Def. L unico elemento y Y associato ad un elemento x domf si dice immagine. di x attraverso f e si scrive y = f(x) (oppure f : x y = f(x)).

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1 FUNZIONI Siano X e due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in. Def. L insieme è detto codominio di f. X Es. Siano X = R, = R e f : = (ad un numero reale associo il suo inverso) /3... e... = / /4 / 2 3/2... /e...? Def. L unico elemento associato ad un elemento domf si PSfrag dice immagine repla di attraverso f e si scrive = f() (oppure f : = f()). = f() domf X Def. L insieme imf = { : domf : = f()} è detto immagine di f. Si ha l inclusione: imf. Es. f() = / con X = = R. = /4 è l immagine di = 4 mediante f. L insieme immagine è: imf = R \ {}. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p./3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.3/3 Def. L insieme degli X a cui f associa uno e un solo elemento PSfrag è detto repla dominio di f e si indica con domf. Si ha domf X e si scrive: f : domf X. imf domf X N.B. domf è l insieme degli X per i quali la corrispondente sta in. Es. f() = / con X = = R. Se = / R MA R, QUINDI domf = R \ {} = (, ) (, + ). Oss. domf, f associa ad uno e un solo elemento. Def. L insieme G(f) = {(, ) domf, e = f() imf} X è detto grafico di f. Es. f() = / con X = = R. X = R R = R 2 = piano cartesiano. G(f) = {(, ) R 2 : = /} Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.2/3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.4/3

2 Confronto tra f() = / e a n = /n Def. Una funzione si dice reale se = R. Def. Una funzione si dice a variabile reale se X = R. Il grafico di una funzione reale a variabile reale è l insieme dei punti (, ) del piano cartesiano tali che = f(). Es. f : R R: f() = 2 R 2 = f() = / a n = /n domf = { R, }, doma = {n N, n } Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.5/3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.7/3 Successioni Def. Una successione è una funzione reale ( = R) a variabile naturale, ovvero X = N: a : N R : n = a(n) = a n. Il dominio di una successione è del tipo {n N, n n } con n un opportuno numero naturale. Es. a n = n, in questo caso n =. Es. a n = n + n 2, in questo caso n = 3. Es. a n = ( ) n, in questo caso n =. Es. Il fattoriale di n: a n = n!, n N.! :=, n! := n (n )! = n (n ) (n 2)... 2 Controimmagine Def. Sia, la controimmagine di attraverso f è l insieme f () = { domf : f() = } domf. Es. Considerando la funzione di prima f() =, la controimmagine del valore = 3 è f (3) = { R \ {} : / = 3} = {/3} La controimmagine di = è f () = { R \ {} : / = } = Non c è alcun valore reale tale che / =. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.6/3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.8/3

3 f iniettiva Es. f : R R, f() = 2, domf = R, imf = { R : } = [, + ).? f (4) = f() = 2 4 Esempi Def. Una funzione si dice iniettiva se ogni elemento di imf è immagine al piú di un elemento di domf, o equivalentemente se, 2 domf, 2 f( ) f( 2 ). = f() = f() f (4) = { R : 2 = 4} = { 2, 2} INIETTIVA: f ( ) = { } NON INIETTIVA: f ( ) = {, 2, 3 }, o f( ) = f( 2 ) = f( 3 ) = Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.9/3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p./3 Esempi f suriettiva Def. Una funzione si dice suriettiva se imf =, ovvero se ogni elemento di ha per controimmagine un insieme non vuoto, ovvero ogni elemento di è l immagine di almeno un elemento di domf. 2 3 = f() 3 2 = f() f biettiva Def. Una funzione f si dice biunivoca o biettiva se è sia iniettiva che surettiva, ovvero ogni elemento è immagine di uno e uno solo elemento domf. Osservazione: Sia D = domf R e = R. Se invece di considerare f : D R, consideriamo f : D imf, si ha che f è suriettiva (facciamo coincidere il codominio con imf). Per definizione di imf, ad ogni elemento imf corrisponde almeno un elemento D : = f(). SURIETTIVA: imf = = R NON SURIETTIVA: imf = R + {}, = R Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p./3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.2/3

4 Sia D = domf R. Considero una funzione f : D imf. Def. Se una funzione f è iniettiva sul suo dominio, possiamo costruire una funzione che ad ogni elemento imf associa l unico domf pla per cui f() =. Tale funzione è detta funzione inversa di f, viene indicata con f e X imf domf = imf, = f() = imf = domf imf = f () = Quindi: f : D R è invertibile se e solo se è suriettiva e iniettiva. f : D imf è invertibile se e solo se è iniettiva (è già suriettiva su imf). NOTA: quando analizzeremo l invertibilità, considereremo sempre f : D imf Esempio: f : R imf, f() = 3 NON è invertibile sul suo dominio; (domf = R, imf = {3}, f NON è iniettiva) = = = f() = 3 non è una funzione = f() domf domf Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.3/3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.5/3 pla X imf = f() = 3 2 = f : R imf, f() = f è invertibile sul suo dominio; (domf = R, imf = R, f è iniettiva) = = f() = domf f() NON è iniettiva e NON è invertibile, ovvero la curva a destra non è il grafico di alcuna funzione, ad una corrisponde piú di una = f () domf = imf = R, imf = domf = R. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.4/3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.6/3

5 f : R imf, f() = e f è invertibile sul suo dominio; (domf = R, imf = R +, f è iniettiva) = = f() = e = f : R + {} imf, f() = 2 f è invertibile sull insieme di definizione R + {} (domf = R + {}, imf = R + {}, f è iniettiva) = f() = = = f () = log e () 2 = f () = domf = imf = R +, imf = domf = R. domf = imf = R + {}, imf = domf = R + {}. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.7/3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.9/3 Funzioni matematiche elementari f : R imf, f() = 2 f NON è invertibile sul suo dominio; (domf = R, imf = R + {}, f NON è iniettiva) = = f() 2 = Funzioni polinomiali e razionali retta: = f() = m + q, con m, q R assegnati. parabola: = f() = a 2 + b + c, con a, b, c R assegnati. cubica: = f() = a 3 + b 2 + c + d, con a, b, c, d R assegnati. razionale: = f() = /, = f() = ,... Funzioni trigonometriche seno: = sin() tangente: = tg() coseno: = cos() Funzioni trascendenti esponenzionale: = a, con a R + logaritmo: = log a (), con a R + \ {} cotangente: = cotg(),... caso particolare: a = e = (Numero di Nepero) Funzioni irrazionali radice: = (), = 3 ()... Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.8/3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.2/3

6 Funzioni definite a tratti Funzione Segno Sono funzioni reali di variabile reale (f : R R) definite da espressioni diverse su intervalli diversi: + 2 se f() = se < 3 se 3 < 5 se > f : R Z : f() = sign() = se = se < Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.2/3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.23/3 Funzione Valore Assoluto se f : R R : f() = = se < Funzione Parte Intera E la funzione che associa ad un numero reale il piú grande numero intero (in Z) minore o uguale a : se = , [] = 3, se = 2, [] = 2, se = , [] = 3. f : R Z : f() = [] Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.22/3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.24/3

7 Funzioni monotone Sia I il dominio di una funzione f reale a valori reali, oppure un intervallo contenuto nel dominio di f. Def. La funzione f si dice monotona crescente su I se frag repla, 2 I, < 2 f( ) f( 2 ). Il viceversa non è vero. La funzione f() = = è iniettiva senza essere strettamente monotona sul suo dominio. 8 f( ) = f( 2 ) f( 2 ) f( ) I I domf = R. f è decrescente su (, ), è decrescente su (, + ), ma non è decrescente su tutto R. 8 Def. La funzione f si dice monotona strettamente crescente su I se, 2 I, < 2 f( ) < f( 2 ) Infatti per =, 2 =, si ha f( ) = < f( 2 ) =. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.25/3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.27/3 Funzioni composte Analogamente si definisce una funzione monotona decrescente su I se, 2 I, < 2 f( ) f( 2 ) e monotona strettamente decrescente su I se, 2 I, < 2 f( ) > f( 2 ). Proposizione. Se f è strettamente monotona sul suo dominio allora f è iniettiva. Dim. Sia f strettamente monotona crescente, allora, 2 dom(f) con < 2 ( 2 ) si ha f( ) < f( 2 ) e quindi f( ) f( 2 ), ovvero f è iniettiva. Dimostrazione analoga si ha per f strettamente monotona decrescente. Siano X, e Z tre inisiemi in R. Siano f : X e g : Z. Definiamo una nuova funzione h : X Z detta funzione composta di f e g tale che Es. f() = sin() e g() = 2. h() = g(f()), h = g f. La funzione composta è: h() = (sin()) 2. f() prende il posto di nella definizione di g. Es. Sia h() = log(2 + ). Posso vedere h() = g(f()) con g() = log() e f() = 2 +. Es. Sia h() = Posso vedere h() = g(f()) con g() = e f() = Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.26/3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.28/3

8 Dominio di una funzione composta Il dominio di una funzione f è il sottoinsieme di R su cui f è definita, ovvero l insieme domf = { R : f() R}. Prendiamo f() = + 2 e g() = + 2, h() = g(f()) =. dom g f domf e f() dom g Quindi domf sse R \ {} e + 2, ovvero (, 2] (, + ). Riferimento bibliografico: Canuto-Tabacco, cap. 2. Esercizi: ) Individuare dominio e insieme immagine delle funzioni elementari viste ad esercitazione e dire se sono monotone (crescenti o decrescenti) sul loro dominio, se sono iniettive, suriettive, biettive, invertibili. 2) n. e n. del cap. 2 del libro Canuto-Tabacco. domg f = { domf : f() domg} Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.29/3 Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.3/3 Oss. La composizione di funzioni non è commutativa: f g g f. f() = sin() e g() = 2. g f() = (sin()) 2 mentre f g() = sin( 2 ). Proprietà. Se f e g sono iniettive allora lo è anche g f e vale (g f) = f g. Proprietà. Se f e g sono entrambe monotone crescenti (o entrambe decrescenti) allora anche g f sarà monotona crescente. g f sarà monotona decrescente negli altri casi. Funzioni Cap2a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 26/27 - p.3/3