Funzioni reali di variabile reale

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1 Introduzione Funzioni reali di variabile reale Algebra delle funzioni reali Funzioni composta e inversa Funzioni monotone i definisce funzione reale di variabile reale e s indica con f: A R una funzione f = (F,A,B) avente dominio A R, codominio B R e grafico F A B R R. La funzione f è dunque un elemento dell insieme composto da tutte le funzioni definite in sottoinsiemi di numeri reali ed a valori reali. Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 1 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 2 i scrive in genere y = f(x) con y = variabile dipendente x = variabile indipendente f(a) = Im f R si chiama immagine di f. e X A, si dice immagine di X tramite f l insieme se T Im f, si chiama controimmagine di T tramite f l insieme: Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 3 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 4

2 Tre passi per conoscere una funzione: 2) Identificazione dell immagine 1) Identificazione del dominio di una funzione È d uso chiamare, in questo contesto, dominio d una funzione il massimo sottoinsieme di R su cui hanno senso le espressioni analitiche che risultano nella definizione di funzione, ma può essere anche più piccolo di questo sottoinsieme. Questo risulta importante nello studio delle proprietà globali d una funzione: limitatezza, monotonia, esistenza e valore del massimo e del minimo. In questo contesto, si chiama codominio d una funzione f un qualunque insieme che contenga l immagine della f. D altro canto, ogni insieme che contiene l immagine può essere codominio di f. Ad esempio, la funzione y = a x si può considerare a valori in R, ma anche in R +. i sceglie R + quando si vuole evidenziare che y = a x è sempre positiva; si sceglie R quando questo è secondario. La definizione del codominio è importante per definire i caratteri globali della funzione. Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 5 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 6 3) Identificazione del grafico e dei suoi caratteri principali È possibile rappresentare graficamente una funzione su un piano cartesiano......ma non sempre. o: ia y = f(x) la funzione di Dirichlet Essa non è rappresentabile graficamente, perché comprende: tutti i punti dell asse x (y = 0) con ascissa irrazionale e tutti i punti della retta y = 1 con ascissa razionale. Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 7 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 8

3 Algebra di funzioni reali Algebra di funzioni reali Algebra di funzioni reali Le funzioni reali di variabile reale aventi uguale dominio sono un algebra su R: 1) f + g si definisce come: ( x)( (f+g) (x) = f(x) + g(x)) e dà la struttura di gruppo commutativo 2) af si definisce come ( x) ((af) (x) = a f(x)) e dà la struttura di spazio vettoriale su R di dimensione infinita (numerabile) 3) f g si definisce come ( x)( (fg) (x) = f(x) g(x)) e dà la struttura d anello commutativo. Non è un campo, perché non sempre esiste la funzione 1 / f(x) tale che ( Perché esista, occorre e basta che f(x) 0 per ogni x, cosa non sempre vera. Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 9 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 10 Algebra di funzioni reali Funzioni composta e inversa Funzioni composta e inversa o: e f(x) = 3x per x (1, 6), allora esiste 1/f(x) = 1/3x; se g(x) = 3x - 6, allora g(2) = 0, dunque 1/g(x) è definita solo in (1,2) (2, 6). Date due funzioni f e g definite in modo tale che Im (f) sia contenuta nel dominio di g, allora si chiama funzione composta la funzione. o: Date le funzioni composte sono (ben diverse!), le loro funzioni Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 11 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 12

4 Funzioni composta e inversa La composizione fra funzioni è associativa, in genere non commutativa, esiste la funzione identica f(x) = x. L inversa esiste se e solo se la funzione è biiettiva. Nota: occorre distinguere fra la funzione inversa nel senso della composizione f -1 e la funzione 1 / f(x) inversa rispetto al prodotto fra funzioni. i tratta di due funzioni diverse, giacché laddove f(x) * 1 / f (x) = 1, per ogni x. o: data y = f(x) = x 2, la sua inversa è, mentre 1 / f(x) = 1 / x 2. Dati due insiemi dotati della stessa struttura, si chiamano morfismi le funzioni fra di essi che ne conservano la struttura. : 1) fra insiemi (senza struttura) le funzioni; 2) fra strutture d ordine, le funzioni monotòne: x y f(x) f(y) o x y f(x) f(y) Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 13 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI ) fra strutture di gruppo, gli omomorfismi f(x y) = f(x) f(y) 4) fra spazi topologici, le funzioni continue. 5) fra anelli: gli omomorfismi f(a+b) = f(a) + f(b) f(ab) = f(a)f(b) 5) fra spazi vettoriali, le trasformazioni lineari: f(av + bw) = af(v) + bf(w) 6) fra spazi metrici le isometrie. I morfismi possono essere - morfismi se funzioni generiche; - monomorfismi, se sono iniezioni; - epimorfismi, se sono suriezioni; - isomorfismi, se sono biiezioni. : L esponenziale y = a x è un isomorfismo fra R(+) ed R + -{0} (.): infatti a x+z = a x. a z. Il logaritmo y = log a x è un isomorfismo fra R + -{0}(.) ed R(+): log a (xz) = log a x + log a z. Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 15 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 16

5 Funzioni monotone Funzioni monotone Funzioni monotòne Una funzione f : A R si dice crescente se, per ogni coppia di punti x 1, x 2 di A, con x 1 > x 2, risulta f(x 1 ) f(x 2 ). Analogamente una funzione f : A R si dice decrescente se, per ogni coppia di punti x 1, x 2 di A, con x 1 > x 2, risulta f(x 1 ) f(x 2 ). e poi vale sempre la disuguaglianza stretta, la f si dice strettamente crescente (o strettamente decrescente). In quanto mantengono l ordinamento, le funzioni crescenti e decrescenti sono monotòne, quelle strettamente crescenti e decrescenti si dicono strettamente monotòne. Nota: le funzioni strettamente monotòne sono un esempio di funzioni invertibili. Esistono però, funzioni invertibili in un intervallo che non sono monotòne. Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 17 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 18 Funzioni monotone o: f è invertibile, ma non monotòna. Consideriamo i seguenti esempi di funzioni reali di variabile reale: o 1: f(x) = ax + b Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 19 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 20

6 o 2: f(x) = sen x o 3: f(x) = cos x Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 21 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 22 o 4: o 5: f(x) = x 2 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 23 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 24

7 o 6: o 7: f(x) = a x Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 25 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 26 o 8: f(x) = log a x o 9: f(x) = massimo intero x Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 27 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 28

8 La costruzione del grafico d una funzione è facilitata dalla conoscenza dei grafici delle principali funzioni elementari. Partendo, dunque, dal grafico della funzione y = f(x) s ottengono i grafici delle funzioni seguenti: 1) y 1 = - f(x), il grafico è simmetrico rispetto all asse delle ascisse; 2) y 2 = f(-x), il grafico è simmetrico rispetto all asse delle ordinate; 3) y 3 = f(x - a), il grafico è spostato del valore a lungo l asse delle ascisse; 4) y 4 = b + f(x), il grafico è spostato del valore b lungo l asse delle ordinate. : Calcolare il dominio delle funzioni seguenti: 1) e x > 0 ci sono due determinazioni:, dunque non è una funzione x < 0? quindi, se x R + {0} allora y R + {0}. Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 29 Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI ) D = [-50, -25) [5, 25] 3) x 0, quindi 4) Dev'essere, quindi ({x 0} {x > 0}) - {1} cioè Lezione 26.wpd 08/01/2011 XXVI - 31