Sottoinsiemi di Numeri Reali

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1 INTERVALLI LIMITATI a,b R Sottoinsiemi di Numeri Reali intervallo chiuso [a,b] = { R : a b} intervallo aperto (a,b) = { R : a < < b} intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra [a,b) = { R : a < b} intervallo chiuso a destra e aperto a sinistra (a,b] = { R : a < b} INTERVALLI ILLIMITATI a,b R [a,+ ) = { R : a} (,b] = { R : b} (a,+ ) = { R : > a} (,b) = { R : < b} (,+ ) = R R + = [0,+ ) = { R : 0} R = (,0] = { R : 0} INTORNI 0 R, δ > 0 si dice intorno del punto 0 di raggio δ l insieme: ( 0 δ, 0 +δ) = { R : 0 δ < < 0 +δ} = I δ ( 0 )

2 Funzioni Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: da un rilevamento empirico da una formula (legge) ESEMPI: 1. la temperatura in un certo luogo in un dato intervallo di tempo 2. la quotazione giornaliera del Dollaro in Euro in un dato periodo 3. lo spazio percorso nel tempo da un corpo in caduta libera: s = 1 2 gt2 (moto uniformemente accelerato) 4. la relazione tra i lati, y di un rettangolo di area unitaria: y = 1 da cui si ricava: y = 1

3 Funzioni Definizione Una funzione f è una legge che ad ogni elemento di un certo insieme D (dominio) fa corrispondere uno ed un solo elemento y di un secondo insieme C (codominio). Si dice che y è l immagine di tramite f e si scrive y = f(). 0 D C y 0 y = f() f : D C f : y = f()

4 Grafico di una Funzione Sia A R e sia f : A R una funzione reale di variabile reale. Il grafico di f è l insieme delle coppie (,f()). y f() P = (, f() ) Grafico di f = {(,y) : A, y = f()} O

5 Funzioni Esempi ESEMPI (funzioni reali di una variabile reale): 1. f() = 2+1 R retta 2. f() = 2 R parabola 3. f() = 0 4. f() = 1 0 iperbole equilatera 5. f() = 0 per 0 1 per > 0 Si dice che f() è il valore della funzione f in. Nell espressione y = f(), è detta variabile indipendente, mentre y è detta variabile dipendente.

6 Funzioni Iniettive e Suriettive una funzione f : D C si dice iniettiva se elementi distinti di D hanno immagini distinte: 1 2 f( 1 ) f( 2 ) o, equivalentemente: f( 1 ) = f( 2 ) 1 = 2 una funzione f : D C si dice surgettiva se ogni elemento del codominio C è immagine di qualche elemento del dominio. In simboli: y C D : f() = y una funzione f : D C contemporanemente iniettiva e surgettiva si dice biunivoca

7 Funzioni Biunivoche Una funzione f : D C è BIUNIVOCA (bigettiva) se ESEMPI: ogni y C è immagine di uno ed un solo elemento D. 1. D = C = R, f() = 2+1 è biunivoca: y R è immagine di = 1 (y 1) D = C = R +, f() = è biunivoca: y R + è immagine di = y D = R, C = R +, f() = 2 è biunivoca: y R + è immagine di = y. 4. D = R +, C = R, f() = 2 non è biunivoca: y < 0 non è immagine di alcun. 5. D = R, C = R +, f() = 2 non è biunivoca: y = 4 è immagine di = ±2.

8 Operazioni sulle Funzioni Date due funzioni f e g a valori reali, sull intersezione dei due domini si possono definire: funzione somma: s() = f()+g() funzione differenza: d() = f() g() funzione prodotto: p() = f() g() funzione quoziente: q() = f() per tale che g() 0 g() ESEMPI: 1. somma: f() =, g() = 5 (f +g)() = prodotto: f() =, g() = +5 (f g)() = (+5) = quoziente: f() = +3, g() = 2 1 f +3 () = per ±1 g f() =, g() = 2, h() = 5 f g 2 h () = Qual è il dominio? 5

9 Esercizi sulle Funzioni ESERCIZIO 1. Calcolare il valore della funzione f() = 2 5 nei punti 1 = 1 e 2 = 2. Soluzione: f(1) = = 3, f( 2) = 2 ( 2) 5 = 9 ESERCIZIO 2. Calcolare il valore della funzione f() = nel punto = 2. Soluzione: f(2) = = 8 6 = 2 ESERCIZIO 3. Calcolare il valore della funzione f() = nel punto = 4. Soluzione: f(4) = = 11

10 Funzioni Monotone Una funzione f : A R R si dice strettamente crescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 ). debolmente crescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ). strettamente decrescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) > f( 2 ). debolmente decrescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ). y y = f() y y = f() y y y 2 y 2 y 1 y = f() y 1 y = f() y 1 y 1 y 2 y 2 O 1 2 O 1 2 O 1 2 O 1 2

11 Esercizi sulle Funzioni Monotone ESERCIZIO 1. Dimostrare che la funzione f() = è strettamente crescente per R. Soluzione: per ogni coppia di punti 1, 2 R con 1 < 2 si ha 1 < < < cioè f( 1 ) < f( 2 ). Ragionando in modo analogo, si dimostra che: la funzione f() = m + q con m > 0 è strettamente crescente per R; la funzione f() = m+q con m < 0 è strettamente decrescente per R.

12 Esercizi sulle Funzioni Monotone ESERCIZIO 2. Dimostrare che la funzione f() = 2 è strettamente crescente per 0. Soluzione: per ogni coppia di punti 1, 2 0 con 1 < 2 abbiamo, in particolare, che 0 1 < 2. Moltiplicando per 1 (che è non negativo), si ottiene: ( 1 ) 2 1 2, mentre moltiplicando per 2 (che è strettamente positivo), si ottiene: Ne segue che 1 2 < ( 2 ) 2. ( 1 ) < ( 2 ) 2, cioè f( 1 ) < f( 2 ).

13 Esercizi sulle Funzioni Monotone ESERCIZIO 3. Dimostrare che la funzione f() = 2 è strettamente decrescente per 0. Soluzione: per ogni coppia di punti 1, 2 0 con 1 < 2 abbiamo, in particolare, che 1 < 2 0. Moltiplicando per 1 (che è strettamente negativo), si ottiene: ( 1 ) 2 > 1 2, mentre moltiplicando per 2 (che è non positivo), si ottiene: Ne segue che 1 2 ( 2 ) 2. ( 1 ) 2 > 1 2 ( 2 ) 2, cioè f( 1 ) > f( 2 ).

14 Minimi e Massimi di Funzione Sia f : A R una funzione e sia 0 A. minimo assoluto (o globale): 0 è punto di minimo se f() f( 0 ) A massimo assoluto (o globale): 0 è punto di massimo se f() f( 0 ) A minimo relativo (o locale): si dice che in 0 la funzione ha un punto di minimo relativo se vicino a 0 assume solo valori maggiori o uguali di f( 0 ) ovvero 0 è punto di minimo relativo se esiste δ > 0 tale che f() f( 0 ) ( 0 δ, 0 +δ) massimo relativo (o locale): si dice che in 0 la funzione ha un punto di massimo relativo se vicino a 0 assume solo valori minori o uguali di f( 0 ) ovvero 0 è punto di massimo relativo se esiste δ > 0 tale che f() f( 0 ) ( 0 δ, 0 +δ)

15 Minimi e Massimi di Funzione y y = f() O a b punto di minimo assoluto, f( 1 ) valore minimo assoluto; 2 punto di massimo relativo, f( 2 ) valore massimo relativo; 3 punto di minimo relativo, f( 3 ) valore minimo relativo; b punto di massimo assoluto, f(b) valore massimo assoluto.

16 Esercizi su Massimi e Minimi ESERCIZIO 1. Trovare i punti di massimo, il valore massimo, i punti di minimo e il valore minimo della funzione f() = 3 2 nell intervallo [1, 2]. Soluzione: la funzione ha come grafico una retta il cui coefficiente angolare è positivo e dunque è strettamente crescente. Quindi il massimo si ottiene nel punto 2 e il valore del massimo è 4, mentre il minimo si ottiene nel punto 1 e il valore del minimo è 1. ESERCIZIO 2. Trovare i punti di massimo, il valore massimo, i punti di minimo e il valore minimo della funzione f() = 2 nell intervallo [0,5]. Soluzione: la funzione in [0, 5] è strettamente decrescente. Quindi il massimo si ottiene nel punto 0 e il valore del massimo è 0, mentre il minimo si ottiene nel punto 5 e il valore del minimo è 25.

17 Esercizi su Massimi e Minimi ESERCIZIO 3. Dire se la funzione f() = ha massimo su tutto R. Dire se la stessa funzione ha minimo su R. Soluzione: la funzione non ha massimo; il minimo è ottenuto nel punto 0 e il suo valore è 1. ESERCIZIO 4. Trovare i punti di massimo, il valore massimo, i punti di minimo e il valore minimo su R della funzione f() = 1 per < 1 +2 per per > 2 Soluzione: il massimo è assunto nel punto 1 e per > 2, il valore del massimo è 3. Il minimo si ottiene nel punto 2 e il valore del minimo è 0.