uno e uno solo elemento y є B.

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1 DEFINIZIONE DI FUNZIONE SECONDO LA TEORIA DEGLI INSIEMI Si chiama funzione di A in B, dove A e B sono due INSIEMI, una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento x є A uno e uno solo elemento y є B. ANALISI MATEMATICA - 1 -

2 ANALISI MATEMATICA - 2 -

3 Questa non è una funzione perché l elemento a dell insieme A è associato a due elementi (1 e 2) dell insieme B (da a partono due frecce verso l'insieme B); qual è, quindi, il valore di f(a)? 1 o 2? ANALISI MATEMATICA - 3 -

4 Funzione iniettiva Una funzione si dice iniettiva quando x x A : x x f ( x ) f ( x ) esiste solo un elemento 1, x B tale che y = f(x) y B ad ogni elemento dell insieme B corrisponde un solo elemento dell insieme A funzione iniettiva non è iniettiva perché f(a) =f(b) ANALISI MATEMATICA - 4 -

5 Funzione suriettiva Una funzione si dice suriettiva, se: y B, x A tale che y = f(x) f(a) = B ogni elemento dell insieme B e associato ad un elemento dell insieme A funzione suriettiva non è suriettiva perché f(?) = 4 ANALISI MATEMATICA - 5 -

6 Funzione biettiva o biunivoca Una funzione si dice funzione biettiva o biunivoca se: y B, x A tale che y=f(x) (cioè una funzione biunivoca è iniettiva e suriettiva) ANALISI MATEMATICA - 6 -

7 Il concetto di funzione tra due insiemi è un concetto generale Noi siamo interessati alla sua applicazione nell ambito degli insiemi di numeri, In particolare a L INSIEME DEI NUMERI REALI Normalmente utilizzeremo dei suoi sottoinsiemi ANALISI MATEMATICA - 7 -

8 Funzioni reali di variabile reale in una sola variabile indipendente Definizione di funzione reale di variabile reale Consideriamo due sottoinsiemi non vuoti A e B dell'insieme dei numeri reali R, Si chiama funzione di A in B una legge (regola) che associa ad ogni elemento x di A uno e un solo elemento y di B Per indicare che f è una funzione di A in B si scrive oppure f: x є A f(x) є B f: x f(x), x є A, f(x) є B ANALISI MATEMATICA - 8 -

9 oppure, indicando la funzione con y = f(x) f: A B, y = f(x) y si dice immagine del numero x dato dalla funzione f cioè y è il valore assunto dalla funzione in corrispondenza al numero x. Esempio1 Consideriamo la funzione f(x) = 2x 2 3; se x = 2, f(2) = 5; quindi 5 è l immagine di x = 2 attraverso la funzione f(x) = 2x 2 3. Se x = 5 f( 5 ) = 2( 5 )2 3 = 2(5) 3 = 7, quindi 7 è l immagine d i x = 5 attraverso la funzione f(x) = 2x 2 3. ANALISI MATEMATICA - 9 -

10 Esempio2 Consideriamo la funzione f(x) = tgx; se x = π, f( π = 3 3 3), quindi 3 è l immagine di π 3 attraverso la funzione f(x) = tgx. ANALISI MATEMATICA

11 x si chiama variabile indipendente. y si chiama variabile dipendente in quanto il suo valore dipende, volta per volta, da quello che attribuiamo alla x L'insieme A dei valori x, per i quali esiste il corrispondente valore della y, si chiama dominio della funzione, o anche insieme di esistenza, o insieme di definizione. L'insieme delle immagini f(x) si chiama codominio; f(x) B ANALISI MATEMATICA

12 Esempio1 La funzione f(x) = 5x 3 ha sia come dominio che come codominio tutto l insieme dei numeri reali; si scrive: D: x R; C: f(x) R D(dominio) e C(codominio) Esempio2 La funzione f(x) = logx ha D: x R + ; C: f(x) R Esempio3 La funzione f(x) = x 2 3 ha D: x R; x < 3 x > 3 C: f(x) R ANALISI MATEMATICA

13 Qualunque espressione algebrica, più o meno complicata, può essere considerata una funzione reale di variabile reale. Limitiamoci a quelle che contengono una sola lettera. Inoltre Qualunque funzione reale di variabile reale può essere descritta utilizzando un sistema di assi cartesiani L'insieme formato da tutte le coppie [x, f(x)] si chiama grafico o diagramma della funzione f(x); cioè G = (x; f(x) x є R) ANALISI MATEMATICA

14 Consideriamo la funzione f(x) = 9 x 2 il dominio è D: x є R; -3 x 3 il codominio è C: f(x) є R; 0 f(x) 3 ANALISI MATEMATICA

15 ANALISI MATEMATICA

16 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE FUNZIONI PERIODICHE Si dice che una funzione y = f(x) è periodica se, definito un numero reale T, chiamato periodo, succede che k è un numero intero. f(x) = f(x + kt) Le funzioni goniometriche f(x) = senx; f(x) = cosx; f(x) = tgx e f(x) = cotgx sono funzioni periodiche. ANALISI MATEMATICA