Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile

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1 Corso di Analisi Matematica Funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 24

2 1 Generalità 2 Funzioni reali di variabile reale 3 Funzioni limitate 4 Funzioni simmetriche 5 Funzioni monotone 6 Funzioni periodiche 7 Funzioni composte 8 Funzioni invertibili, funzioni inverse ICD (Bari) Analisi Matematica 2 / 24

3 Il concetto di funzione Il concetto di funzione nasce per descrivere matematicamente grandezze variabili: la posizione o la velocità di un oggetto al variare del tempo; la temperatura in ogni punto di una stanza; la densità in ogni punto di un oggetto; il prezzo di una merce nel tempo. Deve dunque esistere una relazione tra due grandezze o meglio la dipendenza di una grandezza da un altra. ICD (Bari) Analisi Matematica 3 / 24

4 Il concetto di funzione Esempio: lo spazio percorso da un oggetto pesante lasciato cadere da una certa altezza varia nel tempo secondo la legge: s(t) = 1 2 gt2 (g accelerazione di gravità). Si noti che ad un numero reale (ingresso o variabile indipendente) viene associato univocamente un altro numero reale (uscita o variabile dipendente). In generale gli ingressi ammissibili sono soggetti a restrizioni. Nell esempio precedente si deve imporre t 0. ICD (Bari) Analisi Matematica 4 / 24

5 Il concetto di funzione Esempio di corrispondenza non univoca: siano A l insieme degli studenti di un corso B l insieme dei nomi degli studenti del corso. La corrispondenza da A in B che ad ogni studente associa il suo nome è univoca. La corrispondenza da B in A che ad ogni nome associa uno studente con quel nome non è univoca (evidentemente ci possono essere più studenti con lo stesso nome). ICD (Bari) Analisi Matematica 5 / 24

6 Il concetto di funzione Definizione Siano A e B insiemi non vuoti. Una funzione f di dominio A a valori in B (o di codominio B) è una corrispondenza univoca da A in B, ovvero una legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Si scrive: f : A B x f(x) f : x A f(x) B Il simbolo f(x) indica il valore della funzione in x. ICD (Bari) Analisi Matematica 6 / 24

7 Il concetto di funzione L immagine di f è l insieme delle possibili uscite : Im f = f(a) = {y B x A y = f(x)} B. Il grafico di f è l insieme Graf f = {(x, f(x)) A B x A} A B. In generale il codominio di f può essere più grande dell immagine di f: può accadere che Im f B. ICD (Bari) Analisi Matematica 7 / 24

8 Funzioni reali di variabile reale Ci occuperemo d ora in poi delle funzioni reali di variabile reale. Sia f : A B. Se B R f si dice reale, se A R f si dice di variabile reale. Ogni funzione f : N R si chiama successione. Il grafico di una funzione reale di variabile reale è un sottoinsieme di R 2. ICD (Bari) Analisi Matematica 8 / 24

9 Rappresentazione geometrica di R 2 Si è visto che R è rappresentato da una retta. Analogamente l insieme R 2 = R R = {(x, y) x R, y R} ha come rappresentazione grafica un piano reale. Ad ogni punto S del piano corrisponde una coppia di numeri reali (x, y) e viceversa: y S x Il grafico di una funzione f : D R R è un sottoinsieme del piano reale. ICD (Bari) Analisi Matematica 9 / 24

10 Sia f : D R R. L univocità dell uscita f(x) R ammette un interpretazione geometrica. Proprietà del grafico: (x, y 1 ) Graf f, (x, y 2 ) Graf f y 1 = y 2. Ogni retta parallela all asse delle ordinate che taglia l asse delle ascisse in un punto x D interseca Graf f in uno ed un solo punto. ICD (Bari) Analisi Matematica 10 / 24

11 Funzioni limitate Definizione Sia f : D R R. La f si dice limitata superiormente se esiste M R tale che f(x) M x D. La f si dice limitata inferiormente se esiste m R tale che f(x) m x D. La f si dice limitata in D se è limitata sia superiormente e che inferiormente. ICD (Bari) Analisi Matematica 11 / 24

12 La f è limitata superiormente (risp. inferiormente) se Im f = f(d) è un insieme limitato superiormente (risp. inferiormente) di R. Geometricamente: f è limitata superiormente (risp. inferiormente) se Graf f è contenuto in un semipiano inferiore (risp. superiore) delimitato da una retta parallela all asse delle ascisse. Geometricamente: f è limitata se Graf f è contenuto in una striscia orizzontale del piano cartesiano. ICD (Bari) Analisi Matematica 12 / 24

13 Funzioni simmetriche Definizione Una funzione reale di variabile reale f definita in un dominio simmetrico (tipicamente un intervallo del tipo ( a, a)) si dice pari se x Dom f f( x) = f(x); dispari se x Dom f f( x) = f(x). Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all asse y. Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all origine. ICD (Bari) Analisi Matematica 13 / 24

14 Funzioni monotone Definizione Sia f : D R R una funzione. Si dice che f è monotona crescente se x 1, x 2 D x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ); f è strettamente crescente se x 1, x 2 D x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ). ICD (Bari) Analisi Matematica 14 / 24

15 Funzioni monotone Definizione Sia f : D R R una funzione. Si dice che f è monotona decrescente se x 1, x 2 D x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ); f è strettamente decrescente se x 1, x 2 D x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). ICD (Bari) Analisi Matematica 15 / 24

16 Somma di funzioni e monotonia È facile dimostrare che La somma di due funzioni crescenti è crescente. La somma di due funzioni decrescenti è decrescente. La somma di una funzione crescente e una funzione strettamente crescente è strettamente crescente. La somma di una funzione decrescente e una funzione strettamente decrescente è strettamente decrescente. ICD (Bari) Analisi Matematica 16 / 24

17 Funzioni periodiche Definizione Sia T > 0. Una funzione f : D R R si dice T periodica o periodica di periodo T se x D f(x + T ) = f(x). ICD (Bari) Analisi Matematica 17 / 24

18 Funzioni composte Definizione Siano E, F insiemi e siano f : E R e g : F R due funzioni tali che Im(f) = f(e) F (cioè per ogni x E f(x) F ). Si definisce la funzione composta di f e g come la funzione h (denotata con h = g f : E R) definita da h(x) = (g f)(x) = g(f(x)) x E. La composizione non è commutativa: f g g f. La composizione è associativa: f (g h) = (f g) h. ICD (Bari) Analisi Matematica 18 / 24

19 Composizione e monotonia Teorema Siano f, g : D R R. Allora f crescente e g crescente g f crescente; f crescente e g decrescente g f decrescente; f decrescente e g crescente g f decrescente; f decrescente e g decrescente in g f crescente. ICD (Bari) Analisi Matematica 19 / 24

20 Funzioni invertibili Data f : D R R, è possibile costruire una nuova funzione che porti ogni elemento di Im f, f(x) nel corrispondente x D? Ovviamente, occorre che dato y Im f, l equazione f(x) = y ammetta al più una soluzione. Definizione Una funzione f : D R R si dice invertibile se per ogni y Im f = f(d) esiste un solo x D tale che f(x) = y. Se f è invertibile, f realizza una corrispondenza biunivoca tra D e f(d). ICD (Bari) Analisi Matematica 20 / 24

21 Funzioni invertibili Più formalmente: Definizione Una funzione f : D R R è invertibile se vale una delle seguenti condizioni equivalenti: 1 x 1, x 2 D, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ); 2 x 1, x 2 D, f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 ; 3 y f(d) esiste un solo x D tale che f(x) = y. Una funzione che soddisfa una delle condizioni 1, 2, 3 si dice iniettiva o ingettiva. La condizione di invertibilità equivale a chiedere che ogni retta parallela all asse delle ascisse intersechi il grafico di f al più in un punto. ICD (Bari) Analisi Matematica 21 / 24

22 Funzioni inverse Definizione Data una funzione f : D R R invertibile, si chiama funzione inversa di f la funzione da Im f = f(d) in D che associa ad ogni y Im f = f(d) l unica soluzione x D di f(x) = y. La funzione inversa si denota con il simbolo f 1. f 1 : f(d) = Im f D = Dom f y = f(x) x Classi di funzioni non invertibili: le funzioni periodiche, le funzioni pari. ICD (Bari) Analisi Matematica 22 / 24

23 Una classe di funzioni invertibili Teorema Una funzione f : D R R strettamente monotona in D è invertibile in D. Inoltre l inversa f 1 è strettamente monotona, dello stesso tipo di f. Proprietà: y Dom f 1 f(f 1 (y)) = y, x Dom f f 1 (f(x)) = x; Quindi, se f è invertibile in D e f 1 è la sua inversa, allora f 1 f = I D f f 1 = I f(d) ove I A denota la funzione identità sull insieme A. ICD (Bari) Analisi Matematica 23 / 24

24 Grafico di f 1 Se y = f(x) allora x = f 1 (y), cioè (x, y) Graf f (y, x) Graf f 1. Il grafico di f 1 è il simmetrico del grafico di f rispetto alla retta y = x. f y x f 1 x y ICD (Bari) Analisi Matematica 24 / 24