ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI A.A.2017/2018

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1 1 / 21 ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI A.A.2017/2018

2 Il concetto di insieme 2 / 21 Si considera il concetto di insieme come primitivo, cioè non riconducibile a nozioni più elementari. Più precisamente:

3 Il concetto di insieme 2 / 21 Si considera il concetto di insieme come primitivo, cioè non riconducibile a nozioni più elementari. Più precisamente: Un insieme si può pensare come una collezione di oggetti, determinati e distinti, della nostra percezione o del nostro pensiero, concepiti come un tutto unico.

4 Il concetto di insieme 2 / 21 Si considera il concetto di insieme come primitivo, cioè non riconducibile a nozioni più elementari. Più precisamente: Un insieme si può pensare come una collezione di oggetti, determinati e distinti, della nostra percezione o del nostro pensiero, concepiti come un tutto unico. Esempio: L insieme degli studenti iscritti a questo corso.

5 Il concetto di insieme 2 / 21 Si considera il concetto di insieme come primitivo, cioè non riconducibile a nozioni più elementari. Più precisamente: Un insieme si può pensare come una collezione di oggetti, determinati e distinti, della nostra percezione o del nostro pensiero, concepiti come un tutto unico. Esempio: L insieme degli studenti iscritti a questo corso. Esempio: L insieme dei farmaci che contengono ibuprofene.

6 Elementi di un insieme 3 / 21 Generalmente, indichiamo gli insiemi con le lettere maiuscole A,B,C,D,

7 Elementi di un insieme 3 / 21 Generalmente, indichiamo gli insiemi con le lettere maiuscole A,B,C,D, mentre per i suoi elementi useremo le lettere minuscole a,b,c,d,

8 Elementi di un insieme 3 / 21 Generalmente, indichiamo gli insiemi con le lettere maiuscole A,B,C,D, mentre per i suoi elementi useremo le lettere minuscole a,b,c,d, Se a è un elemento di A scriviamo a A (a appartiene a A)

9 Elementi di un insieme 3 / 21 Generalmente, indichiamo gli insiemi con le lettere maiuscole A,B,C,D, mentre per i suoi elementi useremo le lettere minuscole a,b,c,d, Se a è un elemento di A scriviamo a A (a appartiene a A) Se invece b non appartiene a A, si scrive: b / A

10 Insiemi finiti e infiniti 4 / 21 Quando un insieme A possiede un numero finito di elementi, chiameremo questo numero cardinalità di A, e lo indicheremo con il simbolo #(A) = numero degli elementi dell insieme A

11 Insiemi finiti e infiniti 4 / 21 Quando un insieme A possiede un numero finito di elementi, chiameremo questo numero cardinalità di A, e lo indicheremo con il simbolo #(A) = numero degli elementi dell insieme A Un insieme può anche essere infinito, ossia possedere un numero infinito di elementi.

12 Insiemi finiti e infiniti 4 / 21 Quando un insieme A possiede un numero finito di elementi, chiameremo questo numero cardinalità di A, e lo indicheremo con il simbolo #(A) = numero degli elementi dell insieme A Un insieme può anche essere infinito, ossia possedere un numero infinito di elementi. Esempio: L insieme dei farmaci in una farmacia: INSIEME FINITO

13 Insiemi finiti e infiniti 4 / 21 Quando un insieme A possiede un numero finito di elementi, chiameremo questo numero cardinalità di A, e lo indicheremo con il simbolo #(A) = numero degli elementi dell insieme A Un insieme può anche essere infinito, ossia possedere un numero infinito di elementi. Esempio: L insieme dei farmaci in una farmacia: INSIEME FINITO Esempio: L insieme dei multipli di 2: INSIEME INFINITO

14 Insiemi finiti e infiniti 4 / 21 Quando un insieme A possiede un numero finito di elementi, chiameremo questo numero cardinalità di A, e lo indicheremo con il simbolo #(A) = numero degli elementi dell insieme A Un insieme può anche essere infinito, ossia possedere un numero infinito di elementi. Esempio: L insieme dei farmaci in una farmacia: INSIEME FINITO Esempio: L insieme dei multipli di 2: INSIEME INFINITO

15 Simboli e notazioni 5 / 21

16 Simboli e notazioni 5 / 21 Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli:

17 Simboli e notazioni 5 / 21 Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli: Connettivi Logici

18 Simboli e notazioni 5 / 21 Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli: Connettivi Logici :, tale che

19 Simboli e notazioni 5 / 21 Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli: Connettivi Logici :, tale che e contemporaneamente

20 Simboli e notazioni 5 / 21 Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli: Connettivi Logici :, tale che e contemporaneamente oppure

21 Simboli e notazioni 5 / 21 Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli: Connettivi Logici :, tale che e contemporaneamente oppure implica

22 Simboli e notazioni 5 / 21 Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli: Connettivi Logici :, tale che e contemporaneamente oppure implica se e solo se

23 Simboli e notazioni 5 / 21 Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli: Connettivi Logici :, tale che e contemporaneamente oppure implica se e solo se Quantificatori per ogni

24 Simboli e notazioni 5 / 21 Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli: Connettivi Logici :, tale che e contemporaneamente oppure implica se e solo se Quantificatori per ogni esiste almeno un

25 Simboli e notazioni 5 / 21 Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli: Connettivi Logici :, tale che e contemporaneamente oppure implica se e solo se Quantificatori per ogni esiste almeno un! esiste un unico

26 Simboli e notazioni 5 / 21 Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli: Connettivi Logici :, tale che e contemporaneamente oppure implica se e solo se Quantificatori per ogni esiste almeno un! esiste un unico

27 Simboli e notazioni 5 / 21 Inoltre sono di uso comune i seguenti simboli: Connettivi Logici :, tale che e contemporaneamente oppure implica se e solo se Quantificatori per ogni esiste almeno un! esiste un unico Esempio: " x A b,c : x < b x > c" si legge: "per ogni x in A esistono b e c tali che x é minore di b e contemporaneamente x é maggiore di c".

28 Come definire un insieme 6 / 21

29 Come definire un insieme 6 / 21 Un insieme si può definire in modo estensivo, cioè elencando i suoi elementi.

30 Come definire un insieme 6 / 21 Un insieme si può definire in modo estensivo, cioè elencando i suoi elementi. Esempio: l insieme M delle materie insegnate in questo corso al primo semestre M = {matematica, chimica, biologia, botanica}

31 Come definire un insieme 6 / 21 Un insieme si può definire in modo estensivo, cioè elencando i suoi elementi. Esempio: l insieme M delle materie insegnate in questo corso al primo semestre M = {matematica, chimica, biologia, botanica} In questo esempio #(M) = 4

32 Come definire un insieme 6 / 21 Un insieme si può definire in modo estensivo, cioè elencando i suoi elementi. Esempio: l insieme M delle materie insegnate in questo corso al primo semestre M = {matematica, chimica, biologia, botanica} In questo esempio #(M) = 4 Esempio: l insieme A dei numeri naturali da 0 a 5 si scrive come A = {0,1,2,3,4,5}

33 Come definire un insieme 6 / 21 Un insieme si può definire in modo estensivo, cioè elencando i suoi elementi. Esempio: l insieme M delle materie insegnate in questo corso al primo semestre M = {matematica, chimica, biologia, botanica} In questo esempio #(M) = 4 Esempio: l insieme A dei numeri naturali da 0 a 5 si scrive come A = {0,1,2,3,4,5} In questo esempio #(A) = 6

34 Come definire un insieme 7 / 21

35 Come definire un insieme 7 / 21 Un insieme può essere definito in modo intensivo, cioè a partire da una proprietà comune a tutti i suoi elementi.

36 Come definire un insieme 7 / 21 Un insieme può essere definito in modo intensivo, cioè a partire da una proprietà comune a tutti i suoi elementi. Esempio: se denotiamo con N l insieme dei numeri naturali, allora l insieme A definito sopra si può ridefinire come A = {n N : n 5}

37 Come definire un insieme 7 / 21 Un insieme può essere definito in modo intensivo, cioè a partire da una proprietà comune a tutti i suoi elementi. Esempio: se denotiamo con N l insieme dei numeri naturali, allora l insieme A definito sopra si può ridefinire come A = {n N : n 5} Esempio: possiamo considerare tutti i pazienti, chiamiamo l insieme P, con glicemia superiore a 120 P = {x : G(x) > 120}

38 L insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica con /0. 8 / 21

39 8 / 21 L insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica con /0. Esempio: l insieme A formato da tutti i numeri naturali simultaneamente maggiori e minori di 5 A = {n N : n > 5 n < 5} = /0

40 8 / 21 L insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica con /0. Esempio: l insieme A formato da tutti i numeri naturali simultaneamente maggiori e minori di 5 A = {n N : n > 5 n < 5} = /0 Esempio: l insieme A formato dai mesi dell anno di 20 giorni

41 8 / 21 L insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica con /0. Esempio: l insieme A formato da tutti i numeri naturali simultaneamente maggiori e minori di 5 A = {n N : n > 5 n < 5} = /0 Esempio: l insieme A formato dai mesi dell anno di 20 giorni Esempio: l insieme dei farmaci che sono contemporaneamente pillole e sciroppi.

42 Inclusione 9 / 21

43 Inclusione 9 / 21 Si considerino gli insiemi A = {a,b,c,d}, B = {a,b,d}

44 Inclusione 9 / 21 Si considerino gli insiemi Si ha A = {a,b,c,d}, x B x A B = {a,b,d}

45 Inclusione 9 / 21 Si considerino gli insiemi A = {a,b,c,d}, B = {a,b,d} Si ha x B x A Questo può essere riscritto nel modo seguente: B A e dice che l insieme B è contenuto nell insieme A

46 Inclusione 9 / 21 Si considerino gli insiemi Si ha A = {a,b,c,d}, x B x A B = {a,b,d} Questo può essere riscritto nel modo seguente: B A e dice che l insieme B è contenuto nell insieme A Esempio: Sia A l insieme di tutti gli italiani e B l insieme di tutti i sardi. É evidente che ogni sardo é anche italiano per cui B A.

47 Inclusione 10 / 21

48 Inclusione 10 / 21 Si considerino gli insiemi A = {a,b}, B = {b,a}

49 Inclusione 10 / 21 Si considerino gli insiemi Si ha A = {a,b}, B = {b,a} x B x A

50 Inclusione 10 / 21 Si considerino gli insiemi Si ha A = {a,b}, B = {b,a} x B x A ma anche x A x B Ossia valgono contemporaneamente le seguenti relazioni B A A B si dice che l insieme B è uguale all insieme A

51 Inclusione: conseguenze immediate 11 / 21

52 Inclusione: conseguenze immediate 11 / 21 Si ha naturalmente che 1) A A

53 Inclusione: conseguenze immediate Si ha naturalmente che 1) A A 2) /0 A 11 / 21

54 Inclusione: conseguenze immediate Si ha naturalmente che 1) A A 2) /0 A per qualsiasi insieme A. 11 / 21

55 Inclusione: conseguenze immediate Si ha naturalmente che 1) A A 2) /0 A per qualsiasi insieme A. Notate che le due scritture sotto sono diverse: 1) /0 rappresenta l insieme vuoto; 2) {0} rappresenta l insieme che contiene lo zero. 11 / 21

56 Inclusione: conseguenze immediate Si ha naturalmente che 1) A A 2) /0 A per qualsiasi insieme A. Notate che le due scritture sotto sono diverse: 1) /0 rappresenta l insieme vuoto; 2) {0} rappresenta l insieme che contiene lo zero. /0 {0} 11 / 21

57 Esempio 12 / 21 Determinare i sottoinsiemi di A = {0,1,2}

58 Esempio 12 / 21 Determinare i sottoinsiemi di A = {0,1,2} /0, A

59 Esempio 12 / 21 Determinare i sottoinsiemi di A = {0,1,2} /0, A {0}, {1}, {2}

60 Esempio 12 / 21 Determinare i sottoinsiemi di A = {0,1,2} /0, A {0}, {1}, {2} {0,1}, {0,2}, {1,2}

61 Esempio 12 / 21 Determinare i sottoinsiemi di A = {0,1,2} /0, A {0}, {1}, {2} {0,1}, {0,2}, {1,2}

62 Esercizi 13 / 21 A = {1,2,3,4} é incluso in B = {1,2,3,4,5,6}?

63 Esercizi 13 / 21 A = {1,2,3,4} é incluso in B = {1,2,3,4,5,6}? A = {1,2,3,4} é incluso in B = {1,2,4,5,6}?

64 Esercizi 13 / 21 A = {1,2,3,4} é incluso in B = {1,2,3,4,5,6}? A = {1,2,3,4} é incluso in B = {1,2,4,5,6}? Trovare tutti i sottoinsiemi di due elementi dell insieme A.

65 Esercizi A = {1,2,3,4} é incluso in B = {1,2,3,4,5,6}? A = {1,2,3,4} é incluso in B = {1,2,4,5,6}? Trovare tutti i sottoinsiemi di due elementi dell insieme A. Quali tra i seguenti insiemi sono uguali? 1 A = {r,o,m,a} 2 A = {ROMA} 3 A = {citta} 4 A = {a,o,m,r} 13 / 21

66 Operazioni tra insieme 14 / 21

67 14 / 21 Consideriamo gli insiemi Operazioni tra insieme A = {1,2,3,5,7} B = {0,2,3,6,8}

68 14 / 21 Operazioni tra insieme Consideriamo gli insiemi A = {1,2,3,5,7} B = {0,2,3,6,8} Unione: A B = {x : x A x B}

69 14 / 21 Operazioni tra insieme Consideriamo gli insiemi A = {1,2,3,5,7} B = {0,2,3,6,8} Unione: A B = {x : x A x B} Esempio: A B = {0,1,2,3,5,6,7,8}

70 14 / 21 Operazioni tra insieme Consideriamo gli insiemi A = {1,2,3,5,7} B = {0,2,3,6,8} Unione: A B = {x : x A x B} Esempio: A B = {0,1,2,3,5,6,7,8} Intersezione: A B = {x : x A x B}

71 14 / 21 Operazioni tra insieme Consideriamo gli insiemi A = {1,2,3,5,7} B = {0,2,3,6,8} Unione: A B = {x : x A x B} Esempio: A B = {0,1,2,3,5,6,7,8} Intersezione: A B = {x : x A x B} Esempio: A B = {2,3}

72 14 / 21 Operazioni tra insieme Consideriamo gli insiemi A = {1,2,3,5,7} B = {0,2,3,6,8} Unione: A B = {x : x A x B} Esempio: A B = {0,1,2,3,5,6,7,8} Intersezione: A B = {x : x A x B} Esempio: A B = {2,3} Differenza: A \ B = {x A : x / B}

73 14 / 21 Operazioni tra insieme Consideriamo gli insiemi A = {1,2,3,5,7} B = {0,2,3,6,8} Unione: A B = {x : x A x B} Esempio: A B = {0,1,2,3,5,6,7,8} Intersezione: A B = {x : x A x B} Esempio: A B = {2,3} Differenza: A \ B = {x A : x / B} Esempio: A \ B = {1,5,7}

74 Complementare 15 / 21

75 Complementare 15 / 21 Sia A B

76 Complementare 15 / 21 Sia A B il complementare di A rispetto a B è: C B (A) = {x B : x / A}

77 Complementare 15 / 21 Sia A B il complementare di A rispetto a B è: C B (A) = {x B : x / A} = B \ A

78 Complementare 15 / 21 Sia A B il complementare di A rispetto a B è: C B (A) = {x B : x / A} = B \ A Esempio: A = {1,2,3,5,7} B = {1,2,3,5,7,9,11}

79 Complementare 15 / 21 Sia A B il complementare di A rispetto a B è: C B (A) = {x B : x / A} = B \ A Esempio: A = {1,2,3,5,7} B = {1,2,3,5,7,9,11} C B (A) = {9,11}

80 Diagrammi di Venn 16 / 21

81 Diagrammi di Venn 16 / 21 A B A B Intersezione A B A B Unione

82 Diagrammi di Venn 17 / 21 A \ B A B Differenza

83 Diagrammi di Venn 17 / 21 A \ B A B Differenza C B (A) A B Complementare

84 Esercizi 18 / 21 Per determinare se dosi massicce di vitamina C riducono l incidenza delle malattie da raffreddamento, a mille individui viene somministrata una dose supplementare di vitamina per 1 anno. Nel corso del periodo di osservazione 300 prendono almeno un raffreddore (R), 100 l influenza (I) e 80 prendono tutti e due. Quante persone hanno preso solo raffreddore, quante solo influenza e quante nessuna delle due?

85 Esercizi 18 / 21 Per determinare se dosi massicce di vitamina C riducono l incidenza delle malattie da raffreddamento, a mille individui viene somministrata una dose supplementare di vitamina per 1 anno. Nel corso del periodo di osservazione 300 prendono almeno un raffreddore (R), 100 l influenza (I) e 80 prendono tutti e due. Quante persone hanno preso solo raffreddore, quante solo influenza e quante nessuna delle due? Soluzione: 220 persone hanno avuto solo raffreddore, 20 solo influenza e 680 nessuno delle due.

86 Esercizi Esercizio 1 In un analisi delle preferenze di 1500 consumatori di due prodotti farmaceutici molto usati è stato trovato lo scorso mese che 600 avevano acquistato il prodotto A, 400 il prodotto B,e 150 tutti e due. (a) Costruire il diagramma che riassume i risultati: (b) Quanti hanno acquistato solo il prodotto A? (c) Quanti hanno acquistato soltanto B. 19 / 21

87 Esercizi Esercizio 2 Ricerca sul cancro. Un gruppo di ricercatori di un Centro Oncologico ha raccolto i dati relativi alla morte di persone affette da tumore. Dai dati relativi alla storia sanitaria e allo stile di vita di questi individui e dei loro parenti tre variabili significative sembrano poter essere associate alle vittime del cancro: fumo abituale, moderato o forte consumo di alcoolici ed età superiore ai 35 anni. É stato osservato che: 1) erano fumatori abituali (F); 2) erano bevitori di alcoolici (B); 3) avevano età superiore a 35 anni (A): 4) erano fumatori e bevitori; 5) erano fumatori con età >35 anni; 6) erano bevitori con età >35 anni; 7) avevano tutte e tre le caratteristiche. Se U è l universo di tutti i pazienti, F l insieme dei fumatori, B quello dei bevitori e A quello degli over 35, costruire il diagramma di Venn che mostri tutte le combinazioni possibili di queste caratteristiche. 20 / 21

88 Esercizi 21 / 21 Dati gli insiemi A = {1,3,5,7}, B = {4,7,8,9} e C = {1}, determinare gli insiemi A B, B C, A B, A B C, A C, A \ B, A \ C, A \ A.

89 Esercizi 21 / 21 Dati gli insiemi A = {1,3,5,7}, B = {4,7,8,9} e C = {1}, determinare gli insiemi A B, B C, A B, A B C, A C, A \ B, A \ C, A \ A.