Numeri Complessi. Sono numeri del tipo z = a + ib, dove a e b R, e i = 1 è detta unità immaginaria i R e i 2 = 1

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1 Numeri Complessi Sono numeri del tipo z = a + ib, dove a e b R, e i = 1 è detta unità immaginaria i R e i 2 = 1 L insieme dei numeri complessi è indicato con C. a è detta parte reale del numero complesso b è detta parte immaginaria del numero complesso Se la parte immaginaria b di un numero complesso z è nulla, allora z R. O meglio: ogni numero reale è un numero complesso con parte immaginaria nulla. x R x C ovvero R C Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.1/41

2 acements L insieme C è anche chiamato piano complesso (o piano di Gauss) perché esiste una stretta analogia tra C ed il piano cartesiano R 2 : y R 2 Im C y P P = (x P, y P ) b z = a + ib x P x 0 + i0 a Re Lo zero di C è 0 + i0. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.2/41

3 PSfrag replacements Im 3 + 3i 2i i i 3 Re 2 2.5i Tutti i numeri complessi con parte immaginaria nulla (b = Imz = 0) stanno sull asse reale Re. a = a + 0i. Tutti i numeri complessi con parte reale nulla (a = Rez = 0) stanno sull asse immaginario Im. ib = 0 + ib = bi. Tali numeri sono anche detti immaginari puri. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.3/41

4 Perché i numeri complessi? Per poter calcolare la radice quadrata di un numero negativo 1, 18,... Ma i numeri complessi non mi servono a misurare distanze, tempi, pesi, forze,... Per poter descrivere e studiare piú facilmente la meccanica quantistica, i circuiti elettrici, i campi elettromagnetici, la trasmissione di segnali, la turbolenza di un fluido,... Con i numeri complessi (e le operazioni definite su di essi) si semplifica molto la matematica che sta alla base dello studio di queste discipline. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.4/41

5 Operazioni sui numeri complessi Somma: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (sommo tra loro le parti reali e le parti immaginarie) Es. (3 + i2) + ( 2 + i) = (3 2) + i(2 + 1) = 1 + i3 = 1 + 3i Sottrazione (a + ib) (c + id) = (a c) + i(b d) (sottraggo tra loro le parti reali e le parti immaginarie) Es. (3 + i2) ( 2 + i) = (3 + 2) + i(2 1) = 5 + i Prodotto (a + ib) (c + id) = ac + ibc + iad + i 2 bd = ac + ibc + iad + ( 1)bd = (ac bd) + i(bc + ad) Es. (3 + i2) ( 2 + i) = ( 6 2) + i( 4 + 3) = 8 i Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.5/41

6 Inverso di un numero complesso La divisione tra due numeri è il prodotto del primo per l inverso del secondo. a b = a 1 b Per fare la divisione tra due numeri complessi devo saper costruire l inverso 1, z C, z 0 + i0. z 1 z = 1 a + ib = 1 a + ib a ib a ib = Es. 1 3 i2 = 3 + i2 13 a ib a 2 i 2 b 2 = a ib a 2 + b 2 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.6/41

7 Complesso coniugato e modulo PSfrag replacements Def. z = a + ib C, il numero complesso z = a ib è detto complesso coniugato di z. Im z b z a Re b z z Def. z = a + ib C, il numero reale z := a 2 + b 2 è detto modulo di z. Rappresenta la distanza del numero complesso dallo zero complesso. z ed il suo coniugato z hanno lo stesso modulo, ovvero: z = z. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.7/41

8 Esempi: 1) z = 3 i5, allora z = 3 + i5, e z = z = = 34 Im z = 3 + 5i PSfrag replacements Re z = 3 i5 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.8/41

9 z immaginario puro 2) z = i 2, allora z = i 2, e z = z = 2 Im z = i 2 PSfrag replacements z = i 2 Re Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.9/41

10 z reale 3) z = 2, allora z = 2, e z = z = ( 2) 2 = 2 Im z = z = 2 PSfrag replacements Re Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.10/41

11 Operazioni e complesso coniugato z 1, z 2, z C: z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 = (z) 1 z + z = (a + ib) + (a ib) = 2a = 2Rez z z = (a + ib) (a ib) = 2ib = 2iImz Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.11/41

12 z z = (a + ib) (a ib) = a 2 + b 2 = z 2 z = z z = z z R Dimostrazione: due numeri complessi z 1 = a + ib e z 2 = c + id sono uguali se e solo se le parti reali sono uguali fra loro (a = c) e le parti immaginarie sono uguali fra loro (b = d). Se definisco z = a + ib, z = z se e solo se a = a (sempre vero) e b = b (vero se e solo se b = Imz = 0), ovvero z R. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.12/41

13 Forma trigonometrica di z C z C è univocamente individuato mediante 2 parametri: la sua parte realepsfrag Rez = replacements a e sua parte immaginaria Imz = b. Im b z può essere individuato univocamente anche da altri due parametri: ρ = z modulo di z ϑ = arg(z) argomento di z ρ e ϑ sono dette anche coordinate polari del punto z nel piano complesso. a ϑ z ρ Re Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.13/41

14 Se conosco ρ e θ, allora a = ρ cos ϑ, b = ρ sin ϑ. PSfrag replacements Im b z ϑ + 2kπ, k Z a Re Se conosco a e b, allora ρ = a 2 + b 2 e ϑ = arctan(b/a), (per la regola della trigonometria che lega gli elementi di un triangolo rettangolo) ma esistono infiniti angoli che individuano lo stesso numero complesso z: ϑ, ϑ + π, ϑ + 2π, ϑ π,..., in genere ϑ + 2kπ, con k Z. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.14/41

15 Se si decide di scegliere ϑ ( π, π], si pone: ϑ = arctan(b/a) se a > 0 arctan(b/a) + π se a < 0, b 0 arctan(b/a) π se a < 0, b < 0 π/2 se a = 0, b > 0 π/2 se a = 0, b < 0 PSfrag replacements Im b z ϑ a Re arg(0) = R, infatti z = 0 = 0(cos ϑ + i sin ϑ), ϑ R. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.15/41

16 Si ha: z = a + ib = ρ cos ϑ + iρ sin ϑ = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) cartesiane polari 3 3 1) z = 2 + i1 2. Rez = a = 2, Imz = b = 1 2. Im PSfrag replacements b z ϑ = π/6 a Re Allora: ϑ = π 6 e ρ = 3/4 + 1/4 = 1 ( ) ( 3 ) Con la regola: ϑ = arctan 1/2 3/2 = arctan 3 = π 6 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.16/41

17 polari cartesiane 2) ρ = 2 e ϑ = π 2 ( ( z = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) = 2 cos π ) 2 Im PSfrag replacements + i sin ( π )) 2 = 2(0 i) = 2i a = 0 ρ = 2 Re ϑ = π/2 z b = 2 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.17/41

18 Esponenziale complesso z C si vuole definire l esponenziale di z, e z C, in modo da rispettare le proprietà classiche delle potenze. e è il numero di Eulero (a volte noto come numero di Nepero) e z = a + ib C si definisce Esempi. e z := e Rez (cos(imz) + i sin(imz)) = e a (cos b + i sin b) e (3 i) = e 3 (cos( 1) + i sin( 1)) = e 3 (cos(1) i sin(1)) e 2 = e 2 (cos(0) + i sin(0)) e 2iπ = e 0 (cos(2π) + i sin(2π)) = 1(1 + i0) = 1 e iϑ = e 0 (cos(ϑ) + i sin(ϑ)) = cos(ϑ) + i sin(ϑ) Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.18/41

19 Formula di Eulero ( ) e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ ϑ R Confrontando la forma trigonometrica di un numero complesso z = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) e la formula di Eulero e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ si ha z = ρe iϑ detta forma esponenziale del numero complesso z. Oss. Per ϑ = π la formula di Eulero diventa: e iπ = cos π + i sin π = 1 e iπ + 1 = 0 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.19/41

20 Proprietà dell esponenziale in C Teorema. 1. e z1 e z 2 = e z 1+z 2 z 1, z 2 C 2. e z e z = 1 3. e iϑ = cos 2 ϑ + sin 2 ϑ = 1 ϑ R 4. e z = e Rez = ρ 5. (e z ) n = e nz n Z 6. e z+2kπi = e z k Z 7. e iϑ = e iϑ 8. e z 0 z C Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.20/41

21 Dimostrazione di 3. e iϑ = cos 2 ϑ + sin 2 ϑ = 1, ϑ R Se considero z = iϑ, si ha Rez = 0 e Imz = ϑ e: e iϑ = e z = e Rez (cos(imz) + i sin(imz)) = e 0 (cos(ϑ) + i sin(ϑ)) = cos(ϑ) + i sin(ϑ) Quindi e iϑ = cos(ϑ) + i sin(ϑ) = v C, Rev = cos(ϑ) e Imv = sin(ϑ). Quindi e iϑ = v = (Rev) 2 + (Imv) 2 = cos 2 ϑ + sin 2 ϑ = 1. Dimostrazione di 4. e z = e Rez = ρ Per definizione di esponenziale di un numero complesso si ha: e z = e Rez (cos(imz) + i sin(imz)) = ρ(cos(imz) + i sin(imz)) Poichè cos(imz) + i sin(imz)) = cos(ϑ) + i sin(ϑ) = 1, il modulo di e z è: e z = ρ(cos(imz) + i sin(imz)) = ρ. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.21/41

22 Dimostrazione di 6. e z+2kπi = e z k Z Per la proprietà 1.: e z+2kπi = e z e 2kπi Quanto vale e 2kπi? e 2kπi = e 0 (cos(2π) + i sin(2π)) = 1(1 + 0) = 1 Quindi e z+2kπi = e z 1 = e z. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.22/41

23 Un numero complesso z può essere espresso in una delle tre seguenti forme, tutte equivalenti fra di loro: z = a + ib forma cartesiana = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) forma trigonometrica = ρe iϑ forma esponenziale A seconda del contesto in cui si lavora, si usa la forma piú adatta: per somma e sottrazione: forma cartesiana per prodotto, divisione e potenza: forma esponenziale. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.23/41

24 Operazioni con la forma esponenziale La forma esponenziale dei numeri complessi è molto comoda per svolgere prodotti, divisioni e potenze di numeri complessi. Siano z 1 = ρ 1 e iϑ 1 e z 2 = ρ 2 e iϑ 2, si ha: z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i(ϑ 1+ϑ 2 ) z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 e i(ϑ 1 ϑ 2 ) (z 1 ) n = ρ n 1 e inϑ 1 Es. Calcolare (1 + i) si trasforma z = 1 + i in forma trigonometrica e poi esponenziale 2. si calcola z 6, utilizzando la forma esponenziale 3. si trasforma il risultato nella forma cartesiana. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.24/41

25 Passo 1.: (z = a + ib = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) = ρe iϑ ) Im PSfrag z = (1 + i) = ( 2 replacements i ) 2 2 = = 2 ( cos π 4 + i sin ) π 4 = 2 e i π 4 z = 1 + i ρ = 2 ϑ = π/4 Re Passo 2.: z 6 = (1 + i) 6 = ( 2e i π 4 ) 6 = ( 2) 6 e i 3 2 π = 8 e i 3 2 π Passo 3.: 8 e i 3 2 π = 8i. Quindi (1 + i) 6 = 8i Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.25/41

26 Radice n-sima di un numero complesso Dato w C e n N, vogliamo calcolare tutti i numeri z C per cui vale z n = w. Def. Diciamo che z C è radice n-sima di w C se vale z n = w. L obiettivo è calcolare le radici n sime di un numero complesso w assegnato o, equivalentemente, risolvere l equazione z n w = 0. Es. Calcolare le radici terze di w = 8, ovvero risolvere l equazione z = 0 in C. N.B. L equazione x = 0 in R ha una sola soluzione reale: x = 2. Vedremo che l equazione z = 0 in C ha 3 soluzioni complesse. 1. Si trasforma w = 8 in forma esponenziale 2. Si calcolano le radici complesse z 0, z 1,..., z n 3. Si trasformano i numeri trovati nella forma trigonometrica. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.26/41

27 Passo 1.: (w = a + ib = ρ(cos ϑ + i sin ϑ) = ρe iϑ ) Im PSfrag replacements w = 8 = 8 + 0i = 8( 1 + 0i) = 8 (cos π + i sin π) = 8e iπ w = 8 ρ = 8 ϑ = π Re Passo 2.: w = 8e iπ = 2 3 e 3(iπ/3) = (2e iπ/3 ) 3, quindi ho trovato una radice z 0 = 2e iπ/3. Ora ricordo la proprietà e z+2kπi = e z k Z : e iπ = e iπ+2kπi. Se prendo k = 1, ho w = 8e iπ = 8e iπ+2iπ = 8e i3π = 2 3 e 3(iπ) = (2e iπ ) 3, quindi anche z 1 = 2e iπ è una radice terza di w = 8. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.27/41

28 Se prendo k = 2, ho w = 8e iπ = 8e iπ+4iπ = 8e i5π = 2 3 e 3(i5π/3) = (2e i5π/3 ) 3, quindi anche z 2 = 2e i5π/3 è una radice terza di w = 8. Per k = 3, ottengo lo stesso risultato ottenuto con k = 0, per k = 1, ho lo stesso risultato ottenuto con k = 2, ecc. Le uniche radici distinte sono 3: z 0 = 2e iπ/3, z 1 = 2e iπ, z 2 = 2e i5π/3, ments Im z 1 5π/3 r = 2 z 0 π/3 Re Passo 3.: z 0 = 2e iπ/3 = 1 + 3i, z 1 = 2e iπ = 2, z 2 = 2e i5π/3 = 1 3i z 2 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.28/41

29 Formula generale Teorema. Ogni numero complesso non nullo w ha esattamente n radici complesse n-sime distinte, ovvero l equazione z n = w ha n soluzioni distinte complesse. Se w = ρe iϑ, le n radici n-sime di w hanno la forma: z k = r e iϕ k, dove r = n ρ e ϕ k = ϑ + 2kπ n, con k = 0, 1,..., n 1. Osservazione. Le radici n-sime di w sono i vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza di centro 0 e raggio r. Ogni radice è ottenuta dalla precedente incrementando l argomento ϕ k di un angolo 2π/n. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.29/41

30 Esercizio. Calcolare le radici complesse seste dell unità. Si ha w = 1, n = 6. Devo calcolare n = 6 numeri complessi z 0, z 1,..., z 5 della forma z k = r e iϕ k, con r = 6 ρ e ϕ k = ϑ + 2kπ, con k = 0, 1,..., 5. 6 Passo 1. Individuo ρ e ϑ: w = 1 = ρe i 0, quindi ρ = 1 e ϑ = 0 Passo 2. Calcolo: r = 6 ρ = 1 Passo3. Calcolo gli angoli ϕ k, con k = 0,..., 5 ϕ 0 = π 6 ϕ 2 = π 6 ϕ 4 = π 6 = 0, ϕ 1 = π 6 = 2π 3, ϕ 3 = π 6 = 4π 3, ϕ 5 = π 6 = π 3, = π, = 5π 3. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.30/41

31 Le radici seste dell unità sono: z 0 = e iϕ 0 = e i0 = 1, z 1 = e iϕ 1 = e iπ/3 = i 3 2 z 2 = e iϕ 2 = e i2π/3 = i 3 2, z 3 = e iϕ 3 = e iπ = 1 z 4 = e iϕ 4 = e i4π/3 = 1 2 i 3 2, z 5 = e iϕ 5 = e i5π/3 = 1 2 i 3 2 PSfrag replacements Im w 2 w 1 π 3 w 3 w 0 Re w 4 w 5 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.31/41

32 Riferimento bibliografico: Canuto Tabacco, cap.8, pag Esercizi: 1) n.12, 13, 14, 15, 16, 18, 19. del cap. 8. Canuto-Tabacco. 2) tutti gli esercizi che ci sono nei temi d esame assegnati in precedenza e che richiedono di determinare il luogo geometrico (o l insieme) degli z C che soddisfano una certa condizione. Esempio tratto dall appello del 13/09/04: Determinare il luogo geometrico degli z C tali che [ z 2i 3] (z 2i) = 0 3) tutti gli esercizi che ci sono nei temi d esame assegnati in precedenza e che richiedono il calcolo di radici di un numero complesso. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.32/41

33 Polinomi in campo complesso Consideriamo una funzione p : C C. Def. Si dice che p è polinomio se si può scrivere p(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, dove a 0, a 1,..., a n sono numeri complessi assegnati detti coefficienti del polinomio. Se a n 0, allora si dice che il polinomio è di grado n. Es. p(z) = (3 + i)z 3 iz Questo polinomio ha grado n = 3 e i coefficienti sono: a 3 = 3 + i, a 2 = i, a 1 = 0, a 0 = 2 Def. Si chiama radice di p ogni numero complesso w tale che p(w) = 0. Es. p(z) = z 2 7z + (1 7i), w = i è una radice di p(z). Infatti, andando a sostituire z = i nel polinomio e facendo i conti si ha: p( i) = ( i) 2 7( i) + (1 7i) = 1 + 7i + 1 7i = 0 Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.33/41

34 Proposizione. (Principio di identità dei polinomi) Due polinomi p(z) e q(z) sono uguali se e solo se sono uguali i coefficienti delle potenze omologhe dei due. Es. p(z) = (3 + i)z 3 iz e q(z) = (3 + i)z 3 z non sono uguali. Infatti a 2 = i per p, mentre a 2 = 1 per q. Teorema. Sia p un polinomio di grado n e sia w una sua radice. Allora esiste un unico polinomio q di grado n 1 tale che p(z) = (z w)q(z), z C. Es. So che w = i è radice di p(z) = z 2 7z + (1 + 7i), allora riesco a scrivere p(z) = q(z)(z i), con q di grado n = 1. In particolare ho q(z) = z (7 i). Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.34/41

35 Teorema (fondamentale dell algebra). Ogni polinomio di grado n ha esattamente n radici complesse w j (j = 1,..., n) e si può decomporre nel prodotto di n binomi del tipo (z w j ). Si ha p(z) = a n (z w 1 )(z w 2 )... (z w n ). Oss. Le radici del polinomio possono essere non tutte distinte. Raggruppiamo le radici in modo da identificare fra loro quelle uguali, chiamiamo molteplicità di una radice il numero di volte per cui quella radice si ripete (la indichiamo con µ j ), siano d le radici distinte (d n), allora si ha µ µ d = n. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.35/41

36 Es. z = (z i)(z + i). w 1 = i, w 2 = i. Ho 2 radici distinte semplici (ovvero con molteplicità 1); z 5 + z 3 = z 3 (z 2 + 1) = z z z (z i) (z + i). w 1 = w 2 = w 3 = 0, w 4 = i, w 5 = i. Ho tre radici distinte, la prima di molteplicità 3, le altre due semplici. La somma delle molteplicità è = 5 = n (=grado del polinomio). Proposizione. Si consideri un polinomio p(z) con coefficienti a i R. Se w è una radice (non reale), anche w è una radice, con la stessa molteplicità. Inoltre, se il grado del polinomio è dispari, vi è almeno una radice reale. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.36/41

37 OSSERVAZIONI 1. z 3 = z 4 (ovvero z 3 z 4 = 0) NON è una equazione di tipo polinomiale (in un polinomio compaiono solo potenze di z, qui invece c è anche un modulo). 2. In una equazione di tipo non polinomiale si contano le radici distinte (ovvero senza la molteplicità). Quindi l equazione z 3 = z 4 ha 4 radici (distinte). Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.37/41

38 3. Cosa rappresenta A = {z C : z (1 2i) = 2}? z è la distanza di z da 0. z (1 2i) è la distanza di z da (1 2i). Im ments 1 Re i z 2i 1 2i z (1 2i) A è l insieme dei punti z la cui distanza da (1 2i) è uguale a 2, ovvero è la circonferenza dei punti z C di centro z C = (1 2i) e raggio r = 2. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.38/41

39 Osservazioni su sin e cos Considero la formula di Eulero: e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ, con ϑ R. Riscrivo la formula con ϑ al posto di ϑ: e iϑ = cos( ϑ) + i sin( ϑ) = cos ϑ i sin ϑ y PSfrag replacements P cos ϑ sin ϑ ϑ x ϑ cos( ϑ) = cos ϑ, sin( ϑ) = sin ϑ. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.39/41

40 Sommo le due formule: e iϑ + e iϑ = 2 cos ϑ, ovvero cos ϑ = eiϑ + e iϑ Sottraggo le due formule: e iϑ e iϑ = 2i sin ϑ, ovvero sin ϑ = eiϑ e iϑ Sin e Cos in campo complesso Si estendono le formule date prima per ϑ R ad un qualsiasi z C. Diventano le definizioni di sin e cos su una variabile complessa. 2 2i cos z := eiz + e iz 2 sin z := eiz e iz 2i Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.40/41

41 Riferimento bibliografico Per le funzioni composte: Canuto-Tabacco, Sez. 2.5, pag Per il piano cartesiano: Canuto-Tabacco, sez. 1.5, pag Per i numeri complessi: Canuto-Tabacco, sez. 8.3, pag Esercizi: 1) (funzioni) n. 1 e n. 10 del cap. 2 del libro Canuto-Tabacco. 2) (n. complessi) n. 12 e n. 14 del cap. 8 del libro Canuto-Tabacco. Esercizio 3. Sapendo che una delle radici del polinomio p(z) = z 4 5z z 2 10z + 4, (z C) è w 1 = 1 + i, calcolare le altre radici di p(z). Esercizio 4. Risolvere l equazione z 2 = z 4, con z C. Numeri complessi Cap8.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 2006/ p.41/41