legge P Q P implica Q P Q P è sufficiente perchè si verifichi Q Q è necessaria perchè si verifichi P

11 Esempio Consideriamo la frase Se Mario è uno studente italiano allora Mario è uno studente europeo Questo abbreviando si può scrivere Mario è uno studente italiano Mario è uno studente europeo P Q Se P Q non è detto che Q P. Il fatto che Mario sia uno studente europeo non implica che egli sia necessariamente italiano.

12 Esempio Consideriamo la frase Se Mario è uno studente italiano allora Mario è uno studente europeo Questo abbreviando si può scrivere Mario è uno studente italiano Mario è uno studente europeo P Q Se P Q non è detto che Q P. Il fatto che Mario sia uno studente europeo non implica che egli sia necessariamente italiano.

13 Equivalenza Quando accade che si abbia P Q e allo stesso tempo anche Q P diremo che P e Q sono equivalenti e useremo il simbolo P Q P Q P è verificata se, e solo se, Q è verificata P è equivalente a Q (P Q) (non è vera Q non è vera P)

14 Equivalenza Quando accade che si abbia P Q e allo stesso tempo anche Q P diremo che P e Q sono equivalenti e useremo il simbolo P Q P Q P è verificata se, e solo se, Q è verificata P è equivalente a Q (P Q) (non è vera Q non è vera P)

15 Esempio P = Luca ha superato l esame di Istituzioni di Matematiche Q = Luca ha ottenuto un voto almeno pari a 18/30 all esame di Istituzioni di Matematiche Ovviamente P Q come pure Quindi Q P P Q

19 Uguaglianza tra insiemi Due insiemi A e B si dicono uguali se ogni elemento di A è anche un elemento di B e viceversa. In simboli si scrive A = B. In caso contrario, si scrive A B per indicare che i due insiemi non hanno gli stessi elementi.

20 Sottoinsiemi di un insieme Un insieme A si chiama sottoinsieme di un insieme S qualora tutti gli elementi di A appartengano all insieme S. Si scrive A S e si legge l insieme A e contenuto nell insieme S.

21 Se A S e se esiste un elemento di S che non sia in A si dice che A è un sottoinsieme proprio di S e si scrive A S. A = S A S e S A L insieme vuoto è un sottoinsieme di un qualunque insieme.

22 Esempi di sottoinsiemi 1 Quali sono i sottoinsiemi di S = {1, 2, 3}? {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3},. 2 Le carte del medesimo seme (picche, cuori, quadri e fiori) rappresentano un sottoinsieme dell insieme delle 52 carte da poker.

25 Cardinalità Il numero di elementi che compongono un insieme S è detto cardinalità dell insieme e si indica con Un insieme ha cardinalità finita se ha un numero finito di elementi, ha cardinalità infinita se ha infiniti elementi. S Se A S, tutti gli elementi di A appartengono anche a S, quindi A S.

26 Esempi di cardinalità 1 La cardinalità di {0, 1} è 2. In simboli scriveremo: {0, 1} = 2 2 La scrittura {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21} = 7 indica che la cardinalità dell insieme {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21} è 7. 3 L insieme dei numeri naturali {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...} ha cardinalità infinita, perchè è composto da infiniti elementi. 4 La cardinalità dell insieme vuoto è zero: = 0, perché esso non ha elementi.

32 Unione L unione è l operazione che associa a due insiemi A e B l insieme A B (che si legge A unito B) i cui elementi appartengono ad almeno uno di questi insiemi (cioé o solo ad A, o solo a B o ad entrambi). In simboli, si scrive A B = {x : x A oppure x B}.

33 Intersezione L intersezione è l operazione che associa a due insiemi A e B l insieme A B (che si legge A intersecato B) i cui elementi appartengono sia ad A che a B. In simboli, si scrive A B = {x : x A e x B}. Due insiemi A e B si dicono disgiunti quando A B =.

34 Proprietà delle operazioni insiemistiche Proprietà commutativa: A B = B A; Proprietà associativa: (A B) C = A (B C); Proprietà di idempotenza: A A = A; Proprietà dell insieme vuoto: A = A = A. Proprietà commutativa: A B = B A; Proprietà associativa: (A B) C = A (B C); Proprietà di idempotenza: A A = A; Proprietà dell insieme vuoto: A = A =.

35 Differenza La differenza tra due insiemi A e B è l insieme indicato A \ B i cui elementi sono elementi di A che non appartegono ad B. In simboli A \ B = {x A : x / B }.

36 Complementare Nel caso particolare in cui A S, la differenza S \ A si chiama complementare di A rispetto ad S e si indica con A c Accade spesso che tutti gli insiemi du cui si tratta siano sottoinsiemi di un determinato insieme U, detto insieme universo. La famiglia di tutti i sottoinsiemi (propri e non) di U si chiama insieme delle parti e si indica con P(U) = {A : A U}

37 Proprietà distributive dell unione rispetto all intersezione: A (B C) = (A B) (A C); dell intersezione rispetto all unione: A (B C) = (A B) (A C); Proprietà di assorbimento: A (A B) = A; A (A B) = A.

38 Coppia ordinata Siano A e B due insiemi non vuoti. Si chiama coppia ordinata l insieme indicato con (a, b) avente come prima componente l elemento a A e come seconda componente l elemento b B. Dalla definizione segue che (a, b) (b, a). In particolare, (a, b) = (a, b ) a = a e b = b.

39 Prodotto cartesiano fra due insiemi Definiamo prodotto cartesiano tra gli insiemi A e B l insieme di tutte le le coppie ordinate che hanno come prima componente un elemento di A e come seconda componente un elemento di B. In simboli: A B = {(a, b) : a A, b B}. Se A = B si indica solitamente A A = A 2

40 Proprietà del prodotto cartesiano Il prodotto cartesiano di due insiemi distinti non gode della proprietà commutativa, cioé A B B A; A = A = ; proprietà distributiva rispetto all unione: A (B C) = (A B) (A C); proprietà distributiva rispetto all intersezione: A (B C) = (A B) (A C).

41 Esempio: lancio di due dadi D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} è l insieme dei possibili risultati del lancio di un dado L insieme che rappresenta i possibili risultati del lancio simultaneo di due dadi è D 2 = D D = D 2 = {(a, b) / a, b D} (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

42 Il simbolo si legge = uguale diverso appartiene / non appartiene incluso incluso strettamente : or / tale che per ogni esiste non esiste! esiste uno e uno solo or implica or non implica equivalente; se, e solo, se insieme vuoto