Compito di Analisi Matematica, Seconda parte, COGNOME: NOME: MATR.:

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1 Compito di Analisi Matematica, Seconda parte, gennaio 9 Tema X COGNOME: NOME: MATR.: Esercizio. ( Determinare al variare di β R la soluzione di y (x + y (x + y(x = e x + x tale che y( = β = y (. ( Al variare di β R stabilire se esiste (ed in caso quanto vale lim y(x. x + ( Si tratta di un equazione differenziale linerae a coefficienti costanti con termini esponenziali e polinomi per cui le soluzioni sono date dalla somma di una qualsiasi soluzione dell eq. omogenea e da una soluzione particolare. Le soluzioni v dell omogenea si determinano imponendo la forma v(x = e λx con λ C e si trova λ + λ + =, da cui λ = ± e x/ cos, x e x/ sin i. E ( noto che questi esponenziali corrispondono alle soluzioni reali ( Si ricorda che x. x ± sin e λx = e ( ± ix = e x e ± [ ix = e x cos ( x]. Per trovare una soluzione particolare dell equazione si impone che u(x = Ae x + Bx + Cx + Dx + E e si trova A = /7, B =, C =, D = e E = 6. La soluzione generica è quindi data da e x 7 + x x αe x/ cos x al variare di α, γ R. Imponendo le condizioni iniziali si ha α = β 4 7, γ = ( β α + γe x/ sin x = β 7 7. ( Fissato β R e presi α e γ come sopra la soluzione è data da y(x = αe x/ cos x + γe x/ sin x + e x 7 + x x + 6; Passando al limite per x + nei primi tre addendi si ottiene che essi vanno a zero indipendentemente dal valore di β visto che gli esponenziali e x/, e x tendono a zero e sono moltiplicati da funzioni limitate. Rimane da passare al limite nel polinomio e si calcola facilmente che questo limite diverge positivamente, ossia lim y(x = lim x + x + x x + 6 = +.

2 Esercizio. Sia π/ + (β x + α tan x I α,β = dx β + tan x + tan (x a Calcolare l integrale I α,β (se esiste per α =, β = ; b Calcolare l integrale I α,β (se esiste per α =, β = ; c Studiare l esistenza di I α,β al variare dei parametri α R, β. a Si applica il cambio di variabile t = tan(x (x = arctan(t e su ogni intervallo [, L] con < L < π/ si ottiene L + tan x + tan x + tan (x dx = tan(l + t dt tan(l + t + t + t = + t + t dt Passando al limite per L + si ha che l esistenza dell integrale generalizzato dato coincide con l esistenza dell integrale generalizzato di /( + t + t su (, + che esiste per confronto con /( + t. Si ha inoltre che π/ + tan x + tan x + tan (x dx = ( ( Posto s = t + ds = dt si ha ( t + dt = t + t dt = ( ( t + + dt = ( t + dt = + 4 / s + ds = M lim M + / s + ds = ( π arctan ( = arctan = π b Si procede analogamente con lo stesso cambio di variabile e ci si riduce a calcolare π/ + tan x + tan (x dx = ( + t + t ( + t dt. Si cerca la decomposizione ( + t + t ( + t = At + B ( + t + Ct + D ( + t + t e si trova A =, C =, B = e D =. Contando che si ha ( + t + t ( + t dt = t + ( + t + t = (t + ( + t + t + ( + t + t ( t + ( + t + t t ( + t [ ] M lim ln( + t + t ln( + t + M + L ultimo integrale è già stato calcolato prima per cui si ottiene = lim M + ln ( + M + M + M + dt = ( + t + t dt ( + t + t dt = π

3 c Si tratta di studiare al variare di α R e β un integrale generalizzato su una semiretta della funzione + (β x + α tan x. β + tan x + tan (x Il denominatore β + tan x + tan (x non si annulla mai se non per β = (in x =. In particolare se β >, con il cambio tan(x = t, l esistenza dell integrale è equivalente a quella di π/ + (β x + α tan x β + tan x + tan (x dx = + (β arctan(t + αt (β + t + t ( + t Indipendentemente da α questo secondo integrale esiste perchè la funzione ( + (β arctan(t+αt /(β +t+t (+t è assolutamente integrabile su (, + per confronto con la funzione /( + t, infatti lim t + + (β arctan(t + αt ( + t = α. (β + t + t ( + t Se β = la funzione non è limitata nell intorno di x = per cui bisogna studiare separatamente la sua integrabilità su (, π/4 e su (π/4, π/. Con il cambio di variabile sopra equivale a studiare l integrabilità di f(t = ( arctan(t + αt /(t + t ( + t su (, e su (, +. Analogamente a prima su (, + f è integrabile per confronto con /(t +, invece su (, f ha integrale più infinito per confronto con la funzione /t, indipendentemente da α. Infatti arctan(t + αt lim t =. t + (t + t ( + t Notare che, per ogni α R, f è positiva in un intorno di x =. dt.

4 Esercizio. a Determinare tutte le soluzioni complesse dell equazione (z i = 8i. b Determinare tutte le (z, w C C soluzioni del sistema { (z i = 8i z(w + w = i( z z w z. a Posto z i = w si ha che w risolve l equazione w = 8i. Per trovare le radici terze di 8i usiamo la forma trigonometrica: 8i = e iπ/ w k = e iθ k, θ k = π 6 + kπ, k =,, vale a dire w = e iπ/6 = + i, w = e i5π/6 = + i, w = e i9π/6 = i da cui, usando, z = i + w, z = + i, z = + i, z = i. b La prima equazione del sistema è già stata risolta nel punto a ed è soddisfatta per z = z, z, z. Per quanto riguarda la seconda equazione si riscrive, usando w+ w = Re(w e z z = iim(z, come da cui zre(w = i Im(z w z Re(zRe(w ire(wim(z = Im(z w Re(z iim(z. Uguagliando le parti immaginarie dei numeri a destra e sinistra dell uguale si ha Re(wIm(z = Im(z che è soddisfatta se Im(z = oppure se Re(w =. Dato che i numeri complessi z che soddisfanno la prima equazione hanno parte immaginaria non nulla allora ogni soluzione w deve soddisfare Re(w = /. A questo punto si uguagliano le parti reali, con la condizione Re(w = /, e si ottiene ossia Re(z = Im(z w Re(z w = Im(z Re(z. Si ottiene che w = + ib con b che verifica + 4 b = (Im(z Re(z ; sostituendo z = + i si ha w + = + i 6(7 4 e w = i 6(7 4 ; sostituendo z = i si ha w + = + i 6(7+4 e w = i 6(7+4 ; sostituendo z = i si ha w = Im(z Re(z = che non può mai essere vera. Le uniche coppie soluzione del sistema sono quindi (z, w +, (z, w, (z, w +, (z, w.

5 Compito di Analisi Matematica, Seconda parte, gennaio 9 Tema Y COGNOME: NOME: MATR.: Esercizio. ( Determinare al variare di β R la soluzione di y (x y (x + y(x = e x + x tale che y( = β = y (. ( Al variare di β R stabilire se esiste (ed in caso quanto vale lim y(x. x Si procede come nella risoluzione della versione X e si ottiene e x 7 + x + x 6 + αe x/ cos x + γe x/ sin x al variare di α, γ R. Imponendo le condizioni iniziali si ha α = β + 4 7, γ = ( β 7 α Passando al limite per x si ha β. = β lim y(x = indipendentemente dal valore di x

6 Esercizio. Sia π/ + βx + α tan x I α,β = β + + tan x + tan (x dx a Calcolare l integrale I α,β (se esiste per α =, β = ; b Calcolare l integrale I α,β (se esiste per α =, β = ; c Studiare l esistenza di I α,β al variare dei parametri α R, β. I valori dei punti a, b sono gli stessi della versione X; per quanto riguarda il punto c invece si ha integrabilità per ogni α R e per ogni β (infatti stavolta per β = il denominatore non presenta zeri.

7 Esercizio. a Determinare tutte le soluzioni complesse dell equazione (i z = 8i. b Determinare tutte le (z, w C C soluzioni del sistema { (z i = 8i z(w + w = i( z z w z. Posto i z = w si procede come nella versione X e si ottengono le soluzioni,, i. Il sistema al punto b è esattamente lo stesso della versione X.