Modulo o "valore assoluto"

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1 Modulo o "valore assoluto" Dato x R definiamo modulo o valore assoluto di x il numero reale positivo x se x 0 x = x se x < 0 Sfrag replacements Es. 5 è è 2.34 Dal punto di vista geometrico x rappresenta la distanza di x da 0. x x x 0 x Analogamente, x, y R, vale x y = y x e x y rappresenta la distanza tra x e y. N.B. Una distanza è sempre un numero reale positivo. I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.1/20

2 Proprietà del Valore Assoluto x, y R, vale la relazione: x + y x + y (disuguaglianza triangolare) Es. x = 8, y = 13. x + y = 8 13 = 5 = 5, x = 8 = 8, y = 13 = 13 x + y x + y in questo caso è L equazione x = r, con r R assegnato, ha due soluzioni: x 1 = r g replacements e x 2 = r r = r r = r x 2 = r 0 x 1 = r Es. Le soluzioni dell eqz. x = 2 sono x 1,2 = ± 2. I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.2/20

3 g replacements r = r r = r g replacements r 0 r 3. I r punti = rx R che soddisfano la disequazione x r sono tutti e soli i punti r = x r R : r x r, ovvero tutti i punti che distano da zero r o meno di r. r 0 r g replacements 4. I r punti = rx R che soddisfano la disequazione x r sono tutti e soli i punti r = x r R : x r oppure x r, ovvero tutti i punti che distano da zero r o piú di r. r 0 r I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.3/20

4 Intervalli Def. Siano a, b R : a b. Chiamiamo intervallo chiuso di estremi a e b l insieme g replacements [a, b] = {x R a x b}. a Se a < b, chiamiamo intervallo aperto di estremi a e b l insieme b g replacements (a, b) = {x R a < x < b}. a (a, b) si può scrivere anche ]a, b[. b intervallo semi-aperto a destra: [a, b) = {x R a x < b}. I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.4/20

5 intervallo semi-aperto a sinistra: (a, b] = {x R a < x b}. Intervalli definiti da una sola disuguaglianza: [a, + ) = {x R a x}, (a, + ) = {x R a < x} oppure (, b] = {x R x b}, (, b) = {x R x < b}, dove i simboli e + non indicano numeri reali, permettono di estendere l ordinamento dei reali, attraverso la convenzione che x R, < x < +. Si definisce la Retta estesa R = R {, + } = [, + ] In generale: un intervallo si dice chiuso se include i suoi estremi, aperto se esclude i suoi estremi. Def. I punti dell intervallo che non sono estremi dell intervallo sono detti punti interni. I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.5/20

6 acements Insiemi limitati A Def. Sia A R. Diciamo che A è superiormente limitato se esiste un acements numero reale b tale che: x b, x A. 2 Ogni b che soddisfa tale relazione è detto un maggiorante di A. Es. A = {x R 1 x < 1}. b = 1, b = 10, b = 1000 sono maggioranti di A. Qualunque b 1 è maggiorante di A. b R 1 A 1 5 R Es. A = [ 1, 1) {2}. Tutti i b 2 sono maggioranti di A, b = 1.6 non è maggiorante di A. I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.6/20

7 acements a A Def. Sia A R. Diciamo che A è inferiormente limitato se esiste un numero reale a tale che: a x, x A. Ogni a che soddisfa tale relazione è detto un minorante di A. R Es. A = [ 1, 1) {2}. Qualunque a 1 è minorante di A. A è superiormente e inferiormente limitato. Es. A = (, 1). A è superiormente limitato, ma non inferiormente limitato: tutti i numeri reali x 1 sono maggioranti di A, mentre non esistono minoranti di A. I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.7/20

8 Es. N R è inferiormente limitato, ma non superiormente. Qualunque a 0 è un minorante di N, ma: non esiste b R maggiorante di N. Proprietà di Archimede Def. Si dice che A è limitato se è contemporaneamente superiormente e inferiormente limitato. L intervallo [ 5, π) è limitato. I suoi minoranti sono tutti i numeri reali x 5, i suoi maggioranti sono tutti i numeri reali x π I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.8/20

9 Massimo e minimo di un insieme Def. Diciamo che un insieme A R ammette massimo se esiste un elemento x M A tale che x x M x A. L elemento x M viene chiamato massimo dell insieme A e si indica con x M = max A. Oss. Un insieme che ammette massimo è anche superiormente limitato e x M = max A è un maggiorante di A. Proprietà: Se un insieme A ha massimo, allora max A è il piú piccolo dei maggioranti di A. Es. A = ( 5, 2]. max A = 2 e ogni x 2 è maggiorante di A. Oss. Un insieme che è superiormente limitato non è detto che abbia massimo: Es. A = ( 5, 2). x M A maggiore o uguale di tutti gli elementi di A. N.B. x = 2 A. I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.9/20

10 Def. Diciamo che un insieme A R ammette minimo se esiste un elemento x m A tale che x m x x A. L elemento x m viene chiamato minimo dell insieme A e si indica con x m = min A. Oss. Un insieme che ammette minimo è anche inferiormente limitato e x m = min A è un minorante di A. Proprietà: Se un insiema A ammette minimo, allora min A è il piú grande dei minoranti di A. Es. A = [ 5, 2). min A = 5 e ogni x 5 è minorante di A. Oss. Un insieme che è inferiormente limitato non è detto che abbia minimo: Es. A = ( 5, 2). x m A minore o uguale di tutti gli elementi di A. N.B. x = 5 A. Teorema. Massimo e minimo, se esistono, sono unici. I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.10/20

11 Es. A = {x Q x 2 2 < 0}. A è limitato in R, ma non ha massimo e minimo. Infatti si può anche scrivere A = {x Q 2 < x < 2}. I maggioranti di A sono tutti i numeri reali x 2. I minoranti di A sono tutti i numeri reali x 2, ma ± 2 Q e quindi ± 2 A. N.B. La scrittura ( 2, 2) è equivalente a {x R 2 < x < 2} e non a {x Q 2 < x < 2}. Es. A = {x R x 2 2 0} = {x R 2 x 2}. A è limitato in R ed ha massimo e minimo. Infatti, stavolta ± 2 A. I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.11/20

12 Estremi inferiore e superiore Def. Sia A R superiormente limitato. Chiamiamo estremo superiore di A il più piccolo dei maggioranti di A e lo denotiamo con sup A. Sia A R inferiormente limitato. Chiamiamo estremo inferiore di A il più grande dei minoranti di A e lo denotiamo con inf A. Oss. Se un insieme ha massimo, allora tale numero è anche estremo superiore. Il viceversa non è vero. Se un insieme ha minimo, allora tale numero è anche estremo inferiore. Il viceversa non è vero. Es. A = ( 2, 2], max A = 2 = sup A, inf A = 2. I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.12/20

13 Caratterizzazione matematica del sup Il sup A è caratterizzato dalle seguenti due condizioni: 1) x A, x sup A (ovvero sup A è un maggiorante di A) 2) r R, r < sup A, x A x > r. (ovvero sup A è il piú piccolo dei maggioranti di A, perché un qualsiasi altro numero reale r minore di sup A non è piú maggiorante di A) g replacements x r sup A I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.13/20

14 Caratterizzazione matematica dell inf L inf A è caratterizzato dalle seguenti due condizioni: 1) x A, x inf A (ovvero inf A è un minorante di A) 2) r R, r > inf A, x A x < r. (ovvero inf A è il piú grande dei minoranti di A, perché un qualsiasi g replacements altro numero reale r maggiore di inf A non è piú minorante di A) x sup A infa r I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.14/20

15 Proprietà. Se esistono inf e sup di un insieme, questi sono unici. Se un insieme non è superiormente limitato, diciamo che sup A = + Se un insieme non è inferiormente limitato, diciamo che inf A = I numeri reali - Ordinamento in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.15/20

16 Stavamo analizzando le proprietà di R 1. Le operazioni di Q si estendono a R 2. Su R c e un ordinamento totale: intervalli aperti e chiusi, insiemi superiormente ed inferiormente limitati, maggioranti e minoranti, massimo e minimo, sup e inf. 3. I numeri razionali sono densi tra i numeri reali, ovvero tra due numeri reali qualsiasi, esistono infiniti numeri razionali. 4. L insieme dei numeri reali è completo: geometricamente vuol dire che ogni punto della retta è associato ad un unico numero reale. Questa proprietà permette di risolvere equazioni come x 2 2 = 0 che non hanno soluzione in Q. I numeri reali Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.16/20

17 3. Q è denso in R ovvero: Tra due numeri reali qualsiasi esistono infiniti numeri razionali Es. Consideriamo i numeri reali π = x = I numeri sono tutti razionali (hanno rappresentazione decimale finita), ma anche , , ,..., sono tutti razionali, ecc. I numeri reali - Q è denso in R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.17/20

18 4. La completezza di R L insieme dei numeri reali R è completo ovvero verifica la seguente proprietà detta Assioma di completezza o Assioma di Dedekind. Siano C 1, C 2 R due classi contigue, ovvero due sottoinsiemi disgiunti di R (C 1 C 2 = ) tali che C 1 C 2 = R e tali che ogni elemento di C 1 sia minore o uguale di ogni elemento di C 2. Sfrag replacements C 2 g replacements C 1 R C 2 C 1 Allora!s R : x 1 s x 2 x 1 C 1, x 2 C 2. s R Def. s viene detto elemento separatore delle classi. I numeri reali - La completezza di R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.18/20

19 Sfrag replacements C 2 C 1 R s Geometricamente, la completezza significa che ovunque io tagli in due la retta reale R, il punto di confine s tra le due semirette rappresenta un (!) numero reale. La retta R è un continuo di punti. Al contrario Q non è rappresentabile con una retta, perchè è un sottoinsieme discreto della retta. R = Q (R \ Q) reali = razionali irrazionali Sia Q che (R \ Q) sono densi in R. L Assioma di completezza di R implica che: "Ogni sottoinsieme di R superiormente (risp. inferiormente) limitato ammette in R estremo superiore (risp. inferiore)". Fine di R. I numeri reali - La completezza di R Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.19/20

20 Riferimento bibliografico: C. Canuto, A. Tabacco: Analisi Matematica 1, seconda edizione. Capitolo 1, pag ; Esercizi: pag Esercizio: Individuare le proprietà dei seguenti intervalli (aperto, chiuso, semi-aperto a destra o a sinistra, limitato); individuare inf e sup e, qualora esistano, anche min e max. ( 5, 4], (, 0), {x R : x < 3}, {x R : x π}, ]2, 18[, [ 2π, 2π), {x R : x 2 2}. Esercizio: individuare inf, sup, maggioranti e minoranti dei seguenti insiemi e, qualora esistano, anche min e max. {x R : x > 4}, {x R : x < 3 x > 8}, {x R : x π x > 2}, (2, 10], [ 2π, 2π) {6}, {x R : x 2 2} {x R : x 3 > 1}, { } x2 3 x R : 3 3x I numeri reali Cap1b.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.20/20