M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI

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1 M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA INSIEMI Assumiamo come primitivo il concetto di insieme e quello di appartenenza di un elemento a un insieme. La notazione x A indica che l elemento x appartiene all insieme A. Per indicare che x non appartiene all insieme A si scrive x A. Un insieme può essere finito (cioè avere un numero finito di elementi) oppure infinito. Simboli particolari: denota l insieme vuoto cioè l insieme privo di elementi. N denota l insieme dei numeri naturali 0, 1, 2,..., quelli che usiamo abitualmente per contare. Z (dal tedesco zahl = numero) denota l insieme dei numeri interi..., 2, 1, 0, 1, 2,... Q (da quoziente) denota l insieme dei numeri razionali p q con p, q Z, q 0. R denota l insieme dei numeri reali. Altre notazioni: x significa: esiste x x significa: per ogni x P Q significa: la proprietà P implica la proprietà Q. Equivalentemente si può scrivere non Q non P (questo si usa per dimostrare per assurdo che P implica Q). P Q significa: P se e solo se Q cioè la proprietà P equivale alla proprietà Q. Per descrivere un insieme basta elencare tutti i suoi elementi tra parentesi graffe, per esempio X = {1, 2, 3}, o i primi elementi seguiti da puntini se l insieme è infinito e non c è ambiguità, per esempio per indicare i numeri naturali pari si può scrivere {0, 2, 4, 6,... }. Oppure si può utilizzare una proprietà che caratterizza tutti e soli i suoi elementi, per esempio {x N x è divisibile solamente per 1 e per x} (dove significa: tale che) descrive l insieme dei numeri positivi primi. Dati due insiemi A e B si dice che A è un sottoinsieme di B se ogni elemento di A appartiene a B (cioè se a A = a B) e si indica A B. Si ha A, per qualunque insieme A. Due insiemi A e B sono uguali se e solo se ogni elemento di A appartiene a B e viceversa (cioè se contemporaneamente A B e B A). 1

2 2 ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA Dati A, B X, si definiscono: intersezione di A e B l insieme A B = {x X x A e x B} Esempio: Se A = {x N x pari} e B = {x N x > 0 primo}, allora A B = {2}; se poi C = {x N x dispari}, allora A C = e B C = {x N x primo, x > 2} = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, }. unione di A e B l insieme A B = {x X x A o x B} Esempio: Se A, B, C sono come sopra si ha A B = {x N x pari o primo}, A C = N e B C = {2} C, perché l unico numero primo positivo non dispari è 2. complementare di A in X l insieme C X (A) = {x X x / A} (l indice X si omette se non c è ambiguità). Esempio: C N (N) =, C N ( ) = N e piú in generale C X (X) =, C X ( ) = X per ogni insieme X. Inoltre, se A e C sono come sopra, si ha C N (A) = C, C N (C) = A differenza l insieme B\A = {b B b / A} Esempio: Se B e C sono come sopra si ha B\C = {2}. prodotto cartesiano di A e B l insieme delle coppie ordinate che hanno il primo elemento in A e il secondo in B, cioè A B = {(a, b) a A, b B}. Per ordinate si intende che se invertiamo l ordine degli elementi di una coppia otteniamo un coppia differente, per esempio (1, 2) (2, 1). Piú in generale se A 1, A 2,..., A n sono insiemi, indichiamo con A 1 A 2... A n l insieme delle n-uple ordinate (x 1, x 2,..., x n ) la cui i-esima componente x i è un elemento di A i. Si denota con A n il prodotto cartesiano di n copie di A, cioè A n = A A A. Esempio: D E = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}, se D = {1, 2, 3} e E = {1, 2}, mentre E D = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}. Entrambi hanno 3 2 = 6 = 2 3 elementi. Si può osservare che (D E) (E D) = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} = E E, mentre (D E) (E D) = (D D)\{3, 3} = (D D)\(C D (E) C D (E)). Questo accade ogni volta che uno dei due insiemi è contenuto nell altro. Valgono le seguenti proprietà la cui prova è lasciata per esercizio: 1) A = A A = A 2) A = A A A = A 3) A B = B A B 4) A B = A A B 5) A (B C) = (A B) C e A (B C) = (A B) C (proprietà associativa) 6) A B = B A e A B = B A (proprietà commutativa) 7) (A B) C = (A C) (B C) e (A B) C = (A C) (B C) (proprietà distributiva) 8) C X (C X (A)) = A C X ( ) = X C X (X) = 9) C X (A) C X (B) A B 10) B\A = C B (A B) 11) C X (A B) = C X (A) C X (B) 12) C X (A B) = C X (A) C X (B) Esercizi: 1) Determinare tutti i sottoinsiemi di ciascuno dei seguenti insiemi: {a}, {a, b}, {{1, 2}, x}, {2, 3, 5}, {{1, 2}, {3, 4}},, { }. 2) Siano A = {x R x 2 3x = 2} e B = {2, 1}. Provare che A = B.

3 ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA 3 3) Se A e B hanno rispettivamente 17 e 22 elementi e A B ne ha 30, quanti ne ha A B? 4) Siano A, B e C insiemi. Provare che A B = A se e solo se A B = B. 5) Siano X = {n N n < 10}, Y = {n N n > 5}, Z = {n N n è multiplo di 3}. Determinare: X Y, X Z, Y Z, X Y Z, C N (X Y ), C N (X Z), X Y, X Z, Y Z, X Y Z, C N (X Y ), C N (X Z), X Y Z, X Y Z. 6) Siano A l insieme dei numeri naturali pari, B = {n N n è multiplo di 3} (a) è vero che A B = N? (b) determinare A B. 7) Siano A = {n N n è multiplo di 3}, B = {n N n è multiplo di 4}, C = {n N n è multiplo di 6}, D = {n N n è multiplo di 12}. Provare che A B = B C = D. 8) Siano A = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 0}, B = {(x, y) R 2 x = 0}, C = {(x, y) R 2 y = 0}, D = {(x, y) R 2 xy = 0}. Provare che A B D, A = B C e D = B C. 9) Siano A, B, C X. Provare che (A B) C X (B) = A A B = A B = C, B C = A, C A = B A = B = C 10) Provare con un esempio che A B = A C = / B = C 11) Provare con un esempio che A B = A C = / B = C 12) Sia A = {1, 2, 3}, determinare A 2 = A A. 13) Siano A = {1, 2, 3} e B = {0, 2}; determinare (A B) (B A) e (A B) (B A). 14) Date le coppie (1, 1), ( 1, 1), (1, 1), ( 3, 0), (0, 2) dire quali appartengono a N Z. Le definizioni di unione e intersezione di due insiemi si estendono facilmente al caso di un insieme (o famiglia) F di insiemi ponendo A = {x x A per qualche A F} A = {x x A per ogni A F} A F Esempio: per ogni j N sia A j = {n Z n 2 j e n 2 j} e sia F = {A j j N}. Allora A 0 = Z {0}, A 1 = Z {2, 2}, A 2 = Z {4, 4},... e quindi si ha A F A = i N A j = Z e A F A = j N A j = {x Z x è dispari} Esercizi: 1) Per ogni n N sia A n = {x N x 2n} (a) Determinare A 1 A 2, A 1 A 2 ; (b) Per ogni n N determinare C N (A n ); (c) Dire per quali valori di m e n valgono le relazioni A n A m, A n A m, A n = A m 2) Per ogni n N sia A n = {x N x > n}. (a) Determinare A 100 A 3 e A 100 A 3 ; (b) per ogni n N determinare C N (A n ); (c) dire per quali valori di m e n valgono le relazioni A n A m, A n A m, A n = A m ; A F 3) Determinare l unione e l intersezione delle seguenti famiglie di insiemi: A j = {x Z x j} (j N); B j = {x R j x j + 1} (j Z); C j = {x R x < j} (j Q, j > 0).

4 4 ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA RELAZIONI E FUNZIONI Una relazione o corrispondenza R tra due insiemi non vuoti A e B è un modo di associare elementi di A con elementi di B. Essa è data da un sottoinsieme R del prodotto cartesiano A B: diremo che a A e b B sono in relazione (o corrispondenti) se (a, b) R e scriveremo arb. Data una relazione R A B, si dice relazione inversa di R la relazione R o = {(b, a) B A (a, b) R} B A. Dati due insiemi A e B, si dice applicazione (o funzione) di A in B, e si denota f : A B, una relazione che ad ogni elemento a A associa uno e un solo elemento b B. Tale b si dice immagine di a mediante f e si scrive b = f(a). Gli insiemi A e B si dicono rispettivamente dominio e codominio dell applicazione f. Un applicazione è determinata quando sono dati il dominio, il codominio e l immagine di ogni elemento del dominio. Esempi: f : N N data da f(x) = 2x + 1 per ogni x N; { 0 x pari g : Z N data da g(x) = 1 x dispari Data un applicazione f : A B e dati S A, T B, b B si definiscono: immagine di S l insieme f(s) = {b B a S b = f(a)} (in particolare f(a) si dice immagine di f e si denota anche Imf); controimmagine di b l insieme f 1 (b) = {a A f(a) = b}; controimmagine di T l insieme f 1 (T ) = {a A f(a) T } = b T f 1 (b); Un applicazione f : A B si dice iniettiva se a 1, a 2 A a 1 a 2 = f(a 1 ) f(a 2 ) o equivalentemente se f(a 1 ) = f(a 2 ) = a 1 = a 2 o anche se e solo se f 1 (b) è costituita da un solo elemento b Imf. Un applicazione f : A B si dice surgettiva se Imf = B o equivalentemente se b B a A tale che f(a) = b o ancora se e solo se f 1 (b) b B. Un applicazione f : A B si dice bigettiva se è iniettiva e surgettiva e in tal caso si chiama anche corrispondenza biunivoca. Esempi: id A : A A definita da f(a) = a a A si dice applicazione identica ed è bigettiva. Si dice che f : A B è un applicazione costante se, fissato b 0 B, si ha f(a) = b 0 a A. Un applicazione costante è iniettiva se e solo se A = {a}; è surgettiva se e solo se B = {b 0 }.

5 Esercizi: Provare che: ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA 5 1) Se A = {a 1,..., a n } e B = {b 1,..., b s } sono insiemi finiti, allora f : A B iniettiva n s f : A B surgettiva n s f : A B bigettiva n = s 2) Sia f : A B un applicazione e siano A 1, A 2 A, B 1, B 2 B. Allora: (i) A 1 A 2 = f(a 1 ) f(a 2 ) (ii) B 1 B 2 = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) (iii) f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ) ; dare anche un esempio in cui l uguaglianza non vale (iv) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) (v) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) (vi) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) 3) Sia f : A B un applicazione e siano C A, D B. Allora: (i) (ii) (iii) f 1 (f(c)) C; dare anche un esempio in cui l uguaglianza non vale f(f 1 (D) D; dare anche un esempio in cui l uguaglianza non vale f(f 1 (D) = D Imf 4) Sia f : A B un applicazione. Sono fatti equivalenti: (i) f è iniettiva (ii) f 1 (f(c)) = C C A (iii) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) A 1, A 2 A (iv) A 1, A 2 A tali che A 1 A 2 = si ha f(a 1 ) f(a 2 ) = 5) Sia f : A B un applicazione. Sono fatti equivalenti: (i) f è surgettiva (ii) f(f 1 (D) = D D B Applicazioni composte Date due applicazioni f : A B e g : B C si dice applicazione composta di f e g l applicazione definita nel modo seguente: g f : A C a g(f(a)) Esercizio 1. Date due applicazioni f : A B e g : B C provare che per ogni D C si ha: (g f) 1 (D) = f 1 (g 1 (D)) Esercizio 2. Date due applicazioni f : A B e g : B C provare che valgono le seguenti proprietà: (1) f, g iniettive = g f iniettiva (2) f, g surgettive = g f surgettiva (3) g f iniettiva = f iniettiva (4) g f surgettiva = g surgettiva

6 6 ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA Provare inoltre, fornendo esempi opportuni, che non vale il viceversa per nessuna delle proprietà (1), (2), (3), (4). Osserviamo che dalle proprietà (3) e (4) dell esercizio 2 discende immediatamente che: Date due applicazioni f : A B e g : B A si ha (i) g f = id A = f iniettiva e g surgettiva (ii) f g = id B = f surgettiva e g iniettiva. Se f : A B è un applicazione bigettiva, la relazione inversa è ancora un applicazione g : B A definita nel modo seguente: b B si pone g(b) = a b dove {a b } = f 1 (b). Tale applicazione g si dice inversa di f e si denota con f 1. Provare che f 1 : B A è l unica applicazione tale che f 1 f = id A e che si ha anche f f 1 = id B. Da questo segue che f 1 è bigettiva e la sua inversa è f. Viceversa se f : A B è un applicazione e f 1 tale che f 1 f = id A e f f 1 = id B allora f è bigettiva. Esercizio 3. Date due applicazioni f : A B e g : B C bigettive, provare che (g f) 1 = f 1 g 1. Osserviamo inoltre che se f : A B è un applicazione iniettiva, si può sempre definire un applicazione g : B A tale che g f = id A. Infatti se b Imf, allora f 1 (b) = {a b } è costituita da un solo elemento e si pone g(b) = a b ; se b / Imf si pone g(b) = a dove a è un elemento di A scelto arbitrariamente. Se f non è surgettiva, un applicazione g tale che g f = id A non è univocamente determinata e ogni siffatta applicazione risulta non iniettiva. Se f : A B è un applicazione surgettiva si può sempre definire un applicazione g : B A tale che f g = id B. Infatti se b B, allora f 1 (b) e si pone g(b) = a dove a è un elemento di f 1 (b) scelto arbitrariamente. Chiaramente se f non è iniettiva, un applicazione g tale che f g = id B non è univocamente determinata e ogni siffatta applicazione risulta non surgettiva. Esercizi: 1) Stabilire quali delle seguenti relazioni sono funzioni. In caso affermativo dire se sono iniettive e/o surgettive e per quelle bigettive determinare l inversa. a) f 1 : R R, f 1 (x) = 3x+2 5 ; b) f 2 : Q Z, f 2 ( p q ) = pq { ; 2n 1 se n > 0 c) f 3 : Z N, f 3 (n) = 2n se n 0 d) f 4 : R 2 R, f 4 (x, y) = x ; e) f 5 : N N 2, f 5 (a) = (a, a + 1) ; f) f 6 : R R, f 6 (x) = x 2 ; g) f 7 : R 2 R 2, f 7 (x, y) = (2x + y, x 2y). 2) Esiste un applicazione f : R R tale che f({1, 2}) = {1, 1 3, π}? 3) Sia f : R 2 R data da f(x, y) = xy. Determinare f 1 (0) e f 1 (1). 4) Siano f : R R 2 data da f(x) = (x, 3) e g : R 2 R data da g(x, y) = x + y. Determinare le applicazioni composte g f e f g. Determinare (g f) 1 (0) e (f g) 1 (3, 3).

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